大學數學試題及答案
㈠ 求這幾道大學數學題目的答案及解析
如圖
㈡ 往屆河北省大學生數學競賽（數學類）試題以及答案（河北省數學會組織的）
（一）中國大學生數學競賽（數學專業類）競賽內容為大學本科數學專業基礎課的復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法.
4.
高階導數
㈢ 求近幾年的全國大學生數學競賽試題及答案
2010年全國大學生數學專業競賽試題及解答
（1）計算積分
解方法一 直接利用分部積分法得
；
方法二 不妨設 ，由於 ，
而積分 關於 在 上一致收斂，故可交換積分次序
；
方法三 將 固定，記 ， 可證 在 上收斂．
設 因為 ，而 收斂，
所以由Weierstrass判別法知道 對 一致收斂．所以可以交換微分運算和積分運算的次序，即
．
由 的任意性，上式在 上成立．
所以 ，由於 所以 ，
即 ．
(2)若關於 的方程 ， 在區間 內有唯一的實數解，求常數 .
解：設 ，則有 ，
當 時， ；當 時， .
由此 在 處達到最小值，
又 在 內有唯一的零點，
必有 ， ，
， ，
所以 .
（3）設函數 在區間 上連續，由積分中值公式，有 ， ，若導數 存在且非零，
求 .
解： ，
，
由條件，可知
，
，
故有 .
二、設函數 在 附近可微， ， ,
定義數列 .
證明： 有極限並求其值.
證明：由導數的定義，
對於任意 ,存在 ，當 時，有 .
於是 ，
從而，當 時，有 ，
，其中 .
對於上式求和，得到
，
即 ，
令 ，有
,
由 的任意性，得到 .
設 在 上有定義，在 處可導，且 .
證明： .
三、設函數 在 上一致連續，且對任何 ，有 ，
證明： 。
試舉例說明，僅有 在 上的連續性推不出上述結論。
證明 證法一
由 在 上一致連續，對 ， ，
當
且 時，
便有 ；
取定充分大的正整數 ，使得 。現把區間 等分，設其分點為 ，每個小區間的長度小於 。
對於任意 ， ；
從而必有 ，使得 ；
由條件對每個 ，有 ；
於是存在 ，當 時， ，對 都成立；
故當 時，便有
，
即得 ，結論得證。
證法二 設 ,由題設條件知
在 上等度一致連續,對每一 ,有 ;
利用Osgood定理得, 在 上一致收斂於0,
對 ,存在 ，當 時,
有 , ,
從而當 時,有 ,
即得 ，結論得證。
設 在 上的連續，且對任何 ，
有 ，但推不出 。
例如函數
滿足在 上的連續，且對任何 ，有 ，
但不成立 。
四、設 ， 在 內連續， 在 內連續有界，且滿足條件：
當 時， ；
在 中 與 有二階偏導數，
， .
證明： 在 內處處成立.
證明：設 ，
則有
.
於是 ， ， ;
由已知條件，存在 ，當 時，
有 ， .
記 ，
設 ，我們斷言，必有 ，
假若 ，則必有 ，使得 ；
易知 ， .
這與 矛盾，
所以
從而 ， ；
由 的任意性，得
， .
故在 內處處成立 .
五、 設 .
考慮積分 ， ，定義 ，
(1)證明 ；
(2)利用變數替換： ，計算積分 的值，並由此推出 .
證明：（1）由 ，在 上一致收斂，可以進行逐項積分
，
又 ，
所以 關於 是一致收斂的，可以逐項求極限，
於是有 .
故有 ；
(2) ,
,
注意到區域 關於 軸對稱
;
;
;
或者利用分部積分,得
,
於是 ,
故 .
2010年全國大學生非數學專業競賽試題及解答
一、計算題
（1） 求極限
解法1 直接化為黎曼和的形式有困難.
注意到 ,
,
由於 ，
所以
.
解法2 利用 ，得
，
,
由於 ，
，
所以 .
（2）計算 ，
其中 為下半球 的上側， .
解法一. 先以 代入被積函數，
，
補一塊有向平面 ，其法向量與 軸正向相反，
利用高斯公式，從而得到
，
其中 為 圍成的空間區域， 為 上的平面區域 ，
於是
.
