本科生數學畢業論文

❶ 大學數學畢業論文

代數學的研究，目前存在著一些彼此對立的研究結論；正確地分析存在著的矛盾結論，無疑會有助於人們深入地了解中國古代數學，同時也會使人們對數學史研究的方法和評價標准有新的認識。
一、幾個有代表性的矛盾結論
如何評價中國古代數學，如何評價在中國古代文明中數學的作用以及它取得的成就是每個數學史學者關心的問題。但是目前的一些研究卻有著一些矛盾的結論，這些矛盾的結論往往是圍繞著認識、理解、評價中國古代數學的關鍵性理論問題展開的。
1.關於古代數學運用的思維方式問題
中國古代數學是否象古希臘那樣明確地運用邏輯思維問題，目前已成為評價中國古代數學的一個重要因素，因為在人們的認識和理解中，數學如果沒有嚴格的邏輯思維形式，那就很難成為真正的數學理論，袁曉明先生的研究結論與人們的良好願望相反，他認為中國古代數學不存在象古希臘數學那樣以邏輯為基礎的思維方式，「與古希臘數學嚴格地採用邏輯演繹的邏輯思維方式不同，中國數學則是以非邏輯思維為主，即主要通過直覺、想像、類比、靈感等思維形式來形成概念、發現方法、實現推理的。」[1]
郭書春先生通過對《九章算術》的研究，得出相反的結論，他認為《九章算術》的注釋中已經具有並形成了演繹的邏輯方法及演繹的邏輯體系，「劉徽注中主要使用了演繹推理，他的論證主要是演繹論證即真正的數學證明，從而把《九章算術》上百個一般公式、解法變成了建立在必然性基礎之上的真正的數學科學。」[2]
巫壽康先生與郭書春先生的觀點相同，他認為：「劉徽《九章算術注》中的每一個題，都可以分解成一些首尾相接的判斷，如果仔細分析這些判斷之間的聯系，就會發現這些判斷組成若干個推理，然後由這些推理再組成一個證明，因此可以說，《九章算術注》中的論證已經具備了證明的結構，就大多數注文來說，這其中的推理都是演繹推理，大多數證明也都是演繹證明。」[3]
中國古代數學到底「是以非邏輯思維為主」，還是「主要是演繹證明」，這是中國古代數學研究中一個矛盾的結論，還沒有得到統一認識的問題。
2.關於中國古代數學理論構造的問題
按照西方數學的模式，一種數學著作若是按應用問題的類別編排，並且每一個題之後給出解法和答案，那麼這個數學著作就是一個習題集的模式，也許正是由於這種客觀原因，許多國外的學者都認為中國古代數學不存在什麼理論構造，李約瑟先生就認為「從實踐到純知識領域的飛躍中，中國數學是未曾參與過的。」[4] 著名的數學家陳省身先生也有相同的看法，他認為「在中國幾何中，我無法找到類似三角形內角和等於180°的推論，這是中國數學中沒有的結果。因此， 得於國外數學的經驗和有機會看中國數學的書，我覺得中國數學都偏應用，講得過分一點，甚至可以說中國數學沒有純粹數學，都是應用數學。」[5]
中國的一些數學史學者對此持完全相反的觀點，堅持強調中國古代數學理論構造的存在性。李繼閔先生認為「中國傳統數學具有自己獨特的理論體系，它以理論的高度概括、精煉為特徵，中算家善於從錯綜復雜的數學現象中抽象出深刻的數學概念，提煉出一般的數學原理，而從非常簡單的基本原理出發解決重大的理論關鍵問題……中國傳統數學理論，乃是為建立那些在實際中有直接應用的數學方法而構造的最為簡單、精巧的理論建築物。」[6]
中國古代數學是否有一個理論意義上的構造體系，這大概是目前中外數學史專家們對中國古代數學研究中的一個最大的分歧點。如何正確地評價中國古代數學的體系構造已成為中國數學史研究中應當回答的理論問題之一。
3.關於珠算在中國數學史中的地位問題。
