概率論答案第四版同濟大學

『壹』 概率論與數理統計第四版課後答案

1.[一] 寫出下列隨機試驗的樣本空間

（1）記錄一個小班一次數學考試的平均分數（充以百分制記分）（[一] 1）

o1n?100?S???,???，n表小班人數

n??nn（3）生產產品直到得到10件正品，記錄生產產品的總件數。（[一] 2）

S={10，11，12，???，n，???}

（4）對某工廠出廠的產品進行檢查，合格的蓋上「正品」，不合格的蓋上「次品」，如連續查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產品就停止檢查，記錄檢查的結果。

查出合格品記為「1」，查出次品記為「0」，連續出現兩個「0」就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。 （[一] (3)）

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 設A，B，C為三事件，用A，B，C的運算關系表示下列事件。 （1）A發生，B與C不發生。 表示為：

ABC或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)

（2）A，B都發生，而C不發生。 表示為：

ABC或AB－ABC或AB－C

表示為：A+B+C

（3）A，B，C中至少有一個發生

（4）A，B，C都發生， 表示為：ABC

表示為：ABC或S－ (A+B+C)或A?B?C

（5）A，B，C都不發生，

（6）A，B，C中不多於一個發生，即A，B，C中至少有兩個同時不發生 相當於AB,BC,AC中至少有一個發生。故 表示為：AB?BC?AC。 （7）A，B，C中不多於二個發生。

相當於：A,B,C中至少有一個發生。故 表示為：A?B?C或ABC （8）A，B，C中至少有二個發生。

相當於：AB，BC，AC中至少有一個發生。故 表示為：AB+BC+AC

6.[三] 設A，B是兩事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 問(1)在什麼條件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什麼條件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否則AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1與P (A∪B)≤1矛盾）.

從而由加法定理得

P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B)

(*)

（1）從0≤P(AB)≤P(A)知，當AB=A，即A∩B時P(AB)取到最大值，最大值為 P(AB)=P(A)=0.6，

（2）從(*)式知，當A∪B=S時，P(AB)取最小值，最小值為 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。

7.[四] 設A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1. 求A，B，C至少有一個發生的概率。 81,P(AB)?P(BC)?0，4解：P (A，B，C至少有一個發生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)=

315??0? 4888.[五] 在一標准英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26

個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？

記A表「能排成上述單詞」

2∵ 從26個任選兩個來排列，排法有A26種。每種排法等可能。

字典中的二個不同字母組成的單詞：55個 ∴

P(A)?5511 ?2A261309. 在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求後面四個數全不相同的概率。（設後面4個數中的每一個數都是等可能性地取自0，1，2??9）

記A表「後四個數全不同」

∵ 後四個數的排法有104種，每種排法等可能。

4後四個數全不同的排法有A10

∴

4A10P(A)?4?0.504

1010.[六] 在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀念章，任意選3人記錄其紀念章的號碼。

（1）求最小的號碼為5的概率。

記「三人紀念章的最小號碼為5」為事件A

10?∵ 10人中任選3人為一組：選法有??3?種，且每種選法等可能。 ??5?又事件A相當於：有一人號碼為5，其餘2人號碼大於5。這種組合的種數有1???2? ??∴

5?1???2????1 P(A)?12?10??3???（2）求最大的號碼為5的概率。

10?記「三人中最大的號碼為5」為事件B，同上10人中任選3人，選法有??3?種，且??

4?每種選法等可能，又事件B相當於：有一人號碼為5，其餘2人號碼小於5，選法有1???2???種

4?1???2????1 P(B)?20?10??3???11.[七] 某油漆公司發出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運中所標箋脫落，交貨人隨意將這些標箋重新貼，問一個定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數得到定貨的概率是多少？

記所求事件為A。

9在17桶中任取9桶的取法有C17種，且每種取法等可能。

432?C4?C3取得4白3黑2紅的取法有C10

故

432C10?C4?C3252 P(A)??62431C1712.[八] 在1500個產品中有400個次品，1100個正品，任意取200個。 （1）求恰有90個次品的概率。 記「恰有90個次品」為事件A

1500?∵ 在1500個產品中任取200個，取法有??200?種，每種取法等可能。

??400??1100?200個產品恰有90個次品，取法有??90??110?種

?????400??1100??90??110?????

P(A)??1500??200???∴

（2）至少有2個次品的概率。 記：A表「至少有2個次品」

B0表「不含有次品」，B1表「只含有一個次品」，同上，200個產品不含次品，取法

1100??400??1100?有??200?種，200個產品含一個次品，取法有?1??199?種 ??????∵

A?B0?B1且B0，B1互不相容。

∴

??1100???200????P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1??1500????200??????400??1100???1??199??????

