大學數學概率論與數理統計課後答案

1. 《概率論與數理統計》課後答案詳解 1-2、3

2、設 A，B，C 為三事件，用 A，B，C 的運算關系表示下列事件。
（1）、A 發生，B 與 C 不發生。

或 A-(AB+BC)
或

（2）、A，B 都發生，而 C 不發生。

或 AB-ABC
或 AB-C

(3)、A，B，C 中至少有一個發生。
A+B+C

(4)、A,B,C都發生。

(5)、A,B,C都不發生。

(6)、A,B,C不多於一個發生

或
或寫成
證明：

（7）A，B，C 中不多於二個發生。
思考一：也就是說ABC都發生的情況不存在，即
思考二：相當於 至少有一個發生，即

（8）A，B，C 中至少有二個發生。
思考一： 中至少有一個發生，也就是
思考二：

至少兩個發生的情況就是，兩個發生加上全部發生情況

即：
再證明：

3(1) 設 A，B，C 是三事件，且P(A) = P(B) = P(C) =1/4, P(AB)=P(BC)=0，P(AC) = 1/8 . 求 A，B，C 至少有一個發生的概率。
思考一：
根據題目畫出ABC的韋恩關系圖：

思考二：
帶入公式

3（2）已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30.
求：
解：

求：
解：

求：
解：

求：
解：

求：
解：

求：
解：

3(3)
i
ii

2. 概率論與數理統計課後習題答案（浙江大學第四版）

概率論與數理統計第四版盛驟浙江大學

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3. 求大學數學概率論與數理統計第4，5題答案和詳細過程

4題，E(S²)=(b-a)²/12。其過程是，∵X~U(a,b)，∴f(x)=1/(b-a)，a<x<b、f(x)=0，x為其它。
∴E(X)=∫(a,b)xf(x)dx=(b+a)/2，E(X²)=∫(a,b)x²f(x)dx=(b²+ab+a²)/3，∴D(X)=E(X²)-[E(X)]²=(b-a)²/12。而，E(S²)是D(X)的無偏估計。∴E(S²)=(b-a)²/12。
5題，ρXY=-1。其內簡單的過容程是，Y=-X+1。說明X、Y完全相關且變化方向相反，按照定義，ρXY=-1。【其詳細的計算過程是，∵Y=-X+1，∴E(Y)=-E(X)+1，D(Y)=D(X)。E(XY)=E[X(1-X)]=E(X)-E(X²)，Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=…=-D(X)。∴ρXY=Cov(X,Y)/[D(X)D(Y)]^(1/2)=-1】。
供參考。

4. 概率論與數理統計(郭躍華朱月萍主編)課後習題答案

19、 有關某一事件概率的求法：把所求的事件轉化為等可能事件的概率(常常採用排列組合的知識)，轉化為若干個互斥事件中有一個發生的概率，利用對立事件的概率，轉化為相互獨立事件同時發生的概率，看作某一事件在n次實驗中恰有k次發生的概率，但要注意公式的使用條件。（1）若事件A、B為互斥事件,則P（A+B）=P（A）+P（B）（2）若事件A、B為相互獨立事件,則P（A·B）=P（A）·P（B）（3）若事件A、B為對立事件,則P（A）+P（B）=1一般地, （4）如果在一次試驗中某事件發生的概率是p,那麼在n次獨立重復試驗中這個事恰好發生K次的概率：

5. 求文檔: 《概率論與數理統計》課後習題答案第二版魏宗舒

第一章 事件與概率

1.1 寫出下列隨機試驗的樣本空間及表示下列事件的樣本點集合。
(1)10件產品中有1件是不合格品，從中任取2件得1件不合格品。
(2)一個口袋中有2個白球、3個黑球、4個紅球，從中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得紅球。
解 (1)記9個合格品分別為 ，記不合格為次，則

