全國大學生數學競賽試題及答案數學類

㈠ 哪裡可以搞到歷屆全國大學生數學競賽 數學類 試題及解答

去網上找找或是到全國大學生數學競賽官方網站也行

㈡ 全國大學生數學競賽數學類

大部分可以用高數的方法解答，畢竟這是全國性的！！
不一定，你對別的科目也很得手，可以參加另外的科目！！！

㈢ 請問有往年全國大學生數學競賽真題嗎（數學類）

這種是全國統一出卷的,網路一下全國大學生數學競賽非數學類試題 就好了

㈣ 求全國大學生數學競賽（預賽和決賽）非專業類的試題及答案！

所以
1
2
(1)
t
u
e
ψ
=
′
=
=
，知
3
1
1
−
=
e
C
.

∫
∫
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
2
1
2
1
3
1
1
2
1
2
3
)
)
3
(
3
(
)
3
)(
1
(
)
(
C
t
C
t
C
t
dt
C
t
C
t
dt
C
t
t
t
ψ
，
由
e
2
3
)
1
(
=
ψ
，知
，於是
2
2
=
C
3
2
1
1
(
)
(
3)
2
(
1)
2
t
t
t
t
t
e
e
ψ
=
+
+
−
+
>
−
.
…
（
15
分）

四（本題共
15
分）
、設
1
0,
n
n
n
k
a
S
=
>
=
k
a
∑
，
證明：

（
1
）當
1
α
>
時，級數
1
n
n
n
a
S
α
+∞
=
∑
收斂；

（
2
）當
1
α
≤
，且
（
n
）
時，級數
n
S
→
∞
→
∞
1
n
n
n
a
S
α
+∞
=
∑
發散
.

證明

令
1
1
(
)
,
[
,
]
n
n
f
x
x
x
S
S
α
−
−
=
∈
.

將
(
)
f
x
在區間
上用拉格朗日中值定
理，

1
[
,
n
n
S
S
−
]
)
存在
1
(
,
n
n
S
S
ξ
−
∈

1
1
(
)
(
)
(
)(
)
n
n
n
n
f
S
f
S
f
S
S
ξ
−
−
′
−
=
−

即

………………
（
5
分）

1
1
1
(1
)
n
n
S
S
α
α
α
α
ξ
−
−
−
−
−
=
−
n
a
（
1
）當
1
α
>
時，
1
1
1
1
1
(
1)
(
1)
n
n
n
n
a
a
S
S
S
n
α
α
α
α
α
ξ
−
−
−
−
=
−
≥
−
α
.

顯然
1
1
1
1
1
n
n
S
S
α
α
−
−
−
⎧
⎫
−
⎨
⎬
⎩
⎭
的
前
n
項和有界，
從而收斂，
所以級數
1
n
n
n
a
S
α
+∞
=
∑
收斂
.

……………
（
8
分）

（
2
）當
1
α
=
時
，
因為
，
單調遞增，所以

0
n
a
>
n
S
1
1
1
1
n
p
n
p
n
p
n
k
n
k
k
n
k
n
k
n
p
n
p
n
S
S
a
S
a
S
S
S
S
+
+
+
=
+
=
+
p
+
+
+
−
≥
=
=
−
∑
∑

因為
對任意
n
，
當
n
S
→
+∞
p
∈
󰁠
1
2
n
n
p
S
S
+
<
，
從而
1
1
2
n
p
k
k
n
k
a
S
+
=
+
≥
∑
.

所以級數
1
n
n
n
a
S
α
+∞
=
∑

發散
.

………………
（
12
分）

當
1
α
<
時，
n
n
n
a
a
S
S
α
≥
n
.

由
1
n
n
n
a
S
+∞
=
∑
發散及比較判別法
，
1
n
n
n
a
S
α
+∞
=
∑
發散
.
………
（
15
分）

5

五（本題共
15
分）
、
設
l
是過原點，方向為
(
,
（
其中
）
的直
線，均勻橢球
,
)
α
β
γ
2
2
2
1
α
β
γ
+
+
=
2
2
2
2
2
2
1
x
y
z
a
b
c
+
+
≤
（其中
0 <
c
<
b
<
a
，
密度為
1
）
繞
l
旋轉
.

