演算法設計清華大學出版社答案

『肆』 演算法設計-幫幫忙

這個估計要用文件輸入
否則太累了
--我們必須盡量優化程序才能達到題目的要求。顯然n實在是太大了，所以我們不但不可能忍受O(n2)的復雜度，甚至連n前面的系數過大都會造成超時。為了盡量減小時間復雜度，我們只能依靠自動機的理論。
自動機理論
一個DFA（確定性有限自動機）是一個五元組<∑, U, s, T, φ>，其中∑是字元集U 是一個有限的狀態集合, s 是 U 的一個元素表示初始狀態, T 是 U的一個子集，表示終止狀態and φ : U × ∑ → U 是轉移函數。
開始時自動機在初始狀態s，每步它讀入一個字元c，然後根據state=φ(state,c)進行狀態的轉移。如果當字元串結束時它達到了終止狀態，那麼就說它接受了字元串。
NFA（非確定性自動機）與DFA的主要區別就是，NFA從一個狀態按照一個字元轉移到的狀態可能有多個。因此NFA需要使用一個狀態集合來表示當前可能處在的狀態。
把自動機用圖來表示的話，一般用結點表示狀態，而結點之間有標有某個字元的有向邊，表示可以從邊的起點通過這個字元轉移到邊的終點。
此外NFA還可以包含標有ε的邊，這種邊表示不需要任何字元就可以直接進行狀態的轉移。
容易想到，如果我們建立了一個只接受符合正則表達式的自動機，就可以通過它來較快的判斷哪些位置是可匹配的。
具體應用
比較常見的字元串匹配自動機大多都是DFA。但是由於有+，*，把正則表達式直接轉變成DFA是非常困難的。因此我們只能先把它轉化成NFA。
先看一下一般的轉換規則：
如果正則表達式是一個字元，那麼對應的NFA是：
p0-a->p1
如果正則表達式是A+B的形式，那麼只要把它們的起始狀態和終止狀態合並就可以：
p0-a->p1
p0-b->p1
如果正則表達式是AB的形式，那麼只要把A和B對應的自動機首尾相接：
p0-a->p1-b->p2
如果正則表達式是A*的形式，那麼就需要按下面的圖來進行處理：
p0-a->p0
p0->p1
通過上面的步驟可以得出：NFA的狀態數不會超過正則表達式長度。

NFA中的狀態轉移
在NFA中進行狀態轉移比DFA要困難一些。我們可以定義兩個函數，一個叫做epsilon-closure，用來計算一組NFA狀態通過epsilon邊能夠到達的NFA狀態集合。另外一個move用來在NFA上進行狀態的轉移。
設當前的狀態集合是now，那麼狀態轉移的過程就是：
new = {}
for every state s in now do
new = new ∪ {t | (s,t) = c}
new = epsilon_closure(new)
其中的(s,t)=c表示從s狀態經過一個字元c可以轉化到t狀態。因為這個語句需要的集合總數也不會太多，所以可以通過預先計算出它們來加快速度。預處理後這個過程的復雜度是O(m2)，而系數是比較小的。
但是由於在NFA中，我們必須把狀態的集合作為一個真正的狀態，每次狀態轉移都是對這個集合的處理。這樣轉移一次的復雜度是O(m2)，這是不可忍受的（最大的數據需要大約2分鍾才能出解）。
既然NFA速度過慢，我們自然想要把它轉化為DFA。因為DFA中的狀態轉移是O(1)的。可是並沒有一個多項式復雜度的方法可以把NFA轉換成DFA。一般介紹的NFA轉換到DFA的方法都是通過類似BFS的方法來把NFA中所有可能出現的狀態集合對應成DFA的一個狀態。
這種轉換在本題中顯然是不可行的，因為NFA的結點數最多是500，而轉化成的DFA則可能有多達2500個狀態，即使實際有許多狀態不能達到，也是無論如何不可以忍受的。
看來把NFA轉換成DFA是行不通的。但是我們還是從NFA轉DFA的過程中受到了一些啟發：NFA之所以速度慢，是因為我們在進行狀態轉移的時候可能進行許多重復操作：比如從{1,2}沿一個字元1轉移後是{2,3}，以後我們還可能遇到相同的情況，而這時我們還會用O(m2)的時間去進行狀態轉移。這是一種很嚴重的浪費。因此我們每進行一次狀態轉移，就把這個狀態轉移的情況放到hash表中，以後使用的時候就可以查找了。這相當於只把我們需要的一部分子集轉移成DFA，雖然一般情況下並不能降低時間復雜度，但是在實際應用中確實很有效。（特別是對於沒有*和括弧的自動機，這樣做可以保證線形的時間復雜度）
演算法回顧和細節
我們重新來看一下演算法的框架：
根據正則表達式建立NFA
now = start
while not eof do begin
read(c);
if 曾經進行過now,c的轉移 then 利用以前的結果
else 進行狀態轉移並記錄結果
if 終止狀態 in now then 輸出當前位置
end
建立NFA有各種方法，由於NFA並不會很大，所以我們可以使用遞歸的方法來實現。為了盡量減小系數，我們使用位壓縮的方式來實現集合，並採用較為簡化的hash函數（比如把一個集合位壓縮後的一系列整數加起來取對220的余數），並在輸入和輸出的時候通過緩沖區來加快速度。這樣就基本可以達到題目的時間要求。
但是注意到字元串可能有10M，而產生的NFA的狀態集合最多也可能有10M個，而每個集合都需要100到200位元組的存儲空間，大大超出了允許的空間范圍。因此我們需要對hash表的規模加以嚴格限制。如果規模過大就不得不放棄存儲狀態的想法，犧牲一定的時間來換取空間。

『伍』 誰有《演算法設計與分析》—王紅梅編著，清華大學出版社出版，這本書裡面的演算法用vc實現的代碼啊

Re:王紅梅老師你好，想提個建議給您的《演算法與設計》這本書，您能出一本答案么 發件人信息
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王同學您好！
我也一直有這個想法，無奈時間安排不過來，謝謝！

王紅梅
我給他發郵件，她說她忙……

『陸』 演算法設計

第5章：常用演算法設計（軟體設計篇）免費下載

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《演算法設計》是2007年清華大學出版社出版發行的圖書，作者是Jon Kleinberg / Éva Tardos。

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