四川大學數學分析考研試題

1. 數學分析，級數考研題

設f(x) = x^a, 由Lagrange中值定理,
對任意x ∈ (0,1), 存在y ∈(x,1),
使(f(1)-f(x))/(1-x) = f'(y) = ay^(a-1) > a (∵y ∈(0,1), a ∈(0,1)),
即得(1-x^a)/a > 1-x.

在上式中取x = n/(n+1), 得(1-n^a/(n+1)^a)/a > 1/(n+1),
整理得1/(n^a(n+1)) < 1/a·(1/n^a-1/(n+1)^a).
對n取遍全體正整數求和, 即得:
∑{1 ≤ n} 1/(n^a(n+1)) < 1/a·∑{1 ≤ n} (1/n^a-1/(n+1)^a) = 1/a.
首先, 易知f(x)在[0,1]有上界,
從而可設M為f(x)在[0,1]上的上確界.
對任意正整數k, 由f[k](x) ≥ f(x),
可知f[k](x)在[0,1]上的最大值 ≥ M.
因此集合E[k] = {x ∈ [0,1] | f[k](x) ≥ M} ≠ ∅.

由f[k](x)連續, E[k]為閉集.
又由f[1](x) ≥ f[2](x) ≥..., 有E[1] ⊇ E[2] ⊇...
即E[k]是[0,1]中一列遞減的非空閉集.
由"閉集套定理", 它們的交非空.
即存在c ∈ [0,1], 滿足f[k](c) ≥ M, 對任意k成立.
於是f(c) ≥ M, 即得f(x)在x = c處取得最大值.

所謂"閉集套定理"是指"閉區間套定理"的簡單推廣,
一樣可使用有限覆蓋定理證明.
記F(x) = ∫{0,x} sin(t)/t dt (x ≥ 0).
則F(x)在x = π, 3π, 5π,...處取得極大值,
進而可知其在x = π處取得最大值.
另一方面F(x)在x = 2π, 4π, 6π,...處取得極小值,
進而可知其在x = 0處取得[0,+∞)上的最小值.
因此|∫{a,b} sin(t)/t dt| = |F(b)-F(a)| ≤ F(π)-F(0) ≤ 3.
對0 ≤ a < b, 可設x[n-1] < a ≤ x[n], x[m] ≤ b < x[m+1].
|∫{a,b}f(x)dx| ≤ |∫{a,x[n]}f(x)dx|+|∫{x[n],x[m]}f(x)dx|+|∫{x[m],b}f(x)dx|
≤ |∫{x[n-1],x[n]}f(x)dx|+|∫{x[n],x[m]}f(x)dx|+|∫{x[m],x[m+1]}f(x)dx|.
當a → +∞, 有n, m → ∞.
根據Cauchy收斂准則, 右端三項都收斂到0.
從而|∫{a,b}f(x)dx|也收斂到0, 再由Cauchy收斂准則即知積分收斂.
可以用積分余項.
設g(x)為f(x)的n階導數, 則g(x)在[a,a+r]非負.
對x ∈ [a,a+r], 展開到n-1階的余項為:
R(x) = 1/(n-1)!·∫{a,x} g(t)·(x-t)^(n-1) dt.
易見(x-t)/(a+r-t)關於t單調遞減, 故(x-t)/(a+r-t) ≤ (x-a)/r.
因此R(x) ≤ 1/(n-1)!·((x-a)/r)^(n-1)·∫{a,x} g(t)·(a+r-t)^(n-1) dt
≤ 1/(n-1)!·((x-a)/r)^(n-1)·∫{a,a+r} g(t)·(a+r-t)^(n-1) dt
= ((x-a)/r)^(n-1)·R(a+r)
≤ ((x-a)/r)^(n-1)·f(a+r).
對x ∈ [a,a+r), 上式隨n → ∞收斂到0.
對我來說, 第1步裂項是比較自然的.
後面Cauchy不等式的用法技巧性較強,
在某些分析領域, 可以見到這種估計目標在兩端都出現的技術,
不過我學的不好, 就不妄加評論了.
我的話會證明∑k/A[k]有界, 因為見過這道題目.