??1500???200?????13.[九] 從5雙不同鞋子中任取4隻，4隻鞋子中至少有2隻配成一雙的概率是多少？ 記A表「4隻全中至少有兩支配成一對」 則A表「4隻人不配對」

10?∵ 從10隻中任取4隻，取法有??4?種，每種取法等可能。

??要4隻都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一隻。取法有

?5??24 ?4????P(A)?4C5?244C10?821813?2121

P(A)?1?P(A)?1?15.[十一] 將三個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數分別是1，2，3，的概率各為多少？

記Ai表「杯中球的最大個數為i個」 i=1,2,3, 三隻球放入四隻杯中，放法有43種，每種放法等可能

對A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332種。 (選排列：好比3個球在4個位置做排列)

P(A1)?4?3?26 ?31642?4?3種。 對A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有C3

2(從3個球中選2個球，選法有C3，再將此兩個球放入一個杯中，選法有4

種，最後將剩餘的1球放入其餘的一個杯中，選法有3種。

2C3?4?3P(A2)?43?9 16對A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個杯中選1個杯子，放入此

3個球，選法有4種)

P(A3)?41 ?316416.[十二] 50個鉚釘隨機地取來用在10個部件，其中有三個鉚釘強度太弱，每個部

件用3隻鉚釘，若將三隻強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱，問發生一個部件強度太弱的概率是多少？

記A表「10個部件中有一個部件強度太弱」。 法一：用古典概率作：

把隨機試驗E看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10個部件（在三個釘的一組中不分先後次序。但10組釘鉚完10個部件要分先後次序）

3333?C47?C44???C23對E：鉚法有C50種，每種裝法等可能

3333?C47?C44??C23對A：三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有〔C3〕×10

種

3333[C3?C47?C44???C23]?10333C50?C47????C23P(A)??1?0.00051 1960法二：用古典概率作

把試驗E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計先後次序）

3對E：鉚法有A50種，每種鉚法等可能

對A：三支次釘必須鉚在「1，2，3」位置上或「4，5，6」位置上，?或「28，29，

327327327327?A47?A3?A47????A3?A47?10?A3?A4730」位置上。這種鉚法有A3種

32710?A3?A4730A50P(A)??1?0.00051 196017.[十三] 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)。 解一：

P(A)?1?P(A)?0.7,P(B)?1?P(B)?0.6,A?AS?A(B?B)?AB?AB注意(AB)(AB)??. 故有

P (AB)=P (A)－P (AB)=0.7－0.5=0.2。 再由加法定理，

P (A∪B)= P (A)+ P (B)－P (AB)=0.7+0.6－0.5=0.8 於是P(B|A?B)?P[B(A?B)]P(AB)0.2???0.25

P(A?B)P(A?B)0.8解二:P(AB)?P(A)P(B|A)?由已知???05?07?P(B|A)?P(B|A)?0.5521??P(B|A)?故P(AB)?P(A)P(B|A)?0.77751P(BA?BB)P(BA)5P(B|A?B)定義???0.25P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.6?0.5

18.[十四] P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)。 43211?定義P(AB)P(A)P(B|A)由已知條件143?P(B)?1 ???????有?解：由P(A|B)P(B)P(B)2P(B)6由乘法公式，得P(AB)?P(A)P(B|A)?1 121111??? 46123由加法公式，得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?

19.[十五] 擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點數之和為7，求其中有一顆為1點的概率（用兩種方法）。

解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發生的概率）。

擲兩顆骰子的試驗結果為一有序數組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）並且滿足x,+y=7，則樣本空間為

S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} 每種結果（x, y）等可能。

A={擲二骰子，點數和為7時，其中有一顆為1點。故P(A)?21?} 63方法二：（用公式P(A|B)?P(AB) P(B)S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每種結果均可能

A=「擲兩顆骰子，x, y中有一個為「1」點」，B=「擲兩顆骰子，x,+y=7」。則

P(B)?612， ?,P(AB)?2266622P(AB)216??? 故P(A|B)?P(B)163620.[十六] 據以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母親得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父親得病|母親及孩子得病}=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。

解：所求概率為P (ABC)（注意：由於「母病」，「孩病」，「父病」都是隨機事件，這里不是求P (C|AB)

P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (C|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6. 從而P (ABC)= P (AB) · P(C|AB)=0.3×0.6=0.18.

21.[十七] 已知10隻晶體管中有2隻次品，在其中取二次，每次隨機地取一隻，作不放回抽樣，求下列事件的概率。

（1）二隻都是正品（記為事件A）

法一：用組合做 在10隻中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結果，每種取法等可能。

C8228P(A)?2??0.62

C1045法二：用排列做 在10隻中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結果，每個排列等可能。

2A82A10P(A)?

