湖南省大學生物理競賽20屆試題及答案

1. 第21屆大學生物理競賽題

設：小球在水平方向的位移為X,，在垂直方向的位移為Y
由系統在水平方向的動量守恆可得圓柱在水平方向的位移為，S=mX/M
則小球在水平方向的總位移為XZ=(X+X/M)
由圓柱靜止時小球的軌跡為：X^2+Y^2=R^2
代入得：（（X+Xm/M)^2+Y^2=R^2
（m+M)^X^2/(M^2*R^2)+Y^2/R^2 此為一橢圓。

2. 23屆全國物理競賽決賽試題及答案

2006年第23屆全國中學生物理競賽預賽試卷
總分200分 考試時間180分鍾
一、（20分，每小題10分）
1、如圖所示，彈簧S1的上端固定在天花板上，下端連一小球A，球A與球B之間用線相連。球B與球C之間用彈簧S2相連。A、B、C的質量分別為mA、mB、mC，彈簧與線的質量均可不計。開始時它們都處在靜止狀態。現將A、B間的線突然剪斷，求線剛剪斷時A、B、C的加速度。

2、兩個相同的條形磁鐵，放在平板AB上，磁鐵的N、S極如圖所示。開始時平板及磁鐵皆處於水平位置，且靜止不動。
（i）現將AB突然豎直向下平移（磁鐵與平板間始終相互接觸），並使之停在A′B′處，結果發現兩個條形磁鐵碰在一起。
（ii）如果將AB從原位置突然豎直向上平移，並使之停在A〃B〃位置處，結果發現兩條形磁鐵也碰在一起。
試定性地解釋上述現象。

二、（20分，每1小題12分，第2小題8分）
1、老爺爺的眼睛是老花眼。
（i）一物體P放在明視距離處，老爺爺看不清楚。試在示意圖1中畫出此時P通過眼睛成像的光路示意圖。
（ii）戴了一副300度的老花鏡後，老爺爺就能看清楚放在明視距離處的物體P，試在示意圖2中畫出P通過老花鏡和眼睛成像的光路示意圖。
（iii）300度的老花鏡的焦距f= m。
2、有兩個凸透鏡，它們的焦距分別為f1和f2，還有兩個凹透鏡，它們的焦距分別為f3和f4。已知，f1>f2>|f3|>|f4|。如果要從這四個透鏡中選取兩個透鏡，組成一架最簡單的單筒望遠鏡，要求能看到放大倍數盡可能大的正立的像，則應選焦距為 的透鏡作為物鏡，應選焦距為 的透鏡作為目鏡。

三、（20分，第1小題12分，第2小題8分）
1、如圖所示，電荷量為q1的正點電荷固定在坐標原點O處，電荷量為q2的正點電荷固定在x軸上，兩電荷相距l。已知q2=2q1。
（i）求在x軸上場強為零的P點的坐標。
（ii）若把一電荷量為q0的點電荷放在P點，試討論它的穩定性（只考慮q0被限制在沿x軸運動和被限制在沿垂直於x軸方向運動這兩種情況）。
2、有一靜電場，其電勢U隨坐標x的改變而變化，變化的圖線如圖1所示。試在圖2中畫出該靜電場的場強E隨x變化的圖線（設場強沿x軸正方向時取正值，場強沿x軸負方向時取負值）。

四、（20分）一根長為L（以厘米為單位）的粗細均勻的、可彎曲的細管，一端封閉，一端開口，處在大氣中。大氣的壓強與H厘米高的水銀柱產生的壓強相等，已知管長L>H。現把細管彎成L形，如圖所示。假定細管被彎曲時，管長和管的內徑都不發生變化。可以把水銀從管口徐徐注入細管而不讓細管中的氣體泄出。當細管
彎成L形時，以l表示其豎直段的長度，問l取值滿足什麼條件時，注入細管的水銀量為最大值？給出你的論證並求出水銀量的最大值（用水銀柱的長度表示）。

五、（20分）一對正、負電子可形成一種壽命比較短的稱為電子偶素的新粒子。電子偶素中的正電子與負電子都以速率v繞它們連線的中點做圓周運動。假定玻爾關於氫原子的理論可用於電子偶素，電子的質量m、速率v和正、負電子間的距離r的乘積也滿足量子化條件，即mrv=n 式中n稱為量子數，可取整數值1,2,3,…；h為普朗克常量。試求電子偶素處在各定態時的r和能量以及第一激發態與基態能量之差。