(1
)

求其轉動慣量；
(2)
求其轉動慣量關於方
向
(
,
的最大值和最小值
.

,
)
α
β
γ
解

(1)

設旋轉軸
l
的方向向量為
，
橢球內任意一點
P(
x,y,z
)
的徑向量
為
，
則點
P
到旋轉軸
l
的距離的平方為

(
,
,
)
α
β
γ
=
l
r
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(1
)
(1
)
(1
)
2
2
2
d
x
y
z
xy
yz
xz
α
β
γ
αβ
βγ
α
=
−
⋅
=
−
+
−
+
−
−
−
−
r
r
l
γ

由積分區域的對稱性可知

(2
2
2
)
0
xy
yz
xz
dxdydz
αβ
βγ
αγ
Ω
+
+
=
∫∫∫
，
其中
2
2
2
2
2
2
(
,
,
)
1
x
y
z
x
y
z
a
b
c
⎧
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
Ω
=
+
+
≤
⎨
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭

………………
（
2
分
）

而
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
1
4
1
15
a
a
y
z
x
b
c
a
a
a
x
a
bc
x
dxdydz
x
dx
dydz
x
bc
dx
a
π
π
+
≤
−
Ω
−
−
⎛
⎞
⎟
⎜
⎟
=
=
⋅
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∫∫∫
∫
∫∫
∫

（
或
2
1
3
2
2
2
2
2
2
0
0
0
4
sin
cos
sin
15
a
bc
x
dxdydz
d
d
a
r
abcr
dr
π
π
π
θ
ϕ
ϕ
θ
ϕ
Ω
=
⋅
=
∫∫∫
∫
∫
∫
）

3
2
4
15
ab
c
y
dxdydz
π
Ω
=
∫∫∫
，
3
2
4
15
abc
z
dxdydz
π
Ω
=
∫∫∫

……………
（
5
分）

由轉到慣量的定義

(
)
2
2
2
2
2
4
(1
)
(1
)
(1
)
15
l
abc
J
d
dxdydz
a
b
c
π
α
β
γ
Ω
=
=
−
+
−
+
−
∫∫∫
2
2
c
……………
（
6
分）

(2)

考
慮
目
標
函
數

在
約
束

下的條件極值
.

2
2
2
2
2
2
(
,
,
)
(1
)
(1
)
(1
)
V
a
b
α
β
γ
α
β
γ
=
−
+
−
+
−
2
2
2
1
α
β
γ
+
+
=
設拉格朗日函數為

2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
,
,
,
)
(1
)
(1
)
(1
)
(
1)
L
a
b
c
α
β
γ
λ
α
β
γ
λ
α
β
γ
=
−
+
−
+
−
+
+
+
−

…………………
（
8
分）

令
，
，
，

2
2
(
)
0
L
a
α
α
λ
=
−
=
2
2
(
)
0
L
b
β
β
λ
=
−
=
2
2
(
)
0
L
c
γ
γ
λ
=
−
=
2
2
2
1
0
L
λ
α
β
γ
=
+
+
−
=

6

解得極值點為
，
，

.……
（
12
分）

2
1
(
1,0,0,
)
Q
a
±
2
2
(0,
1,0,
)
Q
b
±
2
3
(0,0,
1,
)
Q
±
c
比較可知，繞
z
軸（短軸）的轉動慣量最大，為
(
)
2
2
max
4
15
abc
J
a
π
=
+
b
；
繞
x
軸
（長軸）
的轉動慣量最小，
為
(
2
2
min
4
15
abc
J
b
π
=
)
c
+
.

………
（
15
分）

六（本題共
15
分）
、設函數
(
)
x
ϕ
具有連續的導數，在圍繞原點的任意光滑的簡
單閉曲線
C
上，曲線積分
4
2
2
(
C
)
xydx
x
dy
x
y
ϕ
+
+
∫
v
1
的值為常數
.

(1)
設
為正向閉曲線
.

證明
:

L
2
2
(
2)
x
y
−
+
=
4
2
2
(
)
0
L
xydx
x
dy
x
y
ϕ
+
=
+
∫
v
；

(2)

求函數
(
)
x
ϕ
；

(3)

設
C
是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求
4
2
2
(
C
)
xydx
x
dy
x
y
ϕ
+
+
∫
v
.

