蘇州大學2000年考研數學分析試題

A. 誰有考研數學(二)歷年真題精析（2010～2001）

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蘇州大學簡介：

蘇州大學（Soochow University），坐落於歷史文化名城蘇州，是教育部與江蘇省人民政府共建的國家「世界一流學科建設高校」，國家「211工程」、「2011計劃」首批入選高校，國家國防科技工業局與江蘇省人民政府共建高校，江蘇省屬重點綜合性大學，入選國家「111計劃」、卓越法律人才教育培養計劃、卓越工程師教育培養計劃、卓越醫生教育培養計劃、國家建設高水平大學公派研究生項目、國家大學生創新性實驗計劃、國家創新人才培養示範基地、海外高層次人才創新創業基地、新工科研究與實踐項目、全國深化創新創業教育改革示範高校、中國政府獎學金來華留學生接收院校等。

蘇州大學前身是1900年創辦的東吳大學，是中國最早以現代大學學科體系舉辦的大學，在中國最先開展法學（英美法）專業教育、最早開展研究生教育並授予碩士學位，也是中國第一家創辦學友輪報的大學。1952年院系調整，東吳大學的文理學院、蘇南文化教育學院、江南大學的數理系合並組建蘇南師范學院，同年更名為江蘇師范學院。1982年，學校更復名蘇州大學。其後，蘇州蠶桑專科學校（1995年）、蘇州絲綢工學院（1997年）和蘇州醫學院（2000年）等相繼並入蘇州大學。

最後，我在這里祝各位莘莘學子考研加油，順利上岸，去迎接那個最優秀的自己！！！

D. 831高等代數是哪本書

831高等代數是哪本書
，一、參考書目
蘇州大學618數學分析考研初試參考書

《數學分析》鉛譽（上、下冊）,華東師大數學系編，高等教育出版社

蘇州大學831高等代數考研初試參考書

《高等代數》,北京大學數學系編，高等教育出版社

二、備考資料
一、蘇州大學618數學分析考研真題匯編

1．蘇州大學618數學分析2000-2008、2010-2015年考研真題,暫無答案。

說明：分析歷年考研真題可以把握出題脈絡，了解考題難度、風格，側重點等，為考研復習指明方向。

二、2023年蘇州大學618數學分析考研資料

2．華東師范大學主編《數學分析》考研相關資料

（1）華東師范大學主孝顫編《數學分析》[筆記+課件+提綱]

①蘇州大學618數學分析之華東師范大學主編《數學分析》考研復習筆記。

說明：本書重點復習筆記，條理清晰，重難點突出，提高復習效率，基礎強化階段首選資料。

②蘇州大學618數學分析之華東師范大學主編《數學分析》本科生課件。

說明：參考書配套授課PPT課件，條理清晰，內容詳盡，版權歸屬製作教師，本項免費贈送。

③蘇州大學618數學分析之華巧激敗東師范大學主編《數學分析》復習提綱。

說明：該科目復習重難點提綱，提煉出重難點，有的放矢，提高復習針對性。

（2）華東師范大學主編《數學分析》考研核心題庫（含答案）

①蘇州大學618數學分析考研核心題庫之判斷題精編。

②蘇州大學618數學分析考研核心題庫之計算題精編。

③蘇州大學618數學分析考研核心題庫之證明題精編。

說明：本題庫涵蓋了該考研科目常考題型及重點題型，根據歷年考研大綱要求，結合考研真題進行的分類匯編並給出了詳細答案，針對性強，是考研復習首選資料。

（3）華東師范大學主編《數學分析》考研模擬題[模擬+強化+沖刺]

①2023年蘇州大學618數學分析考研專業課五套模擬模擬題。

說明：嚴格按照本科目最新專業課真題題型和難度出題，共五套全模擬模擬試題含答案解析。

②2023年蘇州大學618數學分析考研強化五套模擬題及詳細答案解析。

說明：專業課強化檢測使用。共五套強化模擬題，均含有詳細答案解析，考研強化復習首選。

③2023年蘇州大學618數學分析考研沖刺五套模擬題及詳細答案解析。

說明：專業課沖刺檢測使用。共五套沖刺預測試題，均有詳細答案解析，最後沖刺首選資料。

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F. 跪求！2001——2010歷年考研數學三和政治真題及答案