六、（25分）如圖所示，兩個金屬輪A1、A2，可繞通過各自中心並與輪面垂直的固定的光滑金屬細軸O1和O2轉動，O1和O2相互平行，水平放置。每個金屬輪由四根金屬輻條和金屬環組成，A1輪的輻條長為a1、電阻為R1，A2輪的輻條長為a2、電阻為R2，連接輻條的金屬環的寬度與電阻都可以忽略。半徑為a0的絕緣圓盤D與A1同軸且固連在一起。一輕細繩的一端固定在D邊緣上的某點，繩在D上繞足夠匝數後，懸掛一質量為m的重物P。當P下落時，通過細繩帶動D和A1繞O1軸轉
動。轉動過程中，A1、A2保持接觸，無相對滑動；兩輪與各自細軸之間保持良好的電接觸；兩細軸通過導線與一阻值為R的電阻相連。除R和A1、A2兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計。整個裝置處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向與轉軸平行。現將P釋放，試求P勻速下落時的速度。

七、（25分）圖示為一固定不動的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為R，圓筒的軸線在O處。圓筒內有勻強磁場，磁場方向與圓筒的軸線平行，磁感應強度為B。筒壁的H處開有小孔，整個裝置處在真空中。現有一質量為m、電荷量為q的帶電粒子P以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔射
入圓筒，經與筒壁碰撞後又從小孔射出圓筒。設：筒壁是光滑的，P與筒壁碰撞是彈性的，P與筒壁碰撞時其電荷量是不變的。若要使P與筒壁碰撞的次數最少，問：
1、P的速率應為多少？ 2、P從進入圓筒到射出圓筒經歷的時間為多少？

八、（25分）圖中正方形ABCD是水平放置的固定梁的橫截面，AB是水平的，截面的邊長都是l。一根長為2l的柔軟的輕細繩，一端固定在A點，另一端系一質量為m的小球，初始時，手持小球，將繩拉直，繞過B點使小球處於C點。現給小球一豎直向下的初速度v0，使小球與CB邊無接觸地向下運動，當v02分別取下列兩值時，小球將打到樑上的何處？
1、 2、
設繩的伸長量可不計而且繩是非彈性的。

九、（25分）從赤道上的C點發射洲際導彈，使之精確地擊中北極點N，要求發射所用的能量最少。假定地球是一質量均勻分布的半徑為R的球體，R=6400km。已知質量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運動時，其能量E與橢圓半長軸a的關系為E=－G 式中M為地球質量，G為引力常量。
1、假定地球沒有自轉，求最小發射速度的大小和方向（用速度方向與從地心O到發射點C的連線之間的夾角表示）。
2、若考慮地球的自轉，則最小發射速度的大小為多少？ 3、試導出E=－G 。