解法二. 直接分塊積分
，
其中 為 平面上的半圓 ， .
利用極坐標，得
，
，
其中 為 平面上的圓域， ，
用極坐標，得
，
因此 .
（3）現要設計一個容積為 的圓柱體的容積，已知上下兩低的材料費為單位面積 元，而側面的材料費為單位面積 元.試給出最節省的設計方案：即高與上下底面的直徑之比為何值時，所需費用最少？
解：設圓柱體的高為 ，底面直徑為 ，費用為 ，
根據題意，可知 ，
，
當且僅當 時，等號成立，
，
故當 時，所需要的費用最少.
（4）已知 在 內滿足 求 .
解：
，
，
所以， .
二、 求下列極限.
（1） ；
（2） ，其中 ， ， .
解：（1）
.
（2）
，
，
故 .
一般地，有 ，其中 ， ，
.
三．設 在 點附近有定義，且在 點可導， ， ，
求 .
解：
.
四、 設 在 上連續，無窮積分 收斂，求 .
解：設 ，由條件知， ，
，
利用分部積分，得
，
，
，
於是
.
五．設函數 在 上連續，在 內可微，且 ， .
證明：（1）存在 ，使得 ；
（2）對於每一 ，存在 ，使得 .
證明：（1）令 ，
由題設條件，可知 ，
；
利用連續函數的介值定理，得
存在 ，使得 ，即 .
（2）令 ，
由題設條件和（1）中的結果，可知，
， ；
利用羅爾中值定理，得
存在 ，使得 ，
由 ，
即得 .
六、 試證：對每一個整數 ，成立
.
分析：這是一個估計泰勒展開余項的問題，其技巧在於利用泰勒展開的積分余項.
證明：顯然 時，不等式成立；
下設 .
由於 ，
這樣問題等價於證明
，
即
，
令 上式化為
，
從而等價於 ，
只要證明 ，
設 ，則只要證明
， ，
就有 ，
，
則問題得證.
以下證明 ， ，成立
上式等價於 ，
即 ，
令 ，
則 ，並且對 ，有
，
從而當 時， ，
這樣問題得證.
註：利用這一結論，我們可以證明如下結論.
六、設 為整數， ，證明方程 ，在 上至少有一個根.
六、 證明：存在 ，使得 .
證明：令 ，
則有 ，
，
由連續函數的介值定理，得
存在 ，使得 ，
故問題得證.
這里是由於 ， ，
在 上嚴格單調遞減，
所以，當 時，有 .
七、 是否存在 上的可微函數 ，使得 ，若存在，請給出一個例子；若不存在，請給出證明。
證明 如果這樣的函數 存在，
我們來求 的不動點，即滿足 的 ，
，
，
由此得 ，這表明 有唯一的不動點 ，易知 也僅有唯一的不動點 ， ，在等式 ，兩邊對 求導，得
，
讓 ，即得 ，這是不可能的，故這樣的函數不存在。
八、設函數 在 上一致連續，且對任何 ，有 ，
證明： 。
試舉例說明，僅有 在 上的連續性推不出上述結論。
證明
由 在 上一致連續，對 ， ，
當
且 時，
便有 ；
取定充分大的正整數 ，使得 。現把區間 等分，設其分點為 ，每個小區間的長度小於 。
對於任意 ， ；
從而必有 ，使得 ；
由條件對每個 ，有 ；
於是存在 ，當 時， ，對 都成立；
故當 時，便有
，
即得 ，結論得證。
設 在 上的連續，且對任何 ，有 ，
但推不出上述結論。
例如函數
滿足在 上的連續，且對任何 ，有 ，
但不成立 。
高等數學競賽試題7答案
一、求由方程 所確定的函數 在 內的極值，並判斷是極大值還是極小值.
解：對 兩邊求導得 ，
令 得 ，代入原方程解得 .
.
故當 時， 取極大值 .
二、設 ，求 , .
解： = ,
=
三、計算曲線積分 ，其中 是以點（1，0）為中心， 為半徑的圓周 ,取逆時針方向.