?28 45法三：用事件的運算和概率計演算法則來作。 記A1，A2分別表第一、二次取得正品。

P(A)?P(A1A2)?P(A)P(A2|A1)?（2）二隻都是次品（記為事件B）

8728 ??10945法一：P(B)?2C22C10?1 45法二：P(B)?2A22A10?1 45法三：

P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?211 ??10945（3）一隻是正品，一隻是次品（記為事件C）

法一：P(C)?11C8?C22C10?16 45法二：P(C)?112(C8?C2)?A22A10?16 45

法三：

P(C)?P(A1A2?A1A2)且A1A2與A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?281682 ???10910945（4）第二次取出的是次品（記為事件D）

法一：因為要注意第一、第二次的順序。不能用組合作，

法二：P(D)?11A9?A22A10?1 5法三：

P(D)?P(A1A2?A1A2)且A1A2與A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?82211???? 109109522.[十八] 某人忘記了電話號碼的最後一個數字，因而隨機的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最後一個數字是奇數，那麼此概率是多少？

記H表撥號不超過三次而能接通。 Ai表第i次撥號能接通。

注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。

??H?A1?A1A2?A1A2A3三種情況互斥P(H)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

?1919813??????10109109810如果已知最後一個數字是奇數（記為事件B）問題變為在B已發生的條件下，求H再發生的概率。

P(H|B)?PA1|B?A1A2|B?A1A2A3|B)

?P(A1|B)?P(A1|B)P(A2|BA1)?P(A1|B)P(A2|BA1)P(A3|BA1A2) ?1414313?????? 5545435

24.[十九] 設有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題(1)）

記A1，A2分別表「從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋」 再記B表「再從乙袋中取得白球」。 ∵ ∴

B=A1B+A2B且A1，A2互斥 P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)

=

nN?1mN ???n?mN?M?1n?mN?M?1[十九](2) 第一隻盒子裝有5隻紅球，4隻白球；第二隻盒子裝有4隻紅球，5隻白球。先從第一盒子中任取2隻球放入第二盒中去，然後從第二盒子中任取一隻球，求取到白球的概率。

記C1為「從第一盒子中取得2隻紅球」。 C2為「從第一盒子中取得2隻白球」。

C3為「從第一盒子中取得1隻紅球，1隻白球」，

D為「從第二盒子中取得白球」，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有

P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)

112C525C4?C47C5653?2???? ?2?

1199C911C911C9226.[二十一] 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？

解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，顯然A1∪A2=S，A1 A2=φ 由已知條件知P(A1)?P(A2)?由貝葉斯公式，有

1P(B|A1)?5%,P(B|A2)?0.25% 2?

15?P(A1B)P(A1)P(B|A1)202100P(A1|B)????125P(B)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)1521???2100210000

[二十二] 一學生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次

P及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少

2有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經及格，求他第一次及格的概率。

解：Ai={他第i次及格}，i=1,2

已知P (A1)=P (A2|A1)=P，P(A2|A1)?P

2（1）B={至少有一次及格}

}?A1A2 所以B?{兩次均不及格∴P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1) ?1?[1?P(A1)][1?P(A2|A1)] ?1?(1?P)(1?P31)?P?P2 222

（*）

定義P(A1A2)（2）P(A1A2)

P(A2)由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2

由全概率公式，有P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)

?P?P?(1?P)?

P2?PP?222

將以上兩個結果代入（*）得P(A1|A2)?P2P2P?22?2P P?128.[二十五] 某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：

到家時間 乘地鐵到 0.10 家的概率 乘汽車到 0.30 家的概率 某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。

解：設A=「乘地鐵」，B=「乘汽車」，C=「5:45~5:49到家」，由題意,AB=φ,A∪B=S 已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由貝葉斯公式有

0.35 0.20 0.10 0.05 0.25 0.45 0.15 0.05 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 遲於5:54 P(A|C)?P(C|A)P(A)?P(C)0.5?0.450.459???0.6923

110.6513P(C|A)?P(C|B)2229.[二十四] 有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5隻，其中10隻一等品；第二箱30隻，其中18隻一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然後從該箱中取零件兩次，每次任取一隻，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：設Bi表示「第i次取到一等品」 i=1，2 Aj表示「第j箱產品」 j=1,2，顯然A1∪A2=S （1）P(B1)?A1A2=φ

1101182。 ?????0.4（B1= A1B +A2B由全概率公式解）

2502305110911817?P(B1B2)2504923029（2）P(B2|B1)???0.4857

2P(B1)5 （先用條件概率定義，再求P (B1B2)時，由全概率公式解） 32.[二十六（2）] 如圖1，2，3，4，5

1 L 3 2 R

表示繼電器接點，假設每一繼電器接點閉合的概率為p，且設各繼電器閉合與否相互獨立，求L和R是通路的概率。

記Ai表第i個接點接通

記A表從L到R是構成通路的。

∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥

∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)