2003年全國碩士研究生入學統一考試
數學三試題
一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）
（1）設 其導函數在x=0處連續，則 的取值范圍是_____.
（2）已知曲線 與x軸相切，則 可以通過a表示為 ________.
（3）設a>0， 而D表示全平面，則 =_______.
（4）設n維向量 ；E為n階單位矩陣，矩陣
， ，
其中A的逆矩陣為B，則a=______.
（5）設隨機變數X 和Y的相關系數為0.9, 若 ，則Y與Z的相關系數為________.
（6）設總體X服從參數為2的指數分布， 為來自總體X的簡單隨機樣本，則當 時， 依概率收斂於______.
二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題後的括弧內）
（1）設f(x)為不恆等於零的奇函數，且 存在，則函數
(A) 在x=0處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點x=0.
(C) 在x=0處右極限不存在. (D) 有可去間斷點x=0. [ ]
（2）設可微函數f(x,y)在點 取得極小值，則下列結論正確的是
(A) 在 處的導數等於零. （B） 在 處的導數大於零.
(C) 在 處的導數小於零. (D) 在 處的導數不存在.
[ ]
（3）設 ， ， ，則下列命題正確的是
(A) 若 條件收斂，則 與 都收斂.
(B) 若 絕對收斂，則 與 都收斂.
(C) 若 條件收斂，則 與 斂散性都不定.
(D) 若 絕對收斂，則 與 斂散性都不定. [ ]
（4）設三階矩陣 ，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有
(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b 0.
(C) a b且a+2b=0. (D) a b且a+2b 0. [ ]
（5）設 均為n維向量，下列結論不正確答耐哪的是
(A) 若對於任意一組不全為零的數 ，都有 ，則 線性無關.
(B) 若 線性相關，則對於任意一組不全為零的數 ，都有
(C) 線性無關的充分必要條件是此向量組的秩為s.
(D) 線性無關的必要條件是其中任意兩個向量線性無關. [ ]
（6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件： ={擲第一次出現正面}， ={擲第二次出現正面}， ={正、反面各出現一次}， ={正面出現兩次}，則事件
(A) 相互獨立. (B) 相互獨立.
(C) 兩兩獨立. (D) 兩兩獨立. [ ]
三、（本題滿分8分）
設

試補充定義f(1)使得f(x)在 上連續.
四 、（本題滿分8分）
設f(u,v)具有二階連續偏導畝襪數，且滿足 ，又 ,求
五、（本題滿分8分）
計算二重積分

其中積分區域D=
六、（本題滿分9分）
求冪級數 的和函數f(x)及其極值.
七、（本題滿分9分）
設F(x)=f(x)g(x), 其中函數f(x),g(x)在 內滿足以下條件：
， ，且f(0)=0,
(1) 求F(x)所滿足的一階微分方程；
(2) 求出F(x)的表達式.
八、（本題滿分8分）
設函數f(x)在[0，3]上連續，在（0，3）內可導，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在 ，使
九、（本題滿分13分）
已知齊次線性方程組

其中 試討論 和b滿足何種關系時，
(1) 方程組僅有零解；
(2) 方程組有非零解. 在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系.
十、（本題滿分13分）
設二次型
，
中二次型的矩陣A的特徵值之和為1，特徵值之積為-12.
(1) 求a,b的值；
(2) 利用清碼正交變換將二次型f化為標准形，並寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣.
十一、（本題滿分13分）
設隨機變數X的概率密度為

F(x)是X的分布函數. 求隨機變數Y=F(X)的分布函數.
十二、（本題滿分13分）
設隨機變數X與Y獨立，其中X的概率分布為
，
而Y的概率密度為f(y)，求隨機變數U=X+Y的概率密度g(u).
2003年考研數學（三）真題解析
一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）
（1）設 其導函數在x=0處連續，則 的取值范圍是 .
【分析】 當 0可直接按公式求導，當x=0時要求用定義求導.
【詳解】 當 時，有

顯然當 時，有 ，即其導函數在x=0處連續.
（2）已知曲線 與x軸相切，則 可以通過a表示為 .
【分析】 曲線在切點的斜率為0，即 ，由此可確定切點的坐標應滿足的條件，再根據在切點處縱坐標為零，即可找到 與a的關系.
【詳解】 由題設，在切點處有
，有
又在此點y坐標為0，於是有
,
故
【評注】 有關切線問題應注意斜率所滿足的條件，同時切點還應滿足曲線方程.
（3）設a>0， 而D表示全平面，則 = .
【分析】 本題積分區域為全平面，但只有當 時，被積函數才不為零，因此實際上只需在滿足此不等式的區域內積分即可.
【詳解】 =
=
【評注】 若被積函數只在某區域內不為零，則二重積分的計算只需在積分區域與被積函數不為零的區域的公共部分上積分即可.
（4）設n維向量 ；E為n階單位矩陣，矩陣
， ，
其中A的逆矩陣為B，則a= -1 .
【分析】 這里 為n階矩陣，而 為數，直接通過 進行計算並注意利用乘法的結合律即可.
【詳解】 由題設，有