在中國數學史的研究中，人們一直認為宋元數學是中國古代數學的高峰。宋元之後的明代珠算無法與宋元數學的成就相比，明代珠算一般被認為是「民用」或「商用」數學。言外之意，珠算是不能登中國古代數學理論構造的大雅之堂。許多學者認為宋元數學的衰退、被人遺忘是很值得研究的理論問題，而明代珠算卻沒有什麼值得在理論層面給予研究的意義。
筆者的觀點與當前評價宋元數學和明代珠算的觀點都相悖。筆者認為珠算是中國古代數學在宋元之後取得的又一里程碑式的成就，它是中國籌算在運演工具上的重大創新，是籌算運演發展的重大突破，是中國古代數學技藝型發展的必然結果。[7]
如何評價珠算在中國數學史中的地位，實際也帶來了如何評價宋元數學的一系列問題，在這個問題上筆者也提出了與目前傳統觀點相悖的論點，即宋元數學的成就，是中國籌算在特定的社會動盪、傳統儒家觀念發生紊亂、仕大夫仕途無望的文化氛圍中奇異性發展的結果，當社會是進入穩定發展、仕大夫按照儒家傳統觀念走向仕途時，宋元數學就必然會被整個民族文化所淡忘。[8]
對珠算與宋元數學的評價，實際上涉及了如何看待中國古代籌算體系的發展及其內在規律的問題，這一問題也是正確認識中國古代數學的一個理論性的問題。
二、數學史研究的方法論問題及評判的理論依據
從方法論的意義上來考察中國古代的數學史研究，可以發現實際上存在兩個不同層次的研究狀況，第一層次的研究是指對史料的收集、整理、考證。應當說這個層次的主要工作是在中國古代數學的范疇內對數學史實的發展及其流變進行分析認證。這一層次的分析考證應當確認史料的年代及其真偽，以及史實在中國數學發展中所處的地位。第二層次的研究，是對已確認的史料與世界數學史的比較評價。應當說這個層次的比較研究是在世界數學史的范疇內（實際上主要是中西數學發展的范疇內）進行比較研究，這一層次的主要工作是要確認中國古代數學已達到的理論層次。這一過程顯然是把中國古代數學納入到已有的理論框架中進行比較，進而要求表述中國古代數學在現有古代數學史理論框架內所處的地位、理論層次、構造性狀況以及它對現有數學史理論的貢獻。
在方法論意義上，這兩個不同層次的工作不能混同，因為這兩個層次的工作存在著研究的范疇差異、時間差異和評判依據准則的差異。[9]
所謂范疇差異，是指第一層次的研究是在中國文化的范疇內進行分析考證，而第二層次的研究主要是在中西文化的范疇內進行比較評斷。第一層次研究此時要解決的是史料真偽狀況及在中國文化中的發展狀況，而第二層次的研究要回答的是，已經證實的中國史實材料與西方數學相比，與現代的數學理論相比，其結果如何。
所謂時間差異是指第一層次的研究是要把史料放在原有的歷史時間內考證史料是什麼，它的語言、背景、含意等等，第一層次運用的是歷史時間序列。第二層次的比較研究是要把史料放在現代數學史的理論框架內來比較評判中國古代數學的史料達到的理論狀態、在人類數學史中的地位等等。因此說，第二層次研究運用的是現代的時間序列。
所謂評判差異，是指第一層次的分析考證運用的是在歷史演化發展時數學自身變化發展的評判尺度，即以中國古代數學的自身成就來評判某一特定歷史階段數學史實的意義。此時運用的是中國古代數學史的評判准則。例如，判定某個歷史時期籌算的成就，運用的是籌算自身發展的規律來判定那個時期籌算達到的運演和理論的實際狀況。當然，第二層次上的比較評判，運用的卻是現代數學史研究的理論框架並以此分析評判中國古代數學某個史實所達到的標准。
值得指出的是，我們目前的一些比較評價，實際上都是在第二層次上進行的，但是作為第二層次研究所特有的方法論意義上的要求，卻常常不被嚴格遵守，尤其是第二層次的比較評判中應當特別強調的理論評價准則在先的原則，往往不被重視。也就是說，如果我們要把某一個中國古代數學的史實與世界數學的理論形式相比較，就必須明確地認識到或論證出現有的數學成果構成的理論標准，並以此標准來判斷中國古代數學的史料是否達到了這個理論標准。
