2009年大學生數學競賽答案

❶ 求歷屆全國大學生數學競賽真題（湖北非數學專業）發給我，謝謝

歷屆全國大學生數學競賽真題及答案非數學類

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2014年第五屆全國大學生數學競賽決賽試題及解答

❷ 全國大學生數學競賽

就考數分高代解析幾何,好好看書就夠了

❸ 求09年全國大學生數學競賽第一題怎麼做

預賽嗎？是數學類的還是非數學類的？

❹ 求近幾年的全國大學生數學競賽試題及答案

2010年全國大學生數學專業競賽試題及解答
（1）計算積分
解方法一 直接利用分部積分法得


；
方法二 不妨設 ，由於 ，
而積分 關於 在 上一致收斂，故可交換積分次序

；
方法三 將 固定，記 ， 可證 在 上收斂．
設 因為 ，而 收斂，
所以由Weierstrass判別法知道 對 一致收斂．所以可以交換微分運算和積分運算的次序，即
．
由 的任意性，上式在 上成立．
所以 ，由於 所以 ，
即 ．

(2)若關於 的方程 ， 在區間 內有唯一的實數解，求常數 .
解：設 ，則有 ，
當 時， ；當 時， .
由此 在 處達到最小值，
又 在 內有唯一的零點，
必有 ， ，
， ，
所以 .
（3）設函數 在區間 上連續，由積分中值公式，有 ， ，若導數 存在且非零，
求 .
解： ，
，
由條件，可知
，
，
故有 .
二、設函數 在 附近可微， ， ,
定義數列 .
證明： 有極限並求其值.
證明：由導數的定義，
對於任意 ,存在 ，當 時，有 .
於是 ，
從而，當 時，有 ，
，其中 .
對於上式求和，得到
，
即 ，
令 ，有
,
由 的任意性，得到 .
設 在 上有定義，在 處可導，且 .
證明： .

三、設函數 在 上一致連續，且對任何 ，有 ，
證明： 。
試舉例說明，僅有 在 上的連續性推不出上述結論。
證明 證法一
由 在 上一致連續，對 ， ，
當
且 時，
便有 ；
取定充分大的正整數 ，使得 。現把區間 等分，設其分點為 ，每個小區間的長度小於 。
對於任意 ， ；
從而必有 ，使得 ；
由條件對每個 ，有 ；
於是存在 ，當 時， ，對 都成立；
故當 時，便有
，
即得 ，結論得證。
證法二 設 ,由題設條件知
在 上等度一致連續,對每一 ,有 ;
利用Osgood定理得, 在 上一致收斂於0,
對 ,存在 ，當 時,
有 , ,
從而當 時,有 ,
即得 ，結論得證。

設 在 上的連續，且對任何 ，
有 ，但推不出 。
例如函數
滿足在 上的連續，且對任何 ，有 ，
但不成立 。

四、設 ， 在 內連續， 在 內連續有界，且滿足條件：
當 時， ；
在 中 與 有二階偏導數，
， .
證明： 在 內處處成立.
證明：設 ，
則有
.
於是 ， ， ;
由已知條件，存在 ，當 時，
有 ， .
記 ，
設 ，我們斷言，必有 ，
假若 ，則必有 ，使得 ；
易知 ， .

這與 矛盾，
所以
從而 ， ；
由 的任意性，得
， .
故在 內處處成立 .
五、 設 .
考慮積分 ， ，定義 ，
(1)證明 ；
(2)利用變數替換： ，計算積分 的值，並由此推出 .
證明：（1）由 ，在 上一致收斂，可以進行逐項積分

，
又 ，
所以 關於 是一致收斂的，可以逐項求極限，
於是有 .
故有 ；
(2) ,
,

注意到區域 關於 軸對稱

;

;

;
或者利用分部積分,得

,
於是 ,
故 .
2010年全國大學生非數學專業競賽試題及解答

一、計算題
（1） 求極限
解法1 直接化為黎曼和的形式有困難.
注意到 ,
,
由於 ，
所以

.
解法2 利用 ，得
，
,
由於 ，
，
所以 .
（2）計算 ，
其中 為下半球 的上側， .
解法一. 先以 代入被積函數，
，
補一塊有向平面 ，其法向量與 軸正向相反，
利用高斯公式，從而得到