=
=
=
= ,
於是有 ，即 ，解得 由於A<0 ,故a=-1.
（5）設隨機變數X 和Y的相關系數為0.9, 若 ，則Y與Z的相關系數為 0.9 .
【分析】 利用相關系數的計算公式即可.
【詳解】 因為

=
=E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y),
且
於是有 cov(Y,Z)= =
【評注】 注意以下運算公式： ，
（6）設總體X服從參數為2的指數分布， 為來自總體X的簡單隨機樣本，則當 時， 依概率收斂於 .
【分析】 本題考查大數定律：一組相互獨立且具有有限期望與方差的隨機變數 ，當方差一致有界時，其算術平均值依概率收斂於其數學期望的算術平均值：

【詳解】 這里 滿足大數定律的條件，且 = ，因此根據大數定律有
依概率收斂於

二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題後的括弧內）
（1）設f(x)為不恆等於零的奇函數，且 存在，則函數
(A) 在x=0處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點x=0.
(C) 在x=0處右極限不存在. (D) 有可去間斷點x=0. [ D ]
【分析】 由題設，可推出f(0)=0 , 再利用在點x=0處的導數定義進行討論即可.
【詳解】 顯然x=0為g(x)的間斷點，且由f(x)為不恆等於零的奇函數知，f(0)=0.
於是有 存在，故x=0為可去間斷點.
【評注1】 本題也可用反例排除，例如f(x)=x, 則此時g(x)= 可排除(A),(B),(C) 三項，故應選(D).
【評注2】 若f(x)在 處連續，則 .
（2）設可微函數f(x,y)在點 取得極小值，則下列結論正確的是
(A) 在 處的導數等於零. （B） 在 處的導數大於零.
(C) 在 處的導數小於零. (D) 在 處的導數不存在.
[ A ]
【分析】 可微必有偏導數存在，再根據取極值的必要條件即可得結論.
【詳解】 可微函數f(x,y)在點 取得極小值，根據取極值的必要條件知 ，即 在 處的導數等於零, 故應選(A).
【評注1】 本題考查了偏導數的定義， 在 處的導數即 ；而 在 處的導數即
【評注2】 本題也可用排除法分析，取 ，在(0,0)處可微且取得極小值，並且有 ，可排除(B),(C),(D), 故正確選項為(A).
（3）設 ， ， ，則下列命題正確的是
(A) 若 條件收斂，則 與 都收斂.
(B) 若 絕對收斂，則 與 都收斂.
(C) 若 條件收斂，則 與 斂散性都不定.
(D) 若 絕對收斂，則 與 斂散性都不定. [ B ]
【分析】 根據絕對收斂與條件收斂的關系以及收斂級數的運算性質即可找出答案.
【詳解】 若 絕對收斂，即 收斂，當然也有級數 收斂，再根據 ， 及收斂級數的運算性質知， 與 都收斂，故應選(B).
（4）設三階矩陣 ，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有
(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b 0.
(C) a b且a+2b=0. (D) a b且a+2b 0. [ C ]
【分析】 A的伴隨矩陣的秩為1, 說明A的秩為2，由此可確定a,b應滿足的條件.
【詳解】 根據A與其伴隨矩陣A*秩之間的關系知，秩(A)=2，故有
，即有 或a=b.
但當a=b時，顯然秩(A) , 故必有 a b且a+2b=0. 應選(C).
【評注】 n（n 階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關系：