06年第23屆全國中學生物理競賽預賽參考答案及評分標准
一、 參考解答：
1、線剪斷前，整個系統處於平衡狀態。此時彈簧S1的彈力F1=(mA+mB+mC)g （1）
彈簧S2的彈力F2=mcg （2）
在線剛被剪斷的時刻，各球尚未發生位移，彈簧的長度尚無變化，故F1、F2的大小尚未變化，但線的拉力消失。設此時A、B、C的加速度的大小分別為aA、aB、aC，
則有F1－mAg=mAaA（3） F2+mBg=mBaB（4） F2－mCg=mCaC（5）
解以上有關各式得aA= g，方向豎直向上(6)；aB= g，方向豎直向下(7)；aC=0（8）
2、開始時，磁鐵靜止不動，表明每一條磁鐵受到另一條磁鐵的磁力與它受到板的靜摩擦力平衡。
（i）從板突然豎直向下平移到停下，板和磁鐵的運動經歷了兩個階段。起初，板向下加速移動，板與磁鐵有脫離接觸的趨勢，磁鐵對板的正壓力減小，並跟隨板一起作加速度方向向下、速度向下的運動。在這過程中，由於磁鐵對板的正壓力減小，最大靜摩擦力亦減小。向下的加速度愈大，磁鐵的正壓力愈小，最大靜摩擦力也愈小。當板的加速度大到某一數值時，最大靜摩擦力減小到小於磁力，於是磁鐵沿著平板相向運動並吸在一起。接著，磁鐵和板一起作加速度方向向上、速度向下的運動，直線停在A′B′處。在這過程中，磁鐵對板的正壓力增大，最大靜摩擦力亦增大，因兩磁鐵已碰在一起，磁力、接觸處出現的彈力和可能存在的靜摩擦力總是平衡的，兩條磁鐵吸在一起的狀態不再改變。
（ii）從板突然豎直向下平移到停下，板和磁鐵的運動也經歷了兩個階段。起初，板和磁鐵一起作加速度方向向上、速度向上的運動。在這過程中，正壓力增大，最大靜摩擦力亦增大，作用於每個磁鐵的磁力與靜摩擦力始終保持平衡，磁鐵在水平方向不發生運動。接著，磁鐵和板一起作加速度方向向下、速度向上的運動，直線停在A〃B〃處。在這過程中，磁鐵對板的正壓力減小，最大靜摩擦力亦減小，向下的加速度愈大，磁鐵的正壓力愈小，最大靜摩擦力也愈小。當板的加速度大到某一數值時，最大靜摩擦力減小到小於磁力，於是磁鐵沿著平板相向運動並吸在一起。
評分標准：（本題20分）
1、10分，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各1分，aA、aB的方向各1分。
2、10分，（i）5分，（ii）5分，（必須正確說出兩條形磁鐵能吸引在一起的理由，才給這5分，否則不給分）。
二、參考答案
1、（i） （ii） （iii） 2、f1，f4
評分標准：（本題20分）1、12分，（i）4分，（ii）4分，（iii）4分。 2、8分。兩個空格都填對，才給這8分，否則0分。
三、參考答案
1、
（i）通過對點電荷場強方向的分析，場強為零的P點只可能位於兩點電荷之間。設P點的坐標為x0，則有 = （1） 已知q2=2q1 （2）
由（1）、（2）兩式解得x0= （3）
（ii）先考察點電荷q0被限制在沿x軸運動的情況。q1、q2兩點電荷在P點處產生的場強的大小分別為E10= E20= ，且有E10=E20，二者方向相反。點電荷q0在P點受到的合力為零，故P點是q0的平衡位置。在x軸上P點右側x=x0+△x處，q1、q2產生的場強的大小分別為
E′1= <E10 方向沿x軸正方向 E′2= >E20 方向沿x軸負方向
由於E′2>E′1，x=x0+△x處合場強沿x軸的負方向，即指向P點。在x軸上P點左側x=x0－△x處，q1、q2的場強的大小分別為E〃1= >E10 方向沿x軸正方向 E〃2= <E20 方向沿x軸負方向
由於E〃2<E〃1，x=x0－△x處合場強的方向沿x軸的正方向，即指向P點。
由以上的討論可知，在x軸上，在P點的兩側，點電荷q1和q2產生的電場的合場強的方向都指向P點，帶正電的點電荷在P點附近受到的電場力都指向P點，所以當q0>0時，P點是q0的穩定平衡位置。帶負電的點電荷在P點附近受到的電場力都背離P點，所以當q0<0時，P點是q0的不穩定平衡位置。
再考慮q0被限制在沿垂直於x軸的方向運動的情況。沿垂直於x軸的方向，在P點兩側附近，點電荷q1和q2產生的電場的合場強沿垂直x軸分量的主向都背離P點，因而帶正電的點電荷在P點附近受到沿垂直x軸的分量的電場力都背離P點。所以，當q0>0時，P點是q0的不穩定平衡位置。帶負電的點電荷在P點附近受到的電場力都指向P點，所以當q0<0時，P點是q0的穩定平衡位置。