解： , , 當 時, ， 當 時 ,由格林公式知, .
當 時, ,作足夠小的橢圓曲線 , 從 到 .
當 充分小時, 取逆時針方向,使 ,於是由格林公式得 ，
因此 = =
四、設函數 在 內具有連續的導數，且滿足
，
其中 是由 所圍成的閉區域，求當 時 的表達式.
解：
= ,
兩邊對 求導得
，且 ，
這是一個一階線性微分方程，解得
五、設 ，求級數 的和.
解：令 , 則
= .
.
.
= = ,
六、設 在 上連續且單調增加，試證：對任意正數 ， ，恆有
.
解：令 ，
則 ,
=
= ,
於是 .
七、設 具有連續偏導數，由方程 =0確定隱函數 ，求 .
解：兩邊對 求偏導得 ,
兩邊對 求偏導得 ,
， , =1.
八、設 ，判別數列 的斂散性.
解：定義 ，令 ，則 ,
當 時， ,
= .
, 由 可知 收斂，從而 收斂.
九、設半徑為 的球面 的球心在球面 ： 上，問當 為何值時，球面 在球面 內部的那部分面積最大？
解：由對稱性可設 的方程為 ，球面 被球面 所割部分的方程為 ，
, ,
.
球面 與球面 的交線在 平面的投影曲線方程為 ，令
所求曲面面積為 ,
= .
令 得駐點 ,
容易判斷當 時，球面 在球面 內部的那部分面積最大.
十.計算 ，其中曲線弧 為： ， .
解： , (1) ,
， (2)
將(1)、(2)代入 得
= =4.
十一.計算曲面積分 ，其中 是曲面 被平面 所截出部分的上側.
解：記 為 平面上被園 所圍成的部分的下側， 為由 與 圍成的空間閉區域.由高斯公式知
=
=
=2 .
=3
㈣ 求下面大學數學試題的答案
1）星期天
2）不是命題
3）
4）10，（18 = (6+6+4+5x)/2，得出x = 4，所以，總共有邊 3+2+1+4）
5）n(n-1)/2，n為頂點數
6）看不懂題目
7）8
8）P → Q (P表示「如果你來了」Q表示「我就陪你唱歌」 )
9）
10）正確
㈤ 大學數學題目
高等數學試題
一、單項選擇題(每小題1分，共30分)
1、函數f(x)=的定義域是
A、[－1，1]B、(－2，2)
C、(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D、(－∞，＋∞)
2、下列函數中既是有界函數又是偶函數的是
A、xarcsinxB、arctgx
C、x2＋1D、sinx＋cosx
3、函數y=ex－1的反函數是
A、y=lnx＋1B、y=ln(x－1)
C、y=lnx－1D、y=ln(x＋1)
4、xsin=
A、∞B、0C、1D、不存在
5、某商品的需要量Q是價格P的函數Q=a－bP(a>0，b>0)，則需求量Q對價格P的彈性是
A、bB、
C、D、
6、曲線在t=0處的切線方程是
A、
B、
C、y－1=2(x－2)
D、y－1=－2(x－2)
7、函數y=|sinx|在x=0處是
A、無定義B、有定義，但不連續
C、連續，但不可導D、連續且可導
8、設y=lnx，則y″=
A、B、
C、D、
9、設f(x)=arctgex，則df(x)=
A、B、
C、D、
10、=
A、－1B、0C、1D、∞
11、函數y=ax2＋c在區間(0，＋∞)內單調增加，則a，c應滿足