，
其中 為 圍成的空間區域， 為 上的平面區域 ，
於是

.
解法二. 直接分塊積分
，
其中 為 平面上的半圓 ， .
利用極坐標，得
，

，
其中 為 平面上的圓域， ，
用極坐標，得

，
因此 .
（3）現要設計一個容積為 的圓柱體的容積，已知上下兩低的材料費為單位面積 元，而側面的材料費為單位面積 元.試給出最節省的設計方案：即高與上下底面的直徑之比為何值時，所需費用最少？
解：設圓柱體的高為 ，底面直徑為 ，費用為 ，
根據題意，可知 ，

，
當且僅當 時，等號成立，
，
故當 時，所需要的費用最少.
（4）已知 在 內滿足 求 .
解：
，

，

所以， .
二、 求下列極限.
（1） ；
（2） ，其中 ， ， .
解：（1）

.
（2）
，

，
故 .
一般地，有 ，其中 ， ，

.
三．設 在 點附近有定義，且在 點可導， ， ，
求 .
解：

.

四、 設 在 上連續，無窮積分 收斂，求 .
解：設 ，由條件知， ，
，
利用分部積分，得
，
，
，
於是
.

五．設函數 在 上連續，在 內可微，且 ， .
證明：（1）存在 ，使得 ；
（2）對於每一 ，存在 ，使得 .
證明：（1）令 ，
由題設條件，可知 ，
；
利用連續函數的介值定理，得
存在 ，使得 ，即 .
（2）令 ，
由題設條件和（1）中的結果，可知，
， ；
利用羅爾中值定理，得
存在 ，使得 ，
由 ，
即得 .

六、 試證：對每一個整數 ，成立
.
分析：這是一個估計泰勒展開余項的問題，其技巧在於利用泰勒展開的積分余項.
證明：顯然 時，不等式成立；
下設 .
由於 ，
這樣問題等價於證明
，
即
，
令 上式化為
，
從而等價於 ，
只要證明 ，
設 ，則只要證明
， ，
就有 ，
，
則問題得證.
以下證明 ， ，成立
上式等價於 ，
即 ，
令 ，
則 ，並且對 ，有

，
從而當 時， ，
這樣問題得證.
註：利用這一結論，我們可以證明如下結論.
六、設 為整數， ，證明方程 ，在 上至少有一個根.
六、 證明：存在 ，使得 .
證明：令 ，
則有 ，

，
由連續函數的介值定理，得
存在 ，使得 ，
故問題得證.
這里是由於 ， ，
在 上嚴格單調遞減，
所以，當 時，有 .
七、 是否存在 上的可微函數 ，使得 ，若存在，請給出一個例子；若不存在，請給出證明。
證明 如果這樣的函數 存在，
我們來求 的不動點，即滿足 的 ，
，
，
由此得 ，這表明 有唯一的不動點 ，易知 也僅有唯一的不動點 ， ，在等式 ，兩邊對 求導，得
，
讓 ，即得 ，這是不可能的，故這樣的函數不存在。
八、設函數 在 上一致連續，且對任何 ，有 ，
證明： 。
試舉例說明，僅有 在 上的連續性推不出上述結論。
證明
由 在 上一致連續，對 ， ，
當
且 時，
便有 ；
取定充分大的正整數 ，使得 。現把區間 等分，設其分點為 ，每個小區間的長度小於 。
對於任意 ， ；
從而必有 ，使得 ；
由條件對每個 ，有 ；
於是存在 ，當 時， ，對 都成立；
故當 時，便有
，
即得 ，結論得證。