2、評分標准：（本題20分） 1、12分，（i）2分
（ii）當q0被限制在沿x軸方向運動時，正確論證q0>0，P點是q0的穩定平衡位置，佔3分；正確論證q0<0，P點是q0的不穩定平衡位置，佔3分。（未列公式，定性分析正確的同樣給分）
當q0被限制在垂直於x軸方向運動時，正確論證q0>0，P點是q0的不穩定平衡位置，佔2分；正確論證q0<0，P點是q0的穩定平衡位置，佔2分。
2、8分。縱坐標的數值或圖線有錯的都給0分。縱坐標的數值、圖線與參考解答不同，正確的同樣給分。
四、參考解答：
開始時豎直細管內空氣柱長度為L，壓強為H（以cmHg為單位），注入少量水銀後，氣柱將因水銀柱壓力而縮短。當管中水銀柱長度為x時，管內空氣壓強p=(H+x)，根據玻意耳定律，此時空氣柱長度L′= （1） 空氣柱上表面與管口的距離d=L－L′= （2）
開始時x很小，由於L>H，故 >1
即水銀柱上表面低於管口，可繼續注入水銀，直至d=x（即水銀柱上表面與管口相平）時為止。何時水銀柱表面與管口相平，可分下面兩種情況討論。
1、水銀柱表面與管口相平時，水銀柱未進入水平管，此時水銀柱的長度x≤l，
由玻意耳定律有(H+x)(L－x)=HL （3） 由（3）式可得x=L－H （4）
由此可知，當l≥L－H時，注入的水銀柱的長度x的最大值xmax=L－H（5）
2、水銀柱表面與管口相平時，一部分水銀進入水平管，此時注入水銀柱的長度x>l，由玻意耳定律有(H+l)(L－x)=HL （6） x= (7) l<x= （8）
由（8）式得l<L－H或L>H+l （9） x=L－H <L－H （10）
即當l<L－H時，注入水銀柱的最大長度x<xmax。
由上討論表明，當l≥L－H時，可注入的水銀量為最大，這時水銀柱的長度為xmax，即（5）式。
評分標准：（本題20分） 正確論證當l≥L－H時，可注入的水銀量最大，佔13分。求出最大水銀量佔7分，若論證的辦法與參考解答不同，只要正確，同樣給分。
五、參考解答：
正、負電子繞它們連線的中點作半徑為 的圓周運動，電子的電荷量為e，正、負電子間的庫侖力是電子作圓周運動所需的向心力，即 (1)
正電子、負電子的動能分別為Ek+和Ek－，有Ek+=Ek－= mv2 （2）
正、負電子間相互作用的勢能Ep=－ （3） 電子偶素的總能量E=Ek++Ek－+Ep （4）
由（1）、（2）、（3）、（4）各式得E=－ (5) 根據量子化條件mrv=n n=1,2,3,…… （6）
（6）式表明，r與量子數n有關。由（1）和（6）式得與量子數n對應的定態r為
rn= n=1,2,3,…… （7）
代入（5）式得與量子數n對應的定態的E值為En= n=1,2,3,…… （8）
n=1時，電子偶素的能量最小，對應於基態。基態的能量為E1=－ （9）
n=2是第一激發態，與基態的能量差△E= （10）
評分標准：（本題20分）（2）式2分，（5）式4分，（7）式、（8）式各5分，（10）式4分。
六、參考解答：
P被釋放後，細繩的張力對D產生機械力矩，帶動D和A1作逆時針的加速轉動，通過兩個輪子之間無相對運動的接觸，A1帶動A2作順時針的加速運動。由於兩個輪子的輻條切割磁場線，所以在A1產生由周邊沿輻條指向軸的電動勢，在A2產生由軸沿輻條指向周邊的電動勢，經電阻R構成閉合電路。A1、A2中各輻條上流有沿電動勢方向的電流，在磁場中輻條受到安培力。不難看出，安培力產生的電磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速轉動的勢頭減緩。A1、A2從起始的靜止狀態逐漸加速轉動，電流隨之逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機械力矩相等，D、A1和A2停止作加速轉動，均作勻角速轉動，此時P勻速下落，設其速度為v，則A1的角速度 (1)
A1帶動A2轉動，A2的角速度ω2與A1的角速度ω1之間的關系為ω1a1=ω2a2 （2）