中國一些數學史學者在進行中國古代數學的比較評判時，往往把第一層次的工作與第二層次的工作混同起來，尤其是在沒有指出應有的評價准則時就把自己的感悟、個人的理解換成一種客觀的標准，進而就得出一種評判的結果。這樣的結論不僅會帶來研究結果的矛盾，更為重要的是會使我們的研究成果具有很大的主觀性、隨意性特徵。例如，台灣的學者李國偉先生就曾對國內學者認為劉徽「求微數法」就是無理數的研究成果提出疑義，並且從五個層次論述了劉徽的結果與無理數理論的差異。[10]顯然，對於無理數問題的評判，國內一些學者缺乏理論標准在先的意識。
在自然科學史研究中，人們就是在正確地使用方法論的同時，也還有一個對史實論證過程中的潛在的理論模式影響的問題。這個問題實際已經超越了方法論意義的討論，它實質上涉及了用什麼樣的古代數學理論模式來評判籌算所具有的理論價值。例如，對於中國籌算發展為珠算的評判以及對宋元數學和明代珠算的評價，雖然在數學史的研究中屬於第一個層次的問題，但是它實際上已經涉及了用一種什麼樣的古代數學的模式來評判籌算取得的一些成果。
現在可以看出，中國古代數學史研究中出現的某些相互矛盾的結論，不僅僅是一個方法論方面的問題，它實際上涉及到用什麼樣的理論標准來評價籌算的發展、演變以及不同時期取得的成就。更進一步的問題可以成為，中國古代籌算是應當按照西方古代數學的模式來評價，還是放棄西方古代數學的模式重新建立一個中國文化中數學發展的模式，可以說這後一個問題是中國數學史面臨的一個很值得討論研究的理論問題。

三、籌算的特徵及分析
從目前數學史研究中可以發現，人們對籌算構成的一些理論性問題很感興趣，評價頗高，而對實際應用的發展評價頗低，似乎不被看作是中國古代數學的什麼重大成果。同樣的，人們對《九章算術》中表現的邏輯形式十分看重，而對它表現的籌算操作運演本身評價一般（如對代表正、負意義算籌形式及其排擺方法）。其實中西古代數學明顯地存在巨大差異，這些差異正是我們客觀認識中國古代數學發展模式和理論框架的必要基礎。
吳文俊先生認為，中國古代數學是緊緊依靠算器而形成的一種數學模式

❷ 我想請問下你的數學畢業論文是怎麼寫的

畢業論文，泛指專科畢業論文、本科畢業論文（學士學位畢業論文）、碩士研究生畢業論文（碩士學位論文）、博士研究生畢業論文（博士學位論文）等，即需要在學業完成前寫作並提交的論文，是教學或科研活動的重要組成部分之一。其主要目的是培養學生綜合運用所學知識和技能，理論聯系實際，獨立分析，解決實際問題的能力，使學生得到從事本專業工作和進行相關的基本訓練。

其主要目的是培養學生綜合運用所學知識和技能，理論聯系實際，獨立分析，解決實際問題的能力，使學生得到從事本專業工作和進行相關的基本訓練。畢業論文應反映出作者能夠准確地掌握所學的專業基礎知識，基本學會綜合運用所學知識進行科學研究的方法，對所研究的題目有一定的心得體會，論文題目的范圍不宜過寬，一般選擇本學科某一重要問題的一個側面。
畢業論文的基本教學要求是：
1、培養學生綜合運用、鞏固與擴展所學的基礎理論和專業知識，培養學生獨立分析、解決實際問題能力、培養學生處理數據和信息的能力；
2、培養學生正確的理論聯系實際的工作作風，嚴肅認真的科學態度；
3、培養學生進行社會調查研究；文獻資料收集、閱讀和整理、使用；提出論點、綜合論證、總結寫作等基本技能。