(2)記2個白球分別為 ， ，3個黑球分別為 ， ， ，4個紅球分別為 ， ， ， 。則 { ， ， ， ， ， ， ， ， }
(ⅰ) { ， } (ⅱ) { ， ， ， }
1.2 在數學系的學生中任選一名學生，令事件A表示被選學生是男生，事件B表示被選學生是三年級學生，事件C表示該生是運動員。
(1) 敘述 的意義。
(2)在什麼條件下 成立？
(3)什麼時候關系式 是正確的？
(4) 什麼時候 成立？
解 (1)事件 表示該是三年級男生，但不是運動員。
(2) 等價於 ，表示全系運動員都有是三年級的男生。
(3)當全系運動員都是三年級學生時。
(4)當全系女生都在三年級並且三年級學生都是女生時`。
1.3 一個工人生產了 個零件，以事件 表示他生產的第 個零件是合格品（ ）。用 表示下列事件：
(1)沒有一個零件是不合格品；
(2)至少有一個零件是不合格品；
(3)僅僅只有一個零件是不合格品；
(4)至少有兩個零件是不合格品。
解 (1) ; (2) ; (3) ;
(4)原事件即「至少有兩個零件是合格品」，可表示為 ；
1.4 證明下列各式：
(1) ;
(2)
(3) ;
(4)
(5)
(6)
證明 （1）—（4）顯然，（5）和（6）的證法分別類似於課文第10—12頁（1.5）式和(1.6)式的證法。
1.5 在分別寫有2、4、6、7、8、11、12、13的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個數字組成一個分數，求所得分數為既約分數的概率。
解 樣本點總數為 。所得分數為既約分數必須分子分母或為7、11、13中的兩個，或為2、4、6、8、12中的一個和7、11、13中的一個組合，所以事件 「所得分數為既約分數」包含 個樣本點。於是
。
1.6 有五條線段，長度分別為1、3、5、7、9。從這五條線段中任取三條，求所取三條線段能構成一個三角形的概率。
解 樣本點總數為 。所取三條線段能構成一個三角形，這三條線段必須是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件 「所取三條線段能構成一個三角形」包含3個樣本點，於是 。
1.7 一個小孩用13個字母 作組字游戲。如果字母的各種排列是隨機的（等可能的），問「恰好組成「MATHEMATICIAN」一詞的概率為多大？
解 顯然樣本點總數為 ，事件 「恰好組成「MATHEMATICIAN」包含 個樣本點。所以
1.8 在中國象棋的棋盤上任意地放上一隻紅「車」及一隻黑「車」，求它們正好可以相互吃掉的概率。
解 任意固定紅「車」的位置，黑「車」可處於 個不同位置，當它處於和紅「車」同行或同列的 個位置之一時正好相互「吃掉」。故所求概率為

1.9 一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率。
解 每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現有7位乘客，所以樣本點總數為 。事件 「沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開」相當於「從9層中任取7層，各有一位乘客離開電梯」。所以包含 個樣本點，於是 。
1.10 某城市共有10000輛自行車，其牌照編號從00001到10000。問事件「偶然遇到一輛自行車，其牌照號碼中有數字8」的概率為多大？
解 用 表示「牌照號碼中有數字8」，顯然 ，所以
-
1.11 任取一個正數，求下列事件的概率：
(1)該數的平方的末位數字是1；
(2)該數的四次方的末位數字是1；
(3)該數的立方的最後兩位數字都是1；
解 (1) 答案為 。
(2)當該數的末位數是1、3、7、9之一時，其四次方的末位數是1，所以答案為
(3)一個正整數的立方的最後兩位數字決定於該數的最後兩位數字，所以樣本空間包含 個樣本點。用事件 表示「該數的立方的最後兩位數字都是1」，則該數的最後一位數字必須是1，設最後第二位數字為 ，則該數的立方的最後兩位數字為1和3 的個位數，要使3 的個位數是1，必須 ，因此 所包含的樣本點只有71這一點，於是
。
1.12 一個人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。然後請另一個人把6個頭兩兩相接，6個尾也兩兩相接。求放開手以後6根草恰好連成一個環的概率。並把上述結果推廣到 根草的情形。
解 (1)6根草的情形。取定一個頭，它可以與其它的5個頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個之一相接，最後將剩下的兩個頭相接，故對頭而言有 種接法，同樣對尾也有 種接法，所以樣本點總數為 。用 表示「6根草恰好連成一個環」，這種連接，對頭而言仍有 種連接法，而對尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最後再將其餘的尾連接成環，故尾的連接法為 。所以 包含的樣本點數為 ，於是
(2) 根草的情形和(1)類似得
1.13 把 個完全相同的球隨機地放入 個盒子中（即球放入盒子後，只能區別盒子中球的個數，不能區別是哪個球進入某個盒子，這時也稱球是不可辨的）。如果每一種放法都是等可能的，證明(1)某一個指定的盒子中恰好有 個球的概率為 ，
(2)恰好有 個盒的概率為 ，
(3)指定的 個盒中正好有 個球的概率為 ，
解 略。
1.14 某公共汽車站每隔5分鍾有一輛汽車到達，乘客到達汽車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過3分鍾的概率。
解 所求概率為
1.15 在 中任取一點 ，證明 的面積之比大於 的概率為 。
解 截取 ，當且僅當點 落入 之內時 的面積之比大於 ，因此所求概率為 。
1.16 兩艘輪船都要停靠同一個泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達。設兩船停靠泊位的時間分別為1小時與兩小時，求有一艘船停靠泊位時必須等待一段時間的概率。
解 分別用 表示第一、二艘船到達泊位的時間。一艘船到達泊位時必須等待當且僅當 。因此所求概率為
1.17 在線段 上任取三點 ，求：
(1) 位於 之間的概率。
(2) 能構成一個三角形的概率。
解 (1) (2)
1.18 在平面上畫有間隔為 的等距平行線，向平面任意地投擲一個三角形，該三角形的邊長為 （均小於 ），求三角形與平行線相交的概率。
解 分別用 表示三角形的一個頂點與平行線相合，一條邊與平行線相合，兩條邊與平行線相交，顯然 所求概率為 。分別用 表示邊 ，二邊 與平行線相交，則 顯然 ， ， 。所以
[ ]
（用例1.12的結果）
1.19 己知不可能事件的概率為零，現在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說明之。
解 概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長度為1的線段內隨機投點。則事件 「該點命中 的中點」的概率等於零，但 不是不可能事件。
1.20 甲、乙兩人從裝有 個白球與 個黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，乙後取，每次取後都有不放回，直到兩人中有一人取到白球時停止。試描述這一隨機現象的概率空間，並求甲或乙先取到白球的概率。
解 表示白， 表示黑白， 表示黑黑白，… ，
則樣本空間 { ， ，…， }，並且 ，
， ，…，