A、a<0，c=0B、a>0，c任意
C、a<0，c≠0D、a<0，c任意
12、若ln|x|是函數f(x)的原函數，a≠0,那麼下列函數中，f(x)的原函數是
A、ln|ax|B、
C、ln|x＋a|D、
13、設a≠0，則∫(ax＋b)100dx=
A、
B、
C、
D、100a(ax＋b)99
14、∫xsinxdx=
A、xcosx－sinx＋c
B、xcosx＋sinx＋c
C、－xcosx＋sinx＋c
D、－xcosx－sinx＋c
15、函數f(x)=x2在[0，2]區間上的平均值是
A、B、1C、2D、
16、=
A、＋∞B、0C、D、1
17、下列廣義積分中收斂的是
A、B、
C、D、
18、方程x2＋y2＋z2＋2x－4y=1表示的空間圖形為
A、平面B、直線
C、柱面D、球面
19、函數z=arcsin(x2＋y2)的定義域為
A、x2＋y2<1B、x2＋y2≤1
C、x2＋y2≥1
D、|x|≤1，|y|≤1
20、極限=
A、1B、2C、0D、∞
21、函數f(x，y)=
在原點
A、連續B、間斷
C、取極小值D、取極大值
22、已知f(x，y)的兩個偏導數存在，且f′x(x，y)>0，f′y(x，y)<0，則
A、當y不變時，f(x，y)隨x的增加而增加
B、當y不變時，f(x，y)隨x的增加而減少
C、當x不變時，f(x，y)隨y的增加而增加
D、上述論斷均不正確
23、設z=exsiny，則dz=
A、ex(sinydx＋cosydy)B、exsinydx
C、excosydyD、excosy(dx＋dy)
24、已知幾何級數收斂，則
A、|q|≤1，其和為
B、|q|<1，其和為
C、|q|<1，其和為
D、|q|<1，其和為aq
25、是級數收斂的
A、必要條件B、充分條件
C、充分必要條件D、無關條件
26、下列級數中絕對收斂的是
A、B、
C、D、
27、冪級數的收斂半徑為
A、1B、C、2D、0
28、微分方程y3＋(y′)6＋xy3＋x4y2=1的階數是
A、1B、2C、3D、6
29、微分方程的通解為
A、y=±1B、y=sinx＋c
C、y=cos(x＋c)D、y=sin(x＋c)
30、微分方程滿足初始條件y(0)=0的特解為
A、y=cosx－1B、y=cosx
c、y=sinxD、y=－cosx＋1
二、填空題(每空2分，共20分)
1、a，b為常數，要使
，則b=(1)。
2、設由y=sin(x＋y)確定隱函數y=y(x)，則dy=(2)。
3、設當x→0時與ax是等價無窮小，則常數a=(3)。
4、=(4)。
5、=(5)。
6、設f(x,y)=，則f′x(1，2)=(6)。
7、交換積分順序
=(7)。
8、函數e－2x的麥克勞林級數中xn的系數為(8)。
9、微分方程y″－2y′＋5y=0的通解為(9)。
10、函數y=lnx在區間[1,e]上滿足拉格朗日中值定理條件的ξ=(10)。
三、解答題(每小題5分，共30分)
1、求.
2、設y=cos2e－3x,求y′.
3、求∫x2e－xdx.
4、求到兩點A(1，0，－1)，B(3，－2，1)距離相等的點的軌跡，並指出該軌跡的名稱.
5、判斷下列級數的斂散性：
(1)；(2).
6、求微分方程滿足初始條件y(0)=0的特解.
