同濟大學線性代數第五版答案

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第一章 行列式
1. 利用對角線法則計算下列三階行列式:
(1) ;
解
=2�0�7(-4)�0�73+0�0�7(-1)�0�7(-1)+1�0�71�0�78
-0�0�71�0�73-2�0�7(-1)�0�78-1�0�7(-4)�0�7(-1)
=-24+8+16-4=-4.
(2) �8�6
解
=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc
=3abc-a3-b3-c3.

(3) ;
解
=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2
�8�8(a-b)(b-c)(c-a).

(4) .
解
=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3
=3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3
=-2(x3+y3).
2. 按自然數從小到大為標准次序, 求下列各排列的逆序數:
(1)1 2 3 4;
解 逆序數為0
(2)4 1 3 2;
解 逆序數為4: 41, 43, 42, 32.
(3)3 4 2 1;
解 逆序數為5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4)2 4 1 3;
解 逆序數為3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n);
解 逆序數為 :
3 2 (1個)
5 2, 5 4(2個)
7 2, 7 4, 7 6(3個)
× × × × × ×
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個)

(6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2.
解 逆序數為n(n-1) :
3 2(1個)
5 2, 5 4 (2個)
× × × × × ×
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個)
4 2(1個)
6 2, 6 4(2個)
× × × × × ×
(2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1個)
3. 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項.
解 含因子a11a23的項的一般形式為
(�8�21)ta11a23a3ra4s,
其中rs是2和4構成的排列�8�1 這種排列共有兩個�8�1 即24和42�8�3
所以含因子a11a23的項分別是
(�8�21)ta11a23a32a44�8�8(�8�21)1a11a23a32a44�8�8�8�2a11a23a32a44�8�1
(�8�21)ta11a23a34a42�8�8(�8�21)2a11a23a34a42�8�8a11a23a34a42�8�3
4. 計算下列各行列式:
(1) ;
解
.
(2) ;
解
.
(3) ;
解
�8�3
(4) .
解

�8�8abcd+ab+cd+ad+1.
5. 證明:
(1) =(a-b)3;
證明

=(a-b)3 .
(2) ;
證明

.

(3) ;
證明
(c4-c3, c3-c2, c2-c1得)
(c4-c3, c3-c2得)
.

(4)
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);
證明

=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).
(5) =xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an .

證明 用數學歸納法證明�8�3
當n=2時, , 命題成立.
假設對於(n-1)階行列式命題成立, 即
Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1,
則Dn按第一列展開�8�1 有

=xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an .
因此, 對於n階行列式命題成立.

6. 設n階行列式D=det(aij), 把D上下翻轉、或逆時針旋轉90°、或依副對角線翻轉, 依次得
, , ,
證明 , D3=D .
證明 因為D=det(aij), 所以

�8�3
同理可證
.
.

7. 計算下列各行列式(Dk為k階行列式):
(1) , 其中對角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0;
解
(按第n行展開)

=an-an-2=an-2(a2-1).

(2) ;
解 將第一行乘(-1)分別加到其餘各行, 得
�8�1
再將各列都加到第一列上, 得
=[x+(n-1)a](x-a)n-1.
(3) ;
解 根據第6題結果�8�1 有

此行列式為范德蒙德行列式�8�3

.

(4) ;
解
(按第1行展開)

�8�3
再按最後一行展開得遞推公式
D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2�8�3
於是 .
而 �8�1
所以 �8�3
(5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|;
解 aij=|i-j|,

�8�8(-1)n-1(n-1)2n-2.
(6) , 其中a1a2 × × × an�0�10.

解

�8�3

8. 用克萊姆法則解下列方程組:
(1) �8�6
解 因為
�8�1
�8�1 �8�1
�8�1 �8�1
所以 , , , .
(2) �8�3

解 因為
�8�1
�8�1 �8�1
�8�1 �8�1
�8�1
所以
, , , , .
9. 問l, m取何值時, 齊次線性方程組 有非零解？
解 系數行列式為
�8�3
令D=0, 得
m=0或l=1�8�3
於是�8�1 當m=0或l=1時該齊次線性方程組有非零解.