畢業論文是畢業生總結性的獨立作業，是學生運用在校學習的基本知識和基礎理論，去分析、解決一兩個實際問題的實踐鍛煉過程，也是學生在校學習期間學習成果的綜合性總結，是整個教學活動中不可缺少的重要環節。撰寫畢業論文對於培養學生初步的科學研究能力，提高其綜合運用所學知識分析問題、解決問題能力有著重要意義。
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❾ 數學專業本科畢業論文

我這里有一份
「等」對「不等」的啟示
對於解集非空的一元二次不等式的求解，我們常用「兩根之間」、「兩根之外」這類簡縮語來說明其結果，同時也表明了它的解法．這是用「等」來解決「不等」的一個典型例子．從表面上看，「等」和「不等」是對立的，但如果著眼於「等」和「不等」的關系，會發現它們之間相互聯系的另一面．設M、N是代數式，我們把等式M＝N叫做不等式M＜N，M≤N，M＞N、M≥N相應的等式．我們把一個不等式與其相應的等式對比進行研究，發現「等」是「不等」的「界點」、是不等的特例，稍微深入一步，可以從「等」的解決來發現「不等」的解決思路、方法與技巧．本文通過幾個常見的典型例題揭示「等」對於「不等」在問題解決上的啟示．
� 1．否定特例，排除錯解
�解不等式的實踐告訴我們，不等式的解區間的端點是它的相應等式（方程）的解或者是它的定義區間的端點（這里我們把＋∞、－∞也看作端點）．因此我們可以通過端點的驗證，否定特例，排除錯解，獲得解決問題的啟示．
�例1 滿足sin（x－π／4）≥1／2的x的集合是（）．
��A．｛x｜2kπ＋5π／12≤x≤2kπ＋13π／12，k∈Z｝
��B．｛x｜2kπ－π／12≤x≤2kπ＋7π／12，k∈Z｝
��C．｛x｜2kπ＋π／6≤x≤2kπ＋5π／6，k∈Z｝
��D．｛x｜2kπ≤x≤2kπ＋π／6，k∈Z｝∪｛2kπ＋5π／6≤（2k＋1）π，k∈Z｝（1991年三南試題）
�分析：當x＝－π／12、x＝π／6、x＝0時，sin（x－π／4）＜0，因此排除B、C、D，故選A．
�例2 不等式 ＋｜x｜／x≥0的解集是（）．
��A．｛x｜－2≤x≤2｝
��B．｛x｜－ ≤x＜0或0＜x≤2｝
��C．｛x｜－2≤x＜0或0＜x≤2｝
��D．｛x｜－ ≤x＜0或0＜x≤ ｝
� 分析：由x＝－2不是原不等式的解排除A、C，由x＝2是原不等式的一個解排除D，故選B．
�這兩道題若按部就班地解來，例1是易錯題，例2有一定的運算量．上面的解法省時省力，但似有「投機取巧」之嫌．選擇題給出了三誤一正的答案，這是問題情景的一部分．而且是重要的一部分．我們利用「等」與「不等」之間的內在聯系，把目光投向解區間的端點，化繁為簡，體現了具體問題具體解決的樸素思想，這種「投機取巧」正是抓住了問題的特徵，體現了數學思維的敏捷性和數學地解決問題的機智．在解不等式的解答題中，我們可以用這種方法來探索結果、驗證結果或縮小探索的范圍．
�例3 解不等式loga（1－1／x）＞1．（1996年全國高考試題）
�分析：原不等式相應的等式--方程loga（1－1／x）＝1的解為x＝1／（1－a）（a≠1是隱含條件）．原不等式的定義域為（1，＋∞）∪（－∞，0）．當x→＋∞或x→－∞時，loga（1－1／x）→0，故解區間的端點只可能是0、1或1／（1－a）．當0＜a＜1時，1／（1－a）＞1，可猜測解區間是（1，1／（1－a））；當a＞1時，1／（1－a）＜0，可猜測解區間是（1／（1－a），0）．當然，猜測的時候要結合定義域考慮．