解

(1)

設
4
2
2
(
)
L
xydx
x
dy
I
x
y
ϕ
+
=
+
∫
v
，閉曲線
L
由
,
1,
i
L
i
2
=
組成
.

設
0
L
為不經過原點
的光滑曲線，
使得
0
1
L
L
−
∪
（其中
1
L
−
為
1
L
的反向曲線）
和
0
2
L
L
∪
分別組成圍繞
原點的分段光滑閉曲線
,
C
i
1,
2
i
=
.

由曲線積分的性質和題設條件

1
2
2
0
0
1
4
2
4
2
4
2
2
(
)
2
(
)
2
(
L
L
L
L
L
L
L
)
xydx
x
dy
xydx
x
dy
xydx
x
dy
x
y
x
y
x
y
ϕ
ϕ
−
+
+
=
+
=
+
−
−
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
v
ϕ
+
+

1
2
4
2
2
(
)
0
C
C
xydx
x
dy
I
I
x
y
ϕ
+
=
+
=
−
=
+
∫
∫
v
v

……………
（
5
分）

(2)

設
4
2
4
2
(
(
,
)
,
(
,
)
2
)
xy
x
P
x
y
Q
x
y
x
y
x
ϕ
=
=
+
+
y
.

令
Q
P
x
y
∂
∂
=
∂
∂
，
即

4
2
3
5
4
2
2
4
2
2
(
)(
)
4
(
)
2
2
(
)
(
2
)
x
x
y
x
x
x
xy
x
y
x
y
ϕ
ϕ
′
+
−
−
=
+
+
，
解
得
2
(
)
x
x
ϕ
=
−

……………………
（
10
分）

(3)

設
D
為正向閉曲線
所圍區域，由
(1)

4
2
:
a
C
x
y
+
=
1
7

2
4
2
4
2
2
(
)
2
a
C
C
xydx
x
dy
xydx
x
dy
x
y
x
y
ϕ
+
−
=
+
+
∫
∫
v
v

…………………
（
12
分）

利
用
Green
公式和對稱性，

2
4
2
2
(
)
2
4
a
a
C
C
D
xydx
x
dy
xydx
x
dy
x
dxdy
x
y
（
ϕ
+
=
−
=
−
=
+
∫
∫
∫∫

㈤ 全國大學生數學競賽試題及答案（非數學專業）

我就是要參加數學競賽的，個人覺得應該是積分，尤其是後來對曲面曲線的積分等，各種公式如高斯，格林等還有最基礎的泰勒洛必達和等價無窮小掌握好。

㈥ 誰有第三屆全國大學生數學競賽試題答案（數學類）答案

有賽區賽的答案。要的話請留下郵箱！

㈦ 求2010全國大學生數學競賽（數學類）預賽試題及答案。

一樓啊。。你沒有就不要說廢話了。。。

㈧ 求近幾年的全國大學生數學競賽試題及答案

2010年全國大學生數學專業競賽試題及解答
（1）計算積分
解方法一 直接利用分部積分法得


；
方法二 不妨設 ，由於 ，
而積分 關於 在 上一致收斂，故可交換積分次序

；
方法三 將 固定，記 ， 可證 在 上收斂．
設 因為 ，而 收斂，
所以由Weierstrass判別法知道 對 一致收斂．所以可以交換微分運算和積分運算的次序，即
．
由 的任意性，上式在 上成立．
所以 ，由於 所以 ，
即 ．

(2)若關於 的方程 ， 在區間 內有唯一的實數解，求常數 .
解：設 ，則有 ，
當 時， ；當 時， .
由此 在 處達到最小值，
又 在 內有唯一的零點，
必有 ， ，
， ，
所以 .
（3）設函數 在區間 上連續，由積分中值公式，有 ， ，若導數 存在且非零，
求 .
解： ，
，
由條件，可知
，
，
故有 .
二、設函數 在 附近可微， ， ,
定義數列 .
證明： 有極限並求其值.
證明：由導數的定義，
對於任意 ,存在 ，當 時，有 .
於是 ，
從而，當 時，有 ，
，其中 .
對於上式求和，得到
，
即 ，
令 ，有
,
由 的任意性，得到 .
設 在 上有定義，在 處可導，且 .
證明： .