A1中每根輻條產生的感應電動勢均為 （3）
軸與輪邊之間的電動勢就是A1中四條輻條電動勢的並聯，其數值見（3）式。
同理，A2中，軸與輪邊之間的電動勢就是A2中四條輻條電動勢的並聯，其數值為 （4）
A1中，每根輻條的電阻為R1，軸與輪邊之間的電動勢就是A1中四條輻條電動勢的並聯，其數值為RA1= （5） A2中，每根輻條的電阻為R2，軸與輪邊之間的電動勢就是A2中四條輻條電動勢的並聯，其數值為RA2= （6）
A1輪、A2輪和電阻R構成串聯迴路，其中的電流為I= （7）
以（1）至（6）式代入（7）式，得I= （8）
當P勻速下降時，對整個系統來說，重力的功率等於所有電阻的焦耳熱功率之和，即
mgv=I2(R+ + ) （9） 以（8）式代入（9）式得v= (10)
評分標准：（本題25分）
（1）、（2）式各2分，（3）、（4）式各3分，（5）、（6）、（7）式各2分，（9）式6分，（10）式3分。
七、參考解答：
1、如圖1所示，設筒內磁場的方向垂直紙面指向紙外，帶電粒子P帶正電，其速率為v。P從小孔射入圓筒中因受到磁場的作用力而偏離入射方向，若與筒壁只發生一次碰撞，是不可能從小孔射出圓筒的。但與筒壁碰撞兩次，它就有可能從小孔射出。在此情形中，P在筒內的路徑由三段等長、等半徑的圓弧HM、MN和NH組成。現考察其中一段圓弧MN，如圖2所示，由於P沿筒的半徑方向入射，OM和ON均與軌道相切，兩者的夾角 （1）
設圓弧的圓半徑為r，則有qvB=m （2）
圓弧對軌道圓心O′所張的圓心角 （3）
由幾何關系得r=Rcot （4）
解（2）、（3）、（4）式得v= （5）
2、P由小孔射入到第一次與筒壁碰撞所通過的路徑為s=βr（6），經歷時間為t1= （7）
P從射入小孔到射出小孔經歷的時間為t=3t1 （8） 由以上有關各式得t= （9）
評分標准：（本題25分）1、17分，（1）、（2）、（3）、（4）式各3分，
（5）式5分。2、8分，（6）、（7）、（8）、（9）式各2分。
八、參考解答：
小球獲得沿豎直向下的初速度v0後，由於細繩處於鬆弛狀態，故從C點開始，小球沿豎直方向作初速度為v0、加速度為g的勻加速直線運動。當小球運動到圖1中的M點時，繩剛被拉直，勻加速直線運動終止。此時繩與豎直方向的夾角為α=30º。
在這過程中，小球下落的距離s=l+2lcosα=l(1+ ) （1）
細繩剛拉直時小球的速度v1滿足下式：v12=v22+2gs （2）
在細繩拉緊的瞬間，由於繩的伸長量可不計而且繩是非彈性的，故小球沿細繩方向的分速度v1cosα變為零，而與繩垂直的分速度保持不變，以後小球將從M點開始以初速度v1′=v1sinα= v1 (3)
在豎直平面內作圓周運動，圓周的半徑為2l，圓心位於A點，如圖1所示，由（1）、（2）、（3）式得v12= (4)
當小球沿圓周運動到圖中的N點時，其速度為v，細繩與水平方向的夾角為θ，由能量關系有
（5）
用FT表示繩對小球的拉力，有FT+mgsinθ= （6）
1、
設在θ=θ1時（見圖2），繩開始鬆弛，FT=0，小球的速度v=u1。以此代入（5）、（6）兩式得
（7） mgsinθ1= （8）
由（4）、（7）、（8）式和題設v0的數值可求得θ1=45° （9） u1= （10）
即在θ1=45°時，繩開始鬆弛，以N1表示此時小球在圓周上的位置，此後，小球將脫離圓軌道從N1處以大小為u1，方向與水平方向成45°角的初速度作斜拋運動。
以N1點為坐標原點，建立直角坐標系N1xy，x軸水平向右，y軸豎直向上。若以小球從N1處拋出的時刻作為計時起點，小球在時刻t的坐標分別為x=u1cos45°t= u1t （11）
y= u1sin45°t－ gt2= u1t－ gt2 （12）
由（11）、（12）式，注意到（10）式，可得小球的軌道方程：y=x－g =x－ （13）
AD面的橫坐標為x=2lcos45°= l （14）
由（13）、（14）式可得小球通過AD所在豎直平面的縱坐標y=0 （15）
由此可見小球將在D點上方越過，然後打到DC邊上，DC邊的縱坐標為
y=－(2lsin45°－l)=－( －1)l（16）