10. 問l取何值時, 齊次線性方程組 有非零解？
解 系數行列式為

=(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)
=(1-l)3+2(1-l)2+l-3.
令D=0, 得
l=0, l=2或l=3.
於是�8�1 當l=0, l=2或l=3時, 該齊次線性方程組有非零解

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第一章 行列式
1. 利用對角線法則計算下列三階行列式:
(1) ;
解
=2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8
-0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1)
=-24+8+16-4=-4.
(2) 
解
=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc
=3abc-a3-b3-c3.

(3) ;
解
=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2
(a-b)(b-c)(c-a).

(4) .
解
=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3
=3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3
=-2(x3+y3).
2. 按自然數從小到大為標准次序, 求下列各排列的逆序數:
(1)1 2 3 4;
解 逆序數為0
(2)4 1 3 2;
解 逆序數為4: 41, 43, 42, 32.
(3)3 4 2 1;
解 逆序數為5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4)2 4 1 3;
解 逆序數為3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n);
解 逆序數為 :
3 2 (1個)
5 2, 5 4(2個)
7 2, 7 4, 7 6(3個)
× × × × × ×
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個)

(6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2.
解 逆序數為n(n-1) :
3 2(1個)
5 2, 5 4 (2個)
× × × × × ×
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個)
4 2(1個)
6 2, 6 4(2個)
× × × × × ×
(2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1個)
3. 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項.
解 含因子a11a23的項的一般形式為
(1)ta11a23a3ra4s,
其中rs是2和4構成的排列 這種排列共有兩個 即24和42
所以含因子a11a23的項分別是
(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44
(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42
4. 計算下列各行列式:
(1) ;
解
.
(2) ;
解
.
(3) ;
解

(4) .
解

abcd+ab+cd+ad+1.
5. 證明:
(1) =(a-b)3;
證明

=(a-b)3 .
(2) ;
證明

.

(3) ;
證明
(c4-c3, c3-c2, c2-c1得)
(c4-c3, c3-c2得)
.

(4)
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);
證明

=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).
(5) =xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an .

證明 用數學歸納法證明
當n=2時, , 命題成立.
假設對於(n-1)階行列式命題成立, 即
Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1,
則Dn按第一列展開 有

=xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an .
因此, 對於n階行列式命題成立.

6. 設n階行列式D=det(aij), 把D上下翻轉、或逆時針旋轉90°、或依副對角線翻轉, 依次得
, , ,
證明 , D3=D .
證明 因為D=det(aij), 所以


同理可證
.
.

7. 計算下列各行列式(Dk為k階行列式):
(1) , 其中對角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0;
解
(按第n行展開)

=an-an-2=an-2(a2-1).

(2) ;
解 將第一行乘(-1)分別加到其餘各行, 得

再將各列都加到第一列上, 得
=[x+(n-1)a](x-a)n-1.
(3) ;
解 根據第6題結果 有

此行列式為范德蒙德行列式

.

(4) ;
解
(按第1行展開)


再按最後一行展開得遞推公式
D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2
於是 .
而 
所以 
(5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|;
解 aij=|i-j|,

(-1)n-1(n-1)2n-2.
(6) , 其中a1a2 × × × an¹0.

解



8. 用克萊姆法則解下列方程組:
(1) 
解 因為

 
 
所以 , , , .
(2) 

解 因為

 
 

所以
, , , , .
9. 問l, m取何值時, 齊次線性方程組 有非零解？
解 系數行列式為

令D=0, 得
m=0或l=1
於是 當m=0或l=1時該齊次線性方程組有非零解.

10. 問l取何值時, 齊次線性方程組 有非零解？
解 系數行列式為

=(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)
=(1-l)3+2(1-l)2+l-3.
令D=0, 得
l=0, l=2或l=3.
於是 當l=0, l=2或l=3時, 該齊次線性方程組有非零解.

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