（5）設 均為n維向量，下列結論不正確的是
(A) 若對於任意一組不全為零的數 ，都有 ，則 線性無關.
(B) 若 線性相關，則對於任意一組不全為零的數 ，都有
(C) 線性無關的充分必要條件是此向量組的秩為s.
(D) 線性無關的必要條件是其中任意兩個向量線性無關. [ B ]
【分析】 本題涉及到線性相關、線性無關概念的理解，以及線性相關、線性無關的等價表現形式. 應注意是尋找不正確的命題.
【詳解】(A): 若對於任意一組不全為零的數 ,都有 ，則 必線性無關，因為若 線性相關，則存在一組不全為零的數 ,使得 ，矛盾. 可見（A）成立.
(B): 若 線性相關，則存在一組，而不是對任意一組不全為零的數 ，都有 (B)不成立.
(C) 線性無關,則此向量組的秩為s；反過來，若向量組 的秩為s，則 線性無關，因此(C)成立.
(D) 線性無關,則其任一部分組線性無關，當然其中任意兩個向量線性無關，可見(D)也成立.
綜上所述，應選(B).
【評注】 原命題與其逆否命題是等價的. 例如，原命題：若存在一組不全為零的數 ，使得 成立，則 線性相關. 其逆否命題為：若對於任意一組不全為零的數 ，都有 ，則 線性無關. 在平時的學習過程中，應經常注意這種原命題與其逆否命題的等價性.
（6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件： ={擲第一次出現正面}， ={擲第二次出現正面}， ={正、反面各出現一次}， ={正面出現兩次}，則事件
(A) 相互獨立. (B) 相互獨立.
(C) 兩兩獨立. (D) 兩兩獨立. [ C ]
【分析】按照相互獨立與兩兩獨立的定義進行驗算即可，注意應先檢查兩兩獨立，若成立，再檢驗是否相互獨立.
【詳解】 因為
， ， ， ，
且 ， ， ， ，
可見有
， ， ，
， .
故 兩兩獨立但不相互獨立； 不兩兩獨立更不相互獨立，應選(C).
【評注】 本題嚴格地說應假定硬幣是均勻的，否則結論不一定成立.
三 、（本題滿分8分）
設

試補充定義f(1)使得f(x)在 上連續.
【分析】 只需求出極限 ，然後定義f(1)為此極限值即可.
【詳解】 因為
=
=
=
=
=
由於f(x)在 上連續，因此定義
，
使f(x)在 上連續.
【評注】 本題實質上是一求極限問題，但以這種形式表現出來，還考查了連續的概念.在計算過程中，也可先作變數代換y=1-x，轉化為求 的極限，可以適當簡化.
四 、（本題滿分8分）
設f(u,v)具有二階連續偏導數，且滿足 ，又 ,求
【分析】 本題是典型的復合函數求偏導問題： ， ，直接利用復合函數求偏導公式即可，注意利用
【詳解】 ，

故 ，

所以
=
【評注】 本題考查半抽象復合函數求二階偏導.
五 、（本題滿分8分）
計算二重積分

其中積分區域D=
【分析】 從被積函數與積分區域可以看出，應該利用極坐標進行計算.
【詳解】 作極坐標變換： ，有

=
令 ，則
.
記 ，則

=
=
=
=
因此 ，

【評注】 本題屬常規題型，明顯地應該選用極坐標進行計算，在將二重積分化為定積分後，再通過換元與分步積分（均為最基礎的要求），即可得出結果，綜合考查了二重積分、換元積分與分步積分等多個基礎知識點.
六、（本題滿分9分）
求冪級數 的和函數f(x)及其極值.
【分析】 先通過逐項求導後求和，再積分即可得和函數，注意當x=0時和為1. 求出和函數後，再按通常方法求極值.
【詳解】

上式兩邊從0到x積分，得

由f(0)=1, 得

令 ，求得唯一駐點x=0. 由於

，
可見f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為
f(0)=1.
【評注】 求和函數一般都是先通過逐項求導、逐項積分等轉化為可直接求和的幾何級數情形，然後再通過逐項積分、逐項求導等逆運算最終確定和函數.
七、（本題滿分9分）
設F(x)=f(x)g(x), 其中函數f(x),g(x)在 內滿足以下條件：
， ，且f(0)=0,
(3) 求F(x)所滿足的一階微分方程；
(4) 求出F(x)的表達式.
【分析】 F(x)所滿足的微分方程自然應含有其導函數，提示應先對F(x)求導，並將其餘部分轉化為用F(x)表示，導出相應的微分方程，然後再求解相應的微分方程.
【詳解】 (1) 由

=
=
=(2 -2F(x),
可見F(x)所滿足的一階微分方程為

(2)
=
=
將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得
C=-1.
於是

【評注】 本題沒有直接告知微分方程，要求先通過求導以及恆等變形引出微分方程的形式，從題型來說比較新穎，但具體到微分方程的求解則並不復雜，仍然是基本要求的范圍.
八、（本題滿分8分）
設函數f(x)在[0，3]上連續，在（0，3）內可導，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在 ，使
【分析】 根據羅爾定理，只需再證明存在一點c ，使得 ，然後在[c,3]上應用羅爾定理即可. 條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價於 ，問題轉化為1介於f(x)的最值之間，最終用介值定理可以達到目的.
【詳解】 因為f(x)在[0，3]上連續，所以f(x)在[0，2]上連續，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，於是
，
，
.
故