把（16）式代入（13）式，解得小球與DC邊撞擊點的橫坐標x=1.75l （17）
撞擊點與D點的距離為△l=x－2lcos45°=0.35l （18）
2、v02=2(3 +11)gl設在θ=θ2時，繩鬆弛，FT=0，小球的速度v=u2。以此代替（5）、（6）式中的θ1、u1，得 （19） msinθ2= （20）
以v02=2(3 +11)gl3代入（4）式，與（19）、（20）式聯立，可解得θ2=90° （21） u2= （22）
（22）式表示小球到達圓周的最高點處時，繩中張力為0，隨後繩子被拉緊，球速增大，繩中的拉力不斷增加，拉力和重力沿繩子的分力之和等於小球沿圓周運動所需的向心力，小球將繞以D點為圓心，l為半徑的圓周打到樑上的C點。
評分標准：（本題25分）（3）式2分，（5）、（6）式各1分，（9）、（10）式各3分，得出小球不可能打在AD邊上，給3分，得出小球能打在DC邊上，給2分，正確求出小球打在DC邊上的位置給2分。求出（21）、（22）式各佔3分，得出小球能打在C點，再給2分。
如果學生直接從拋物線方程和y=－(2lsin45°－l)=－( －1)l求出x=1.75l，同樣給分。不必證明不能撞擊在AD邊上。
九、參考答案：
1、這是一個大尺度運動，導彈發射後，在地球引力作用下將沿橢圓軌道運動。如果導彈能打到N點，則此橢圓一定位於過地心O、北極點N和赤道上的發射點C組成的平面（此平面是C點所在的子午面）內，因此導彈的發射速度（初速度v）必須也在此平面內，地心O是橢圓的一
個焦點。根據對稱性，注意到橢圓上的C、N兩點到焦點O的距離相等，故所考察橢圓的長輛是過O點垂直CN的直線，即圖上的直線AB，橢圓的另一焦點必在AB上。已知質量為m的物體在質量為M的地球的引力作用下作橢圓運動時，物體和地球構成的系統的能量E（無窮遠作為引力勢能的零點）與橢圓半長軸a的關系為E=－ （1）
要求發射的能量最少，即要求橢圓的半長軸a最短。根據橢圓的幾何性質可知，橢圓的兩焦點到橢圓上任一點的距離之和為2a，現C點到一個焦點O的距離是定值，等於地球的半徑R，只要位於長軸上的另一焦點到C點的距離最小。該橢圓的半長軸就最小。顯然，當另一焦點位於C到AB的垂線的垂足處時，C到該焦點的距離必最小。由幾何關系可知2a=R+ R （2）
設發射時導彈的速度為v，則有E= mv2－ （3）
解（1）、（2）、（3）式得v= （4） 因 =mg （5）
比較（4）、（5）兩式得v= （6） 代入有關數據得 v=7.2km/s （7）
速度的方向在C點與橢圓軌道相切。根據解析幾何知識，過橢圓上一點的切線的垂直線，平分兩焦點到該點連線的夾角∠OCP，從圖中可看出，速度方向與OC的夾角θ=90º－ ×45º=67.5º （8）
2、由於地球繞通過ON的軸自轉，在赤道上C點相對地心的速度為vC= （9）
式中R是地球的半徑，T為地球自轉的周期，T=24×3600s=86400s，故vC=0.46km/s （10）
C點速度的方向垂直於子午面（圖中紙面）。位於赤道上C點的導彈發射前也有與子午面垂直的速度vC，為使導彈相對於地心速度位於子午面內，且滿足（7）、（8）兩式的要求，導彈相對於地面（C點）的發射速度應有一大小等於vC、方向與vC相反的分速度，以使導彈在此方向相對於地心的速度為零，導彈的速度的大小為v′= （11） 代入有關數據得v′=7.4km/s （12）
它在赤道面內的分速度與vC相反，它在子午面內的分速度滿足（7）、（8）兩式。
3、質量為m的質點在地球引力作用下的運動服從機械能守恆定律和開普勒定律，故對於近地點和遠地點有下列關系式 = （13） = （14）
式中v1、v2分別為物體在遠地點和近地點的速度，r1、r2為遠地點和近地點到地心的距離。將（14）式中的v1代入（13）式，經整理得 （15）
注意到r1+r2=2a （16） 得 （17） 因E= （18）
由（16）、（17）、（18）式得E=－ （19）
評分標准：（本題25分）
1、14分。（2）式6分，（3）式2分，（6）、（7）式共4分，（8）式2分。
2、6分。（11）式4分，（12）式2分。
3、5分。（13）、（14）式各1分，（19）式3分。
不好意思，看成預賽了

