大連理工大學矩陣與數值分析課後答案
⑴ 數值分析第五版第二章課後題答案
第二章 插值法
1．當 時， ,求 的二次插值多項式。
解：
則二次拉格朗日插值多項式為
2．給出 的數值表
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144
用線性插值及二次插值計算 的近似值。
解：由表格知，
若採用線性插值法計算 即 ，
則
若採用二次插值法計算 時，
3．給全 的函數表，步長 若函數表具有5位有效數字，研究用線性插值求 近似值時的總誤差界。
解：求解 近似值時，誤差可以分為兩個部分，一方面，x是近似值，具有5位有效數字，在此後的計算過程中產生一定的誤差傳播；另一方面，利用插值法求函數 的近似值時，採用的線性插值法插值余項不為0，也會有一定的誤差。因此，總誤差界的計算應綜合以上兩方面的因素。
當 時，
令
取
令
則
當 時，線性插值多項式為
插值余項為
又 在建立函數表時，表中數據具有5位有效數字，且 ，故計算中有誤差傳播過程。
總誤差界為
4．設為互異節點，求證：
（1）
（2）
證明
（1） 令
若插值節點為 ，則函數 的 次插值多項式為 。
插值余項為
又
由上題結論可知
得證。
5設 且 求證：
解：令 ，以此為插值節點，則線性插值多項式為
=
插值余項為
6．在 上給出 的等距節點函數表，若用二次插值求 的近似值，要使截斷誤差不超過 ，問使用函數表的步長h應取多少？
解：若插值節點為 和 ，則分段二次插值多項式的插值余項為
設步長為h，即
若截斷誤差不超過 ，則
7．若 ，
解：根據向前差分運算元和中心差分運算元的定義進行求解。
8．如果 是m次多項式，記 ，證明 的k階差分 是 次多項式，並且 （ 為正整數）。
解：函數 的 展式為
其中
又 是次數為 的多項式
為 階多項式
為 階多項式
依此過程遞推，得 是 次多項式
是常數
當 為正整數時，
9．證明
證明
得證
10．證明
證明：由上題結論可知
得證。
11．證明
證明
得證。
12．若 有 個不同實根 ，
證明：
證明： 有個不同實根
且
令
則
而
令
則
又
得證。
13．證明 階均差有下列性質：
（1）若 ，則
（2）若 ，則
證明：
（1）
得證。
+
得證。
14． 求 及 。
解：
若
則
15．證明兩點三次埃爾米特插值余項是
解：
若 ，且插值多項式滿足條件
插值余項為
由插值條件可知
且
可寫成
其中 是關於 的待定函數，
現把 看成 上的一個固定點，作函數
根據余項性質，有
由羅爾定理可知，存在 和 ，使
即 在 上有四個互異零點。
根據羅爾定理， 在 的兩個零點間至少有一個零點，
故 在 內至少有三個互異零點，
依此類推， 在 內至少有一個零點。
記為 使
又
其中 依賴於
分段三次埃爾米特插值時，若節點為 ，設步長為 ，即
在小區間 上
16．求一個次數不高於4次的多項式P（x），使它滿足
解：利用埃米爾特插值可得到次數不高於4的多項式
設
其中，A為待定常數
從而
17．設 ，在 上取 ，按等距節點求分段線性插值函數 ，計算各節點間中點處的 與 值，並估計誤差。
解：
若
則步長
在小區間 上，分段線性插值函數為
各節點間中點處的 與 的值為
當 時，
當 時，
當 時，
當 時，
當 時，
誤差
又
令
得 的駐點為 和
18．求 在 上分段線性插值函數 ，並估計誤差。
解：
在區間 上，
函數 在小區間 上分段線性插值函數為
誤差為
19．求 在 上分段埃爾米特插值，並估計誤差。
解：
在 區間上，
令
函數 在區間 上的分段埃爾米特插值函數為
誤差為
又
20．給定數據表如下：
Xj 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53
Yj 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280
試求三次樣條插值，並滿足條件：
解：
由此得矩陣形式的方程組為
2 1 M0
2 M1
2 M2
2 M3
1 2 M4
求解此方程組得
三次樣條表達式為
將 代入得
由此得矩陣開工的方程組為
求解此方程組，得
又 三次樣條表達式為
將 代入得
21．若 是三次樣條函數，證明：
若 ，式中 為插值節點，且 ，則
證明：
從而有
⑵ 大連理工大學矩陣與數值分析有掛科的嗎
開學後補考，如果補考還不能過的話。有兩種選擇，一種重修，一種重考。重修是和學分掛鉤，需要重新學習一學期後，參加考試。重考，不用參加學習，只是待再考試這一科的時候，報名，重新考試即可。正常情況下，重修沒有次數限制，重考只能有一次。
希望你不用掛科，掛科，也不要氣餒~加油！
本回答由提問者推薦