甲取勝的概率為 + + +…
乙取勝的概率為 + + +…
1.21 設事件 及 的概率分別為 、 及 ，求 ， ， ，
解 由 得

，

1.22 設 、 為兩個隨機事件，證明：
(1) ;
(2) .
證明 (1) =
(2) 由(1)和 得第一個不等式，由概率的單調性和半可加性分別得第二、三個不等式。
1.23 對於任意的隨機事件 、 、 ，證明：
證明

1.24 在某城市中共發行三種報紙：甲、乙、丙。在這個城市的居民中，訂甲報的有45%，訂乙報的有35%，訂丙報的有30%，同時訂甲、乙兩報的有10%，同時訂甲、丙兩報的有8%，同時訂乙、丙兩報的有5%，同時訂三種報紙的有3%，求下述百分比：
(1)只訂甲報的；
(2)只訂甲、乙兩報的；
(3)只訂一種報紙的；
(4)正好訂兩種報紙的；
(5)至少訂一種報紙的；
(6)不訂任何報紙的。
解 事件 表示訂甲報，事件 表示訂乙報，事件 表示訂丙報。
(1) = =30%
(2)
(3)

+ + = + + =73%
(4)
(5)
(6)
1.26 某班有 個學生參加口試，考簽共N張，每人抽到的考簽用後即放回，在考試結束後，問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少？
解 用 表示「第 張考簽沒有被抽到」， 。要求 。
， ，……，

，……
所以
1.27 從 階行列式的一般展開式中任取一項，問這項包含主對角線元素的概率是多少？
解 階行列式的展開式中，任一項略去符號不計都可表示為 ，當且僅當 的排列 中存在 使 時這一項包含主對角線元素。用 表示事件「排列中 」即第 個主對角線元素出現於展開式的某項中。則
，……
所以
1.29 已知一個家庭中有三個小孩，且其中一個是女孩，求至少有一個男孩的概率（假設一個小孩是男孩或是女孩是等可能的）。
解 用 分別表示男孩和女孩。則樣本空間為：

其中樣本點依年齡大小的性別排列。 表示「有女孩」， 表示「有男孩」，則

1.30 設 件產品中有 件是不合格品，從中任取兩件，
(1)在所取產品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。
(2) 在所取產品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。
解（1）設 表示「所取產品中至少有一件是不合格品」， 表示「所取產品都是不合格品」，則

(2)設 表示「所取產品中至少有一件合格品」， 表示「所取產品中有一件合格品，一件不合格品」。則

1.31 個人用摸彩的方式決定誰得一張電影票，他們依次摸彩，求：
(1)已知前 個人都沒摸到，求第 個人摸到的概率；
(2)第 個人摸到的概率。
解 設 表示「第 個人摸到」， 。
(1)
(2)
1.32 已知一個母雞生 個蛋的概率為 ，而每一個蛋能孵化成小雞的概率為 ，證明：一個母雞恰有 個下一代（即小雞）的概率為 。
解 用 表示「母雞生 個蛋」， 表示「母雞恰有 個下一代」，則

1.33 某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手一人，一、二、三、四級射手能通過選拔進入決賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一組內任選一名射手，該射手能通過選拔進入決賽的概率。
解 用 表示「任選一名射手為 級」， ， 表示「任選一名射手能進入決賽」，則
1.34 在某工廠里有甲、乙、丙三台機器生產螺絲釘，它們的產量各佔25%，35%，40%，並在各自的產品里，不合格品各佔有5%，4%，2%。現在從產品中任取一隻恰是不合格品，問此不合格品是機器甲、乙、丙生產的概率分別等於多少？
解 用 表示「任取一隻產品是甲台機器生產」
表示「任取一隻產品是乙台機器生產」
表示「任取一隻產品是丙台機器生產」
表示「任取一隻產品恰是不合格品」。
則由貝葉斯公式：