3. 跪求歷屆( 20屆之前的）物理競賽預賽跟復賽試題

應該可以找老師幫忙
QQ群是個不錯的地方 加幾個學習交流的群 可以認識很多牛人
點數不夠應該是可以通過上傳什麼資料來獲得點數的吧
群的話 在QQ里關鍵字搜索群 隨便加幾個 然後在群里隨便聊幾句 知道哪些是牛人 看看有沒熱心的牛人願意幫忙的 嘿嘿 我加的群都蠻親切的 很多好人呢 額 不過我是計算機方面的...
GOOD LUCK...

4. 北京大學生物理競賽往屆試題

【解析】
（Ⅰ）依題意， ，即 ，
由此得 ． 4分
因此，所求通項公式為
， ．① 6分
（Ⅱ）由①知 ， ，
於是，當 時，
，
，
當 時，
．
又 ．
綜上，所求的 的取值范圍是 ． 12分

21．（本小題滿分12分）
設橢圓中心在坐標原點， 是它的兩個頂點，直線 與AB相交於點D，與橢圓相交於E、F兩點．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）求四邊形 面積的最大值．
【解析】
（Ⅰ）解：依題設得橢圓的方程為 ，
直線 的方程分別為 ， ． 2分
如圖，設 ，其中 ，
且 滿足方程 ，
故 ．．．．．．．．．．．．．．．①
由 知 ，得 ；
由 在 上知 ，得 ．
所以 ，
化簡得 ，
解得 或 ． 6分
（Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點 到 的距離分別為 ，
． 9分
又 ，所以四邊形 的面積為
，
當 ，即當 時，上式取等號．所以 的最大值為 ． 12分
解法二：由題設， ， ．
設 ， ，由①得 ， ，
故四邊形 的面積為
9分
，
當 時，上式取等號．所以 的最大值為 ． 12分

22．（本小題滿分12分）
設函數 ．
（Ⅰ）求 的單調區間；
（Ⅱ）如果對任何 ，都有 ，求 的取值范圍．
【解析】
（Ⅰ） ． 2分
當 （ ）時， ，即 ；
當 （ ）時， ，即 ．
因此 在每一個區間 （ ）是增函數，
在每一個區間 （ ）是減函數． 6分
（Ⅱ）令 ，則
．
故當 時， ．
又 ，所以當 時， ，即 ． 9分
當 時，令 ，則 ．
故當 時， ． 因此 在 上單調增加．
故當 時， ，即 ．
於是，當 時， ．
當 時，有 ．
因此， 的取值范圍是 ． 12分
2009年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。第I卷1至2頁。第II卷3至4頁。考試結束後，將本試卷和答題卡一並交回。滿分150分，考試用時120分鍾。
第I卷（選擇題，共60分）
注意事項：
1. 答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、准考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚，並請認真核准條形碼上的准考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規定的位置貼好條形碼，
2．每小題選出答案後，用2B鉛筆把答題卡上對應題目標號塗黑，如需改動，用橡皮擦乾凈後，再選題其它答案標號，在試卷上答案無效。
參考公式：
如果事件互斥，那麼 球的表面積公式

如果事件 相互獨立，那麼 其中 表示球的半徑

球的體積公式
如果事件 在一次試驗中發生的概率是 ,
那麼 次獨立重復試驗中事件 恰好發生 次的概率 其中 表示球的半徑

本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。
一、 選擇題：
1.
A. B. C. D.
2. 設集合 ，則 =
A. B. C. D.
3. 已知 中， ， 則
A. B. C. D.
4.曲線 在點 處的切線方程為
A. B. C. D.
5. 已知正四稜柱 中， 為 中點，則異面直線 與 所成的角的餘弦值為
A. B. C. D.
6. 已知向量 ，則
A. B. C. D.
7. 設 ，則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. B. C. D.
8. 若將函數 的圖像向右平移 個單位長度後，與函數 的圖像重合，則 的最小值為
A． B. C. D.
9. 已知直線 與拋物線 相交於 兩點， 為 的焦點，若 ，則
A. B. C. D.
10. 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有
A. 6種 B. 12種 C. 30種 D. 36種
11. 已知雙曲線 的右焦點為 ,過 且斜率為 的直線交 於 兩點，若 ,則 的離心率為w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A． B. C. D.
12.紙制的正方體的六個面根據其方位分別標記為上、下、東、南、西、北。現有沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側的平面圖形，則標「 」的面的方位是
A. 南 B. 北
C. 西 D. 下