設 在 上的連續，且對任何 ，有 ，
但推不出上述結論。
例如函數
滿足在 上的連續，且對任何 ，有 ，
但不成立 。
高等數學競賽試題7答案
一、求由方程 所確定的函數 在 內的極值，並判斷是極大值還是極小值.
解：對 兩邊求導得 ，
令 得 ，代入原方程解得 .
.
故當 時， 取極大值 .
二、設 ，求 , .
解： = ,
=
三、計算曲線積分 ，其中 是以點（1，0）為中心， 為半徑的圓周 ,取逆時針方向.
解： , , 當 時, ， 當 時 ,由格林公式知, .
當 時, ,作足夠小的橢圓曲線 , 從 到 .
當 充分小時, 取逆時針方向,使 ,於是由格林公式得 ，
因此 = =
四、設函數 在 內具有連續的導數，且滿足
，
其中 是由 所圍成的閉區域，求當 時 的表達式.
解：
= ,
兩邊對 求導得
，且 ，
這是一個一階線性微分方程，解得

五、設 ，求級數 的和.

解：令 , 則
= .

.
.

= = ,

六、設 在 上連續且單調增加，試證：對任意正數 ， ，恆有
.
解：令 ，
則 ,
=

= ,
於是 .
七、設 具有連續偏導數，由方程 =0確定隱函數 ，求 .
解：兩邊對 求偏導得 ,
兩邊對 求偏導得 ,
， , =1.
八、設 ，判別數列 的斂散性.
解：定義 ，令 ，則 ,
當 時， ,
= .
, 由 可知 收斂，從而 收斂.
九、設半徑為 的球面 的球心在球面 ： 上，問當 為何值時，球面 在球面 內部的那部分面積最大？
解：由對稱性可設 的方程為 ，球面 被球面 所割部分的方程為 ，
, ,
.
球面 與球面 的交線在 平面的投影曲線方程為 ，令
所求曲面面積為 ,
= .
令 得駐點 ,
容易判斷當 時，球面 在球面 內部的那部分面積最大.
十.計算 ，其中曲線弧 為： ， .
解： , (1) ,
， (2)
將(1)、(2)代入 得
= =4.
十一.計算曲面積分 ，其中 是曲面 被平面 所截出部分的上側.
解：記 為 平面上被園 所圍成的部分的下側， 為由 與 圍成的空間閉區域.由高斯公式知

=
=
=2 .
=3

❺ 大學生數學競賽習題精講的圖書目錄

第1部分 例題精講與習題
第1章 極限與連續
內容要點
1.1 極限
1.2 函數的連續性
1.3 綜合題
第2章 微分學
內容要點
2.1 導數與微分
2.2 中值定理與不等式
2.3 導數應用
2.4 綜合題
第3章 積分學
內容要點
3.1 不定積分
3.2 定積分
3.3 重積分
3.4 曲線與曲面積分
3.5 綜合題
第4章 無窮級數
內容要點
4.1 數項級數
4.2 函數項級數
4.3 綜合題
第5章 常微分方程
內容要點
5.1 初等積分法
5.2 線性常微分方程
5.3 綜合題
第2部分 各章習題解答
第1章 極限與連續
1.1 極限
1.2 函數的連續性
1.3 綜合題
第2章 微分學
2.1 導數與微分
2.2 中值定理與不等式
2.3 導數應用
2.4 綜合題
第3章 積分學
3.1 不定積分
3.2 定積分
3.3 重積分
3.4 曲線與曲面積分
3.5 綜合題
第4章 無窮級數
4.1 數項級數
4.2 函數項級數
4.3 綜合題
第5章 常微分方程
5.1 初等積分法
5.2 線性常微分方程
5.3 綜合題
附錄
附錄1 北京市大學生數學競賽部分試題選編
第16屆北京市大學生數學競賽試題及答案（2005年）
第17屆北京市大學生數學競賽試題及答案（2006年）
第18屆北京市大學生數學競賽試題及答案（2007年）
第19屆北京市大學生數學競賽試題及答案（2008年）
第20屆北京市大學生數學競賽試題及答案（2009年）
附錄2 首屆中國大學生數學競賽賽區賽（初賽）試卷及答案
非數學類，2009
數學類，2009
附錄3 首屆全國大學生數學競賽決賽試卷及答案
非數學類，2010
數學類，2010
附錄4 記號與常用公式
參考文獻

❻ 求！湖北省09年至最新的大學生數學競賽省賽的試題

2009-2014全國大學生數學競賽試題及答案

❼ 09年數學競賽試題及答案

2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案
第一試
一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）
1. 設 ，則 （ A ）
A.24. B. 25. C. . D. .