由介值定理知，至少存在一點 ，使

因為f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上連續，在(c,3)內可導，所以由羅爾定理知，必存在 ，使
【評注】 介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是常考知識點，且一般是兩兩結合起來考. 本題是典型的結合介值定理與微分中值定理的情形.
九、（本題滿分13分）
已知齊次線性方程組

其中 試討論 和b滿足何種關系時，
(1) 方程組僅有零解；
(2) 方程組有非零解. 在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系.
【分析】方程的個數與未知量的個數相同，問題轉化為系數矩陣行列式是否為零，而系數行列式的計算具有明顯的特徵：所有列對應元素相加後相等. 可先將所有列對應元素相加，然後提出公因式，再將第一行的（-1）倍加到其餘各行，即可計算出行列式的值.
【詳解】 方程組的系數行列式

=
(1) 當 時且 時，秩(A)=n，方程組僅有零解.
(2) 當b=0 時，原方程組的同解方程組為

由 可知， 不全為零. 不妨設 ，得原方程組的一個基礎解系為
， ，
當 時，有 ，原方程組的系數矩陣可化為

（將第1行的-1倍加到其餘各行，再從第2行到第n行同乘以 倍）

（ 將第n行 倍到第2行的 倍加到第1行，再將第1行移到最後一行）

由此得原方程組的同解方程組為
， ， .
原方程組的一個基礎解系為

【評注】 本題的難點在 時的討論，事實上也可這樣分析：此時系數矩陣的秩為 n-1(存在n-1階子式不為零)，且顯然 為方程組的一個非零解，即可作為基礎解系.
十、（本題滿分13分）
設二次型
，
中二次型的矩陣A的特徵值之和為1，特徵值之積為-12.
(3) 求a,b的值；
(4) 利用正交變換將二次型f化為標准形，並寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣.
【分析】 特徵值之和為A的主對角線上元素之和，特徵值之積為A的行列式，由此可求出a,b 的值；進一步求出A的特徵值和特徵向量，並將相同特徵值的特徵向量正交化（若有必要），然後將特徵向量單位化並以此為列所構造的矩陣即為所求的正交矩陣.
【詳解】 （1）二次型f的矩陣為

設A的特徵值為 由題設，有
，

解得 a=1,b= -2.
(2) 由矩陣A的特徵多項式
，
得A的特徵值
對於 解齊次線性方程組 ，得其基礎解系
，
對於 ，解齊次線性方程組 ，得基礎解系

由於 已是正交向量組，為了得到規范正交向量組，只需將 單位化，由此得
， ，
令矩陣
，
則Q為正交矩陣. 在正交變換X=QY下，有
，
且二次型的標准形為

【評注】 本題求a,b，也可先計算特徵多項式，再利用根與系數的關系確定：
二次型f的矩陣A對應特徵多項式為

設A的特徵值為 ，則 由題設得
，

解得a=1,b=2.
十一、（本題滿分13分）
設隨機變數X的概率密度為

F(x)是X的分布函數. 求隨機變數Y=F(X)的分布函數.
【分析】 先求出分布函數F(x) 的具體形式，從而可確定Y=F(X) ,然後按定義求Y 的分布函數即可.注意應先確定Y=F(X)的值域范圍 ，再對y分段討論.
【詳解】 易見，當x<1時，F(x)=0; 當x>8 時，F(x)=1.
對於 ，有

設G(y)是隨機變數Y=F(X)的分布函數. 顯然，當 時，G(y)=0；當 時，G(y)=1.
對於 ，有

=
=
於是，Y=F(X)的分布函數為

【評注】 事實上，本題X為任意連續型隨機變數均可，此時Y=F(X)仍服從均勻分布:
當y<0時，G(y)=0;
當 時，G(y)=1;
當 0 時，
=
=
十二、（本題滿分13分）
設隨機變數X與Y獨立，其中X的概率分布為
，
而Y的概率密度為f(y)，求隨機變數U=X+Y的概率密度g(u).
【分析】求二維隨機變數函數的分布，一般用分布函數法轉化為求相應的概率. 注意X只有兩個可能的取值，求概率時可用全概率公式進行計算.
【詳解】 設F(y)是Y的分布函數，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數為

=
= .
由於X和Y獨立，可見
G(u)=
=
由此,得U的概率密度

=
【評注】 本題屬新題型，求兩個隨機變數和的分布，其中一個是連續型一個是離散型，要求用全概率公式進行計算，類似問題以前從未出現過，具有一定的難度和綜合性.

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我本科就讀於蘇州省一所師范院校，報考的是蘇州大學統計學專業數理統計方向。我的考研備考時間軸大概是1月-12月(初試),次年1月-3月(復試)。