2009年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
第II卷（非選擇題，共90分）
注意事項：
本卷共2頁，10小題，用黑色碳素筆將答案答在答題卡上。答在試卷上的答案無效。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡上。
13. 的展開式中 的系數為 。
14. 設等差數列 的前 項和為 ，若 則 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
15.設 是球 的半徑， 是 的中點，過 且與 成45°角的平面截球 的表面得到圓 。若圓 的面積等於 ，則球 的表面積等於
16. 已知 為圓 : 的兩條相互垂直的弦，垂足為 ,則四邊形 的面積的最大值為 。
三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17（本小題滿分10分）
設 的內角 、 、 的對邊長分別為 、 、 ， ，
，求 。
18（本小題滿分12分）
如圖，直三稜柱 中， 、 分別為 、 的中點，
平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（I）證明：
（II）設二面角 為60°，求 與平面 所成的角的大小。

19（本小題滿分12分）
設數列 的前 項和為 已知
（I）設 ，證明數列 是等比數列w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）求數列 的通項公式。
20（本小題滿分12分）
某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現採用分層抽樣方法（層內採用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核。
（I）求從甲、乙兩組各抽取的人數；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）記 表示抽取的3名工人中男工人數，求 的分布列及數學期望。
（21）（本小題滿分12分）
已知橢圓 的離心率為 ，過右焦點F的直線 與 相交於 、 糧店，當 的斜率為1時，坐標原點 到 的距離為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（I）求 ， 的值；
（II） 上是否存在點P，使得當 繞F轉到某一位置時，有 成立？
若存在，求出所有的P的坐標與 的方程；若不存在，說明理由。

22.(本小題滿分12分)
設函數 有兩個極值點 ，且
（I）求 的取值范圍，並討論 的單調性；

5. 求第三十屆全國部分地區大學生物理競賽答案

12月29號出的成績，1等124.5 二等105.5，三等未知。考卷的話近年不會公布的吧。除非你認識版物理學會的人。基本權上我可以告訴你大概怎麼做，計算題：光柵衍射（基本定理就能解決），剛體和質心方程聯立，牛頓力學（最基本那種，高考過了的都能做。送分題），熱學（記得一個是百分之30多，一個70多還是60多，去批考卷的老師說的，列兩個絕熱方程兩個等壓方程解決），電學（介質板插入）（1）（2）用能量分析，第一問外力的功=靜電能的變化，第二問外力的功加電源做的功=靜電能的變化，求力的話分別對外力的功求偏導，答案異常復雜。。。填空1的話內力正功，重力負功。最後一道熱輻射選左邊那個，比值是T^4的比值，違反熱力學那道題，第一空兩個都選，第二個選第二個貌似（少選扣1.5分）其他沒什麼印象了。總的來說今年片簡單，如果是要准備下一屆的話，個人認為這屆參考價值不高，下一屆肯定比這難多了，據說這屆最高改到156.。。。。

6. 大學生物理競賽試題及答案

中學教學資源免費下載網 有在 初中物理－中考/競賽/其他 版塊標題：2010年第二十屆全國初中應用物理競賽試題及答案 參考資料：中學教學資源免費下載網（語文、數學、英語、物理、化學等學科試卷、課件教案、復習資料、專題輔導等資料全集）

7. 求全國部分地區大學生物理競賽歷年試題

什麼叫做部分地區？這物理競賽全國統一卷子，只是分數線不同罷了，你真的要再追問我吧

8. 大學生物理競賽試題

第一問，直接將豎直向下的慣性力引入，注意到慣性力只有a0*Mb有實際效果，而慣性整體是Ma+Mb。再版加權上重力，即可獲得加速度第二問，仍然直接將水平向左的慣性力引入，則桌對B的彈力Nb可知，桌對A的彈力Na仍然為Mag，A所受慣性力提供動力，若使B不動，則A所受慣性力將通過繩子與滑輪傳遞給B，uNb>a0Ma，解此式，即可。

9. 求全國高中物理競賽20-25屆真題及詳細答案

第20屆全國中學生物理競賽預賽試卷
http://wenku..com/view/dfb8f105cc17552707220842.html
第21屆全國中學生物理競賽預賽試卷(2004年)
http://wenku..com/view/fa651f2e453610661ed9f44d.html
第22屆全國中學生物理競賽預復賽試卷及答案
http://wenku..com/view/be38f536a32d7375a417801c.html
全國高中物理競賽23屆預賽試題
http://wenku..com/view/69773066f5335a8102d2205d.html
第24屆全國中學生物理競賽預復賽試卷及答案
http://wenku..com/view/8ba2d50a79563c1ec5da711c.html
第25屆全國中學生物理競賽預賽試卷
http://wenku..com/view/f195e2fdc8d376eeaeaa31a5.html
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