三、設函數 在 上一致連續，且對任何 ，有 ，
證明： 。
試舉例說明，僅有 在 上的連續性推不出上述結論。
證明 證法一
由 在 上一致連續，對 ， ，
當
且 時，
便有 ；
取定充分大的正整數 ，使得 。現把區間 等分，設其分點為 ，每個小區間的長度小於 。
對於任意 ， ；
從而必有 ，使得 ；
由條件對每個 ，有 ；
於是存在 ，當 時， ，對 都成立；
故當 時，便有
，
即得 ，結論得證。
證法二 設 ,由題設條件知
在 上等度一致連續,對每一 ,有 ;
利用Osgood定理得, 在 上一致收斂於0,
對 ,存在 ，當 時,
有 , ,
從而當 時,有 ,
即得 ，結論得證。

設 在 上的連續，且對任何 ，
有 ，但推不出 。
例如函數
滿足在 上的連續，且對任何 ，有 ，
但不成立 。

四、設 ， 在 內連續， 在 內連續有界，且滿足條件：
當 時， ；
在 中 與 有二階偏導數，
， .
證明： 在 內處處成立.
證明：設 ，
則有
.
於是 ， ， ;
由已知條件，存在 ，當 時，
有 ， .
記 ，
設 ，我們斷言，必有 ，
假若 ，則必有 ，使得 ；
易知 ， .

這與 矛盾，
所以
從而 ， ；
由 的任意性，得
， .
故在 內處處成立 .
五、 設 .
考慮積分 ， ，定義 ，
(1)證明 ；
(2)利用變數替換： ，計算積分 的值，並由此推出 .
證明：（1）由 ，在 上一致收斂，可以進行逐項積分

，
又 ，
所以 關於 是一致收斂的，可以逐項求極限，
於是有 .
故有 ；
(2) ,
,

注意到區域 關於 軸對稱

;

;

;
或者利用分部積分,得

,
於是 ,
故 .
2010年全國大學生非數學專業競賽試題及解答

一、計算題
（1） 求極限
解法1 直接化為黎曼和的形式有困難.
注意到 ,
,
由於 ，
所以

.
解法2 利用 ，得
，
,
由於 ，
，
所以 .
（2）計算 ，
其中 為下半球 的上側， .
解法一. 先以 代入被積函數，
，
補一塊有向平面 ，其法向量與 軸正向相反，
利用高斯公式，從而得到

，
其中 為 圍成的空間區域， 為 上的平面區域 ，
於是

.
解法二. 直接分塊積分
，
其中 為 平面上的半圓 ， .
利用極坐標，得
，

，
其中 為 平面上的圓域， ，
用極坐標，得

，
因此 .
（3）現要設計一個容積為 的圓柱體的容積，已知上下兩低的材料費為單位面積 元，而側面的材料費為單位面積 元.試給出最節省的設計方案：即高與上下底面的直徑之比為何值時，所需費用最少？
解：設圓柱體的高為 ，底面直徑為 ，費用為 ，
根據題意，可知 ，

，
當且僅當 時，等號成立，
，
故當 時，所需要的費用最少.
（4）已知 在 內滿足 求 .
解：
，

，

所以， .
二、 求下列極限.
（1） ；
（2） ，其中 ， ， .
解：（1）

.
（2）
，

，
故 .
一般地，有 ，其中 ， ，

.
三．設 在 點附近有定義，且在 點可導， ， ，
求 .
解：

.

四、 設 在 上連續，無窮積分 收斂，求 .
解：設 ，由條件知， ，
，
利用分部積分，得
，
，
，
於是
.

五．設函數 在 上連續，在 內可微，且 ， .
證明：（1）存在 ，使得 ；
（2）對於每一 ，存在 ，使得 .
證明：（1）令 ，
由題設條件，可知 ，
；
利用連續函數的介值定理，得
存在 ，使得 ，即 .
（2）令 ，
由題設條件和（1）中的結果，可知，
， ；
利用羅爾中值定理，得
存在 ，使得 ，
由 ，
即得 .