四、(本題8分)
設平面圖形由曲線xy=1與直線y=2，x=3圍成，求
(1)平面圖形的面積S
(2)此平面圖形繞X軸旋轉所成的旋轉體體積V
五、(本題8分)
某工廠生產甲、乙兩種產品，單位售價分別為40元和60元，若生產X單位甲產品，生產y單位乙產品的總費用為20x＋30y＋0.1(2x2－2xy＋3y2)＋100，試求出甲、乙兩種各生產多少時取得最大利潤。
六、(本題4分)
求證方程x－sinx－1=0在區間~,[,2]內有唯一零點。參考答案
一、選擇題(本題共30分)
1.B2.A3.D4.C5.C
6.A7.C8.D9.B10.A
11.B12.A13.C14.C15.A
16.D17.C18.D19.B20.B
21.B22.A23.A24.C25.A
26.D27.B28.C29.D30.D
二、填空題(每小題2分，共20分)
1、1
2、
3、
4、e4－1
5、arctgx＋ln(1＋x2)＋c
6、
7、
8、
9、ex(C1cos2x＋C2sin2x)
10、e－1
三、(每小題5分，共20分)
1、解原式=
(3分)
=1(2分)
2、解y′=2cose－3x·(cose－3x)′
(2分)
=2cose－3x(－sine－3x)·(e－3x)′
(2分)
=3sin(2e－3x)·e－3x(1分)
3、解原式=－∫x2de－x
=－x2e－x＋2∫xe－xdx(2分)
=－x2e－x－2xe－x＋2∫e－xdx
=－x2e－x－2xe－x－2e－x＋c(2分)
=－(x2＋2x＋2)e－x＋c(1分)
4、解設點(x,y,z)到A，B距離相等，則(2分)
兩邊平方並化簡得
2x－2y＋2z－6=0(2分)
該軌跡稱為平面(1分)
5、解：(1)∵
而等比級數收斂，
∴原級數收斂(3分)
(2)∵=1≠0，
∴原級數發散。(2分)
6、解 原方程可化為，
即(1分)
積分得(2分)
以x=0,y=0代入上式，
求得c=0。(1分)
∴所求特解為y=－1(1分)
(註：也可用一階線性方程求解)
四、(本題8分)
解：(1)S=(3分)
=5－=5－ln6(1分)
(2)V=(3分)
=(1分)
五、(本題8分)
解：總收入為40x＋60y，總利潤為
z=40x＋60y－(20x＋30y＋0.1(2x2－2xy＋3y2)＋100)=20x＋30y－0.2x2＋0.2xy－0.3y2－100(2分)
令(2分)
解得x=90,y=80(2分)
而=－0.4,=0.2,
=－0.6
△=0.22－(－0.4)·(－0.6)<0，而=－0.4<0
∴x=90,y=80為極大值點
因極值點唯一，故它就是最大值點。(2分)
答：當甲產品生產90單位，乙產品生產80單位時利潤最大。
六、(本題4分)
證：設f(x)=x－sinx－1，
在≤x≤2上連續，
∵f()=－2<0,
f(2)=1－sin2>0，
∴f(x)在[,2]內有零點。(2分)
又f′(x)=1－cosx>0(<x<2)
∴f(x)嚴格單調上升，∴f(x)只有唯一的零點。(2分)
㈥ 大學的數學題
第一題，1234是偶排列
而數字之間交換偶數次才是
顯然只有D的4321滿足
第二題，提取出第二列的3
和第三列的5
就是原行列式乘以15
第二行和和第一行交換了一次
再乘以-1
於是為原來行列式值的-15倍
即-15d 選擇B
第三題，矩陣A在T了兩次
即兩次轉置之後就相當於沒有轉置
顯然D正確
而直接在行列式或逆矩陣中提取常數
顯然是不對的
㈦ 求這些大學數學題答案 急急急急急急急！
1.
對x ，錯 y ，對一部分（10-x-y）；x,y，（10-x-y）為0~10的整數
10x-6y+3（10-x-y）=77
7x-9y=47
得 x=8 ，y=1
對8 錯1 半對1
2.
設有x人
數學2/3·x+4
語文2/3·x
都參加 （2/3·x+4）+（2/3·x）+4-x=1/3·x+8
1/3·x+8=2/3·（2/3·x+4）
x=48
1/3·x+8=24
全班有48名同學。既參加語文組又參加數學組的人數是24。
3。不會
4。題目不完整
5
金5x ，銀6x，銅（2·5x-5）
3·5x+6x=42
x=2
5x=10,6x=12 ，2·5x-5=15
金10銀12銅15
6。
x+y=0 y=-x
分別代入
3x+5x=2m ，x=1/4·m
2x-7x=m-18，x=（18-m）/5
1/4·m =（18-m）/5
m=8
x=2
y=-2
7。
甲x人，乙y人，丙z人
{x+y+z=86
15x：3=12y：2=9z：1
設15x：3=12y：2=9z：1=k
x=k/5
y=k/6
z=k/9
x+y+z=43/90·k=86
k=180
x=36，y=30，z=20
㈧ 一道大學數學題！
分享一種「解法」。1/n>0，由泰勒展開式，有e^(1/n)=1+1/n+(1/2)/n²+……>1+1/n，
∴1/n>ln(1+1/n)。
供參考。