1.35 某工廠的車床、鑽床、磨床、刨床的台數之比為9:3:2:1，它們在一定時間內需要修理的概率之比為1:2:3:1。當有一台機床需要修理時，問這台機床是車床的概率是多少？
解 則 ， ， ，
， ， ，
由貝時葉斯公式得
1.36 有朋友自遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是 、 、 ，而乘飛機不會遲到。結果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？
解 用 表示「朋友乘火車來」， 表示「朋友乘輪船來」， 表示「朋友乘汽車來」， 表示「朋友乘飛機來」， 表示「朋友遲到了」。
則
1.37 證明：若三個事件 、 、 獨立，則 、 及 都與 獨立。
證明 （1）
=
（2）
（3） =
1.38 試舉例說明由 不能推出 一定成立。
解 設 ， ， ，
， ， ， 則 ，

但是
1.39 設 為 個相互獨立的事件，且 ，求下列事件的概率：
(1) 個事件全不發生；
(2) 個事件中至少發生一件；
(3) 個事件中恰好發生一件。
解 (1)
(2)
(3) .
1.40 已知事件 相互獨立且互不相容，求 （註： 表示 中小的一個數）。
解 一方面 ，另一方面 ，即 中至少有一個等於0，所以
1.41 一個人的血型為 型的概率分別為0.46、0.40、0.11、0.03，現在任意挑選五個人，求下列事件的概率
(1)兩個人為 型，其它三個人分別為其它三種血型；
(2)三個人為 型，兩個人為 型；
(3)沒有一人為 。
解 (1)從5個人任選2人為 型，共有 種可能，在其餘3人中任選一人為 型，共有三種可能，在餘下的2人中任選一人為 型，共有2種可能，另一人為 型，順此所求概率為：
(2)
(3)
1.42 設有兩門高射炮，每一門擊中目標的概率都是0.6，求同時發射一發炮彈而擊中飛機的概率是多少？又若有一架敵機入侵領空，欲以99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮。
解 用 表示「第 門高射炮發射一發炮彈而擊中飛機」， ， 表示「擊中飛機」。則 ， 。
(1)
(2) ,
取 。至少需要6門高射炮，同時發射一發炮彈，可保證99%的概率擊中飛機。
1.43 做一系列獨立的試驗，每次試驗中成功的概率為 ，求在成功 次之前已失敗了 次的概率。
解 用 表示「在成功 次之前已失敗了 次」， 表示「在前 次試驗中失敗了 次」， 表示「第 次試驗成功」
則

1.45 某數學家有兩盒火柴，每盒都有 根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒並從中抽出一根。求他用完一盒時另一盒中還有 根火柴（ ）的概率。
解 用 表示「甲盒中尚余 根火柴」， 用 表示「乙盒中尚余 根火柴」， 分別表示「第 次在甲盒取」，「第 次在乙盒取」， 表示取了 次火柴，且第 次是從甲盒中取的，即在前 在甲盒中取了 ，其餘在乙盒中取。所以
由對稱性知 ，所求概率為：

6. 概率論與數理統計（第三版）吳傳生版課後答案

每個人每個站下車概率是1/9 不下車概率是8/9。

1、那麼第i站停車概率=1-（8/9）^25 25個人至少一個在這一站下車。

2、兩個站i j都不停車概率=（7/9）^25 那麼至少有一站停車概率=1-（7/9）^25。

事件的概率是衡量該事件發生的可能性的量度。雖然在一次隨機試驗中某個事件的發生是帶有偶然性的，但那些可在相同條件下大量重復的隨機試驗卻往往呈現出明顯的數量規律。

(6)大學數學概率論與數理統計課後答案擴展閱讀：

概率論是研究隨機現象數量規律的數學分支，是一門研究事情發生的可能性的學問。但是最初概率論的起源與賭博問題有關。16世紀，義大利的學者吉羅拉莫·卡爾達諾（Girolamo Cardano）開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題。

概率與統計的一些概念和簡單的方法，早期主要用於賭博和人口統計模型。隨著人類的社會實踐，人們需要了解各種不確定現象中隱含的必然規律性。

並用數學方法研究各種結果出現的可能性大小，從而產生了概率論，並使之逐步發展成一門嚴謹的學科。概率與統計的方法日益滲透到各個領域，並廣泛應用於自然科學、經濟學、醫學、金融保險甚至人文科學中。