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC＝ （ C ）
A. . B. . C. . D. .

3．用 表示不大於 的最大整數，則方程 的解的個數為 （ C ）
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

4．設正方形ABCD的中心為點O，在以五個點A、B、C、D、O為頂點所構成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為 （ B ）
A. . B. . C. . D. .

5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內作半圓，自點A作半圓的切線AE，則 CBE＝ （ D ）
A. . B. . C. . D. .

6．設 是大於1909的正整數，使得 為完全平方數的 的個數是 （ B ）
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）
1．已知 是實數，若 是關於 的一元二次方程 的兩個非負實根，則 的最小值是_____ _______.

2． 設D是△ABC的邊AB上的一點，作DE//BC交AC於點E，作DF//AC交BC於點F，已知△ADE、△DBF的面積分別為 和 ，則四邊形DECF的面積為___ ___.

3．如果實數 滿足條件 ， ，則 __ ____.
4．已知 是正整數，且滿足 是整數，則這樣的有序數對 共有___7__對.
第二試 （A）
一．（本題滿分20分）已知二次函數 的圖象與 軸的交點分別為A、B，與 軸的交點為C.設△ABC的外接圓的圓心為點P.
（1）證明：⊙P與 軸的另一個交點為定點.
（2）如果AB恰好為⊙P的直徑且 ，求 和 的值.
解 （1）易求得點 的坐標為 ，設 ， ，則 ， .
設⊙P與 軸的另一個交點為D，由於AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點為點O，所以OA×OB＝OC×OD，則 .
因為 ，所以點 在 軸的負半軸上，從而點D在 軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標為(0,1).
（2）因為AB⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，則C、D關於點O對稱，所以點 的坐標為 ，
即 .
又 ，所以
，解得 .

二．（本題滿分25分）設CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高， 、 分別是△ADC、△BDC的內心，AC＝3，BC＝4，求 .
解 作 E⊥AB於E， F⊥AB於F.
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4， .
又CD⊥AB，由射影定理可得 ，故 ，
.
因為 E為直角三角形ACD的內切圓的半徑，所以 ＝ .
連接D 、D ，則D 、D 分別是∠ADC和∠BDC的平分線，所以∠ DC＝∠ DA＝∠ DC＝∠ DB＝45°，故∠ D ＝90°，所以 D⊥ D， .
同理，可求得 ， . 所以 ＝ .
三．（本題滿分25分）已知 為正數，滿足如下兩個條件：
①
②
證明：以 為三邊長可構成一個直角三角形.
證法1 將①②兩式相乘，得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 為三邊長可構成一個直角三角形.
證法2 結合①式，由②式可得 ，
變形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，即 .

，
所以 或 或 .
結合①式可得 或 或 .
因此，以 為三邊長可構成一個直角三角形.

第二試 （B）
一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.
二． （本題滿分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內角平分線 AM、BN分別交於P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF‖AB.
解 因為BN是∠ABC的平分線，所以 .
又因為CH⊥AB，所以
，
因此 .
又F是QN的中點，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四點共圓.
又 ，所以FC＝FH，故點F在CH的中垂線上.
同理可證，點E在CH的中垂線上.
因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF‖AB.

三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.

第二試 （C）
一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.

二．（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同.

三．（本題滿分25分）已知 為正數，滿足如下兩個條件：
①
②
是否存在以 為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內角.
解法1 將①②兩式相乘，得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°.
解法2 結合①式，由②式可得 ，
變形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，即 .

，
所以 或 或 .
結合①式可得 或 或 .
因此，以 為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°.

❽ 首屆全國大學生數學競賽賽區賽試卷參考答案--非數學類第一道怎麼做

這樣做，u=x+y,v=x/y。從而幾分區域變為D={(u,v)| 0<u<1,v>0}。這是矩形區域，然後積分函數變為f(u)*g(v)的形式，於是積的積分就可以轉換成積分的積。