�上面的分析，可以作為解題的探索，也可以作為解題後的回顧與檢驗．如果把原題重做一遍視為檢驗，那麼一則費時，對考試來說無實用價值，對解題實踐來說也失去檢驗所特有的意義；二則重做一遍往往可能重蹈錯誤思路、錯誤運算程序的復轍，費時而於事無補．因此，抓住端點探索或檢驗不等式的解，是一條實用、有效的解決問題的思路．
�2．誘導猜想，發現思路
�當我們證明不等式M≥N（或M＞N、M≤N、M＜N）時，可以先考察M＝N的條件，基本不等式都有等號成立的充要條件，而且這些充要條件都是若干個正變數相等，這就使我們的思考有了明確的目標，誘導猜想，從而發現證題思路．這種思想方法對於一些較難的不等式證明更能顯示它的作用．
�例4 設a、b、c為正數且滿足abc＝1，試證：1／a3（b＋c）＋1／b3（c＋a）＋1／c3（a＋b）≥3／2．（第36屆IMO第二題）
�分析：容易猜想到a＝b＝c＝1時，原不等式的等號成立，這時1／a3（b＋c）＝1／b3（c＋a）＝1／c3（a＋b）＝1／2．考慮到「≥」在基本不等式中表現為「和」向「積」的不等式變換，故想到給原不等式左邊的每一項配上一個因式，這個因式的值當a＝b＝c＝1時等於1／2，且能通過不等式變換的運算使原不等式的表達式得到簡化．
�1／a3（b＋c）＋（b＋c）／4bc≥ ＝1／a，
�1／b3（a＋c）＋（a＋c）／4ca≥1／b，
�等號不一定成立而啟迪我們對問題進一步探索的典型例子是1997年全國高考（理科）第22題：
�例8 甲、乙兩地相距S千米（km），汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／小時（km／h）．已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米／小時）的平方成正比，比例系數為b，固定部分為a元．
�Ⅰ．把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米／小時）的函數，並指出這個函數的定義域；
�Ⅱ．為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大的速度行駛?
�分析：y＝aSv＋bSv，v∈（0，c〕，由y≥2S 當且僅當aS／v＝bSv，即當v＝ 時等號成立得，當v＝ 時y有最小值．這是本題的正確答案嗎?那就得考慮v＝ 是否一定成立．當 ≤c時可以，但 是有可能大於c的．這就引發了我們進行分類討論的動機，同時也獲得分類的標准．
�綜上所述，「等」是不等式問題中一道特殊的風景，從「等」中尋找問題解決的思路，本質上是特殊化思想在解題中的應用．從教學上看，引導學生注視不等式問題中的「等」，是教會學生發現問題、提出問題，從而分析問題、解決問題的契機．
�1／c3（a＋b）＋（a＋b）／4ab≥1／c，
�將這三個等式相加可得
�1／a3（b＋c）＋1／b3（c＋a）＋1／c3（a＋b）≥1／a＋1／b＋1／c－（1／4）〔（b＋c）／bc＋（c＋a）／ca＋（a＋b）／ab〕＝（1／2）（1／a＋1／b＋1／c）≥（3／2） ＝3／2，從而原不等式獲證．
�這道題看似不難，當年卻使參賽的412名選手中有300人得0分．上述湊等因子的思路源於由等號的成立條件而產生的猜想，使思路變得較為自然，所用的知識是一般高中生所熟知的．再舉二例以說明這種方法有較大的適用范圍．
�例5 設a，b，c，d是滿足ab＋bc＋cd＋da＝1的正實數，求證：a3／（b＋c＋d）＋b3／（a＋c＋d）＋c3／（a＋b＋d）＋d3／（a＋b＋c）≥1／3．（第31屆IMO備選題）