2. 數學分析題目，求解！！

證明：因為當x趨於0時，由洛必達法則知道
lim g(x)/x=lim g『(x)=f(0)，於是題設廣義積分中x＝0不是瑕點。
另外，lim g^2(x)/x=lim 2gg'(x)=2g(0)*g'(0)=0。
因此對任意的X>0，有
積分（從0到X）g^(x)/x^2dx＝積分（從0到X）g^2(x)d(－1/x)
＝－g^2(x)/x|上限X下限0+積分（從0到X）2g(x)g'(x)/xdx
由於－g^2(X)/X<=0，g'(x)=f(x)，因此上式
<=2積分（從0到X）g(x)/x *f(x) dx
由Cauchy－Schwartz不等式有
<=2 【積分（從0到X）g^2(x)/x^2dx】^(1/2) *【積分（從0到X）f^2(x)dx】^(1/2)
解此不等式得
積分（從0到X）g^2(x)/x^2dx<=4積分（從0到X）f^2(x)dx，
於是廣義積分收斂，且題設不等式成立。

3. 關於川大數學考研！！！

四川大學基礎數學考研研究方向有哪些呢？
各個學校每年的專業設置及研究方內向會根據實容際情況有所變動，考生需登錄四川大學研究生院官網，具體的就要查看院校每年公布的研究生招生簡章、招生專業目錄。2013年基礎數學專業考研的研究方向有：
01 拓撲學
02 代數學
03 數論
04 微分方程與動力系統
05 微分幾何
06 泛函分析
二、四川大學基礎數學考研考哪些科目呢？
基礎數學專業考研招生院校比較多，基礎數學專業的研究生入學考試分為初試和復試，具體考試科目考生可以登錄四川大學研究生招生網進行查詢。2013年基礎數學專業考研科目為：
初試科目：
① 101 思想政治理論
② 201 英語一
③ 652 數學分析
④ 931 高等代數
復試科目：復變函數、泛函分析、常微分方程、近世代數
每個院校專業課的考試科目可能會有變化，而且每年的招生專業也會有變化，所以在選
擇報考專業時，一定要去報考院校的研究生信息網查詢該專業最新的研究方向及考試科

4. 一道 考研 數學

這個是數一的題，還是《數學分析》的題？
因為此數列是單調有界數列，所以必有極限。（如果你考的是《數學分析》，此處需要證明，如果是數一可以略。）
設{X（n+1）}的極限為x，X（n+1）（此處n+1是下標），則Xn的極限也是x。
根據題意
X（n+1）=2+1/Xn;即X=2+1/X解此方程得
X=1+√2;X=1-√2(捨去）；
故此極限為1+√2；
PS:「arafat111」同學，如果是數一的題，題目給出求limXn.即可認為題目首先確定{Xn}極限存在，因此也就不必再證明{Xn}極限存在。如果是數學分析的題，那麼這道題的問法有問題，應該是「判定{Xn}極限是否存在，若存在求出其極限」

再有：完全不必分別找出奇偶序列的極限，因為「(1){Xn}收斂，則其極限唯一;
(2){Xn}收斂於a等價於{Xn}的任意子列{Xnk}收斂於a」

所以你的以下解題步驟是再浪費時間「則奇，偶數列極限分別存在，設其為奇數列極限為A ,偶數列極限為B
由X2k=2+1/x[2k-2] 有A=2+1/A 解得 A=1+√2 (負的舍掉)
同理B=1+√2 (負的舍掉)
所以A=B 即奇數子數列極限=偶數子數列極限 所以xn 極限存在
設其極限為C
演算法同A,B 得xn的極限為1+√2」

還有你的{Xn}極限存在的證明使用的是什麼原理。看其來只有閉區間套定理與你的證明相近，如果是這個定理，那你的證明不完整。
（如果你看見我的疑問請告訴我你證明極限存在用的什麼定理，我在《數學分析》復旦版，和《數學分析新講》北大出版社，這兩本數都沒有發現和你的證明符合的定理，希望你能告訴我，以提高一下視野，謝謝）
首先設其奇數子列為an，偶數子列為bn，證出an單增，bn單減，再證明出
lim(an-bn)=0;你沒有給出這一部的證明。