六、 試證：對每一個整數 ，成立
.
分析：這是一個估計泰勒展開余項的問題，其技巧在於利用泰勒展開的積分余項.
證明：顯然 時，不等式成立；
下設 .
由於 ，
這樣問題等價於證明
，
即
，
令 上式化為
，
從而等價於 ，
只要證明 ，
設 ，則只要證明
， ，
就有 ，
，
則問題得證.
以下證明 ， ，成立
上式等價於 ，
即 ，
令 ，
則 ，並且對 ，有

，
從而當 時， ，
這樣問題得證.
註：利用這一結論，我們可以證明如下結論.
六、設 為整數， ，證明方程 ，在 上至少有一個根.
六、 證明：存在 ，使得 .
證明：令 ，
則有 ，

，
由連續函數的介值定理，得
存在 ，使得 ，
故問題得證.
這里是由於 ， ，
在 上嚴格單調遞減，
所以，當 時，有 .
七、 是否存在 上的可微函數 ，使得 ，若存在，請給出一個例子；若不存在，請給出證明。
證明 如果這樣的函數 存在，
我們來求 的不動點，即滿足 的 ，
，
，
由此得 ，這表明 有唯一的不動點 ，易知 也僅有唯一的不動點 ， ，在等式 ，兩邊對 求導，得
，
讓 ，即得 ，這是不可能的，故這樣的函數不存在。
八、設函數 在 上一致連續，且對任何 ，有 ，
證明： 。
試舉例說明，僅有 在 上的連續性推不出上述結論。
證明
由 在 上一致連續，對 ， ，
當
且 時，
便有 ；
取定充分大的正整數 ，使得 。現把區間 等分，設其分點為 ，每個小區間的長度小於 。
對於任意 ， ；
從而必有 ，使得 ；
由條件對每個 ，有 ；
於是存在 ，當 時， ，對 都成立；
故當 時，便有
，
即得 ，結論得證。

設 在 上的連續，且對任何 ，有 ，
但推不出上述結論。
例如函數
滿足在 上的連續，且對任何 ，有 ，
但不成立 。
高等數學競賽試題7答案
一、求由方程 所確定的函數 在 內的極值，並判斷是極大值還是極小值.
解：對 兩邊求導得 ，
令 得 ，代入原方程解得 .
.
故當 時， 取極大值 .
二、設 ，求 , .
解： = ,
=
三、計算曲線積分 ，其中 是以點（1，0）為中心， 為半徑的圓周 ,取逆時針方向.
解： , , 當 時, ， 當 時 ,由格林公式知, .
當 時, ,作足夠小的橢圓曲線 , 從 到 .
當 充分小時, 取逆時針方向,使 ,於是由格林公式得 ，
因此 = =
四、設函數 在 內具有連續的導數，且滿足
，
其中 是由 所圍成的閉區域，求當 時 的表達式.
解：
= ,
兩邊對 求導得
，且 ，
這是一個一階線性微分方程，解得

五、設 ，求級數 的和.

解：令 , 則
= .

.
.

= = ,

六、設 在 上連續且單調增加，試證：對任意正數 ， ，恆有
.
解：令 ，
則 ,
=

= ,
於是 .
七、設 具有連續偏導數，由方程 =0確定隱函數 ，求 .
解：兩邊對 求偏導得 ,
兩邊對 求偏導得 ,
， , =1.
八、設 ，判別數列 的斂散性.
解：定義 ，令 ，則 ,
當 時， ,
= .
, 由 可知 收斂，從而 收斂.
九、設半徑為 的球面 的球心在球面 ： 上，問當 為何值時，球面 在球面 內部的那部分面積最大？
解：由對稱性可設 的方程為 ，球面 被球面 所割部分的方程為 ，
, ,
.
球面 與球面 的交線在 平面的投影曲線方程為 ，令
所求曲面面積為 ,
= .
令 得駐點 ,
容易判斷當 時，球面 在球面 內部的那部分面積最大.
十.計算 ，其中曲線弧 為： ， .
解： , (1) ,
， (2)
將(1)、(2)代入 得
= =4.
十一.計算曲面積分 ，其中 是曲面 被平面 所截出部分的上側.
解：記 為 平面上被園 所圍成的部分的下側， 為由 與 圍成的空間閉區域.由高斯公式知

=
=
=2 .
=3