�證明：a3／（b＋c＋d）＋a（b＋c＋d）／9≥（2／3）a2，
�b3／（a＋c＋d）＋b（a＋c＋d）／9≥（2／3）b2，
�c3／（a＋b＋d）＋c（a＋b＋d）／9≥（2／3）c2，
�d3／（a＋b＋c）＋d（a＋b＋c）／9≥（2／3）d2．
�∴ a3／（b＋c＋d）＋b3／（a＋c＋d）＋c3／（a＋b＋d）＋d3／（a＋b＋c）≥（2／3）（a2＋b2＋c2＋d2）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da＋ac＋bd）
�＝（5／9）（a2＋b2＋c2＋d2）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da）＋（1／9）（a2＋c2－2ac＋b2＋d2－2bd）
�≥（5／9）（a2＋b2＋c2＋d2）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da）≥（5／9）（ab＋bc＋cd＋da）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da）＝（1／3）（ab＋bc＋cd＋da）＝1／3．
�當a＝b＝c＝d＝1／2時，原不等式左邊的四個項都等於1／12，由此出發湊「等因子」．對於某些中學數學中的常見問題也可用這種方法解決，降低問題解決對知識的要求．
�例6 設a，b，c，d∈R＋，a＋b＋c＋d＝8，求M＝ ＋ ＋ ＋ 的最大值．
�分析：猜想當a＝b＝c＝d＝2時M取得最大值，這時M中的4個項都等於3．要求M的最大值，需將M向「≤」的方向進行不等變換，由此可得3 ≤（3＋4a＋1）／2＝2a＋2，3 ≤2b＋2，3 ≤2c＋2，3 ≤2d＋2．於是3M≤2（a＋b＋c＋d）＋8＝24，∴M≤8．當且僅當a＝b＝c＝d時等號成立，所以M的最大值為8．
�當然，例6利用平方平均數不小於算術平均數是易於求解的，但需要高中數學教材外的知識．利用較少的知識解決較多的問題，是數學自身的追求，而且從教學上考慮，可以更好地培養學生的數學能力．先有猜想，後有設計，再有證法，也是數學地思考問題的基本特徵．
�3．引發矛盾，啟迪探索
�在利用基本不等式求最大值或最小值時，都必須考慮等號能否取得，這不僅是解題的規范要求，而且往往對問題的解決提供有益的啟示．特別當解題的過程似乎順理成章，但等號成立的條件卻發生矛盾或並不一定成立．這一新的問題情景將啟迪我們對問題的進一步探索．
�例7 設a，b∈R＋，2a＋b＝1，則2 －4a2－b2有（）．
��A．最大值1／4� B．最小值1／4
��C．最大值（ －1）／2� D．最小值（ －1）／2
� 分析：由4a2＋b2≥4ab，得原式≤2 －4ab＝－4（ ）2＋2 ＝－4（ －1／4）2＋1／4≤1／4．若不對不等變換中等號成立的條件進行研究，似已完成解題任務，而且覺得解題過程頗為自然，但若研究一下等號成立的條件，則出現了矛盾：要使4a2＋b2≥4ab中的等號成立，則應有2a＝b＝1／2，這時 ＝ ／4≠1／4，第二個「≤」中的等號不能成立．這一矛盾使我們感覺到解題過程的錯誤，促使我們另闢解題途徑．事實上，原式＝2 －（2a＋b）2＋4ab＝4ab＋2 －1，而由1＝2a＋b≥2 得0＜ ≤ ／4，ab≤1／8，∴原式≤ ／2＋1／2－1＝（ －1）／2，故選�C．

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