+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)

+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)

又由於A1，A2， A3， A4，A5互相獨立。 故

P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4]

4

5

+[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5

[二十六（1）]設有4個獨立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯接，求系統的可靠性。

記Ai表示第i個元件正常工作，i=1，2，3，4，

2 1 4 3 A表示系統正常。

∵ A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥

(加法公式)

∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4)

= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4) = P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4

(A1, A2, A3, A4獨立)

34.[三十一] 袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）。在袋中任取一隻，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？

解：設「出現r次國徽面」=Br 「任取一隻是正品」=A 由全概率公式，有

m1rn()??1rm?n2m?nm1r ()P(A)P(Br|A)mm?n2?P(A|Br)???m1rnP(Br)m?n?2r()?m?n2m?nP(Br)?P(A)P(Br|A)?P(A)P(Br|A)? （條件概率定義與乘法公式）

35．甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7。飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。

解：高Hi表示飛機被i人擊中，i=1，2，3。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機

∵

H1?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3，三種情況互斥。 H2?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3 三種情況互斥 H3?B2B2B3

又 B1，B2，B2獨立。 ∴

P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3 + 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14

『貳』 概率論與數理統計習題答案同濟大學數學系編人民郵電出版社

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『捌』 求 概率論與數理統計 第四版 沈恆范編 課後習題答案

習題二

一、填空題
1．設隨機變數的概率密度函數為

若使得，則的取植范圍是 ．
解：
當時，
當時，
當時，
當時，
當時，
綜上，若使得，則的取植范圍是．
2．設隨機變數服從參數為的二項分布，隨機變數服從參數為的二項分布．若，則 ．
解：因為，所以，從而有

又，故所求為
3．一實習生用同一台機器接連獨立地製造3個同種零件，第個零件是不合格品的概率（），以表示3個零件中合格品的個數，則 ．
解： 設表示「第i個零件是合格品」（i=1,2,3），則由題設知事件相互獨立，且

故所求概率為

4．設隨機變數的概率密度為，以表示對的三次獨立重復觀察中事件出現的次數，則___________．
解：一次觀察中事件出現的該率為

則由題設知，故所求概率為

5．若隨機變數服從參數為的正態分布，且，則
．
解：因為，所以

則有

故所求概率為

6．設隨機變數的分布函數為

則的概率分布為 ．
解：由題設知的所有可能取值為，且

從而得的概率分布為
X -1 1 3
0.4 0.4 0.2

7．一射手對同一目標獨立地進行四次射擊，若至少命中一次的概率為，則該射手的命中率為 ．
解：設該射手的命中率為，表示四次射擊中的命中次數，則由題設知，從而有

故所求為
8．設隨機變數服從正態分布，且二次方程無實根的概率為0.5，則= ．
解：因為，所以由題設知

則有

故所求為
4
9．設連續型隨機變數的分布函數為

則 ， ．
解：因為X為連續型隨機變數，故其分布函數F(x)連續，所以

即 1
從而

10．設隨機變數服從參數為（10，0.022）的正態分布．已知，，則落在區間（9.95，10.05）內的概率為 ．
解：因為，所以則落在區間（9.95，10.05）內的概率為

二、單項選擇題
1.設與分別為隨機變數與的分布函數，為使F（x）=－是某一隨機變數的分布函數，在下列給定的各組數值中應取[ ]
（A）, （B）,
（C）, （D）,
解：根據分布函數的性質：，於是有

即．
對比四個選項知，只有(A)中的和值滿足，故正確選項為(A)．
2.設隨機變數服從正態分布,則隨的增大，概率,則[ ]
(A)單調增大 (B)單調減 (C)保持不變 (D)增減不定
解：由於，因此，於是有

可見所求概率不隨和的變化而變化，故正確選項為(C)．
3.設隨機變數的密度函數為,且,是的分布函數，則對任意實數, 有[ ]
(A) (B)
(C) (D)
解： 要想最快速度作出選擇，首先設法找出隨機變數的分布函數滿足哪條性質．而其密度函數滿足，即為偶函數．為此，先將退到一個特殊位置——把想像成服從標准正態分布的隨機變數．

如圖，圖2—1(1)中陰影部分的面積為，圖2—1(2)中陰影部分的面積為，據此很容易選出(B)為正確答案．下面給出證明：
證 由分布函數的定義得

利用積分的可加性，有
(2.2.1)
而由密度函數性質

又因為，所以
(2.2.2)
在積分中作變數替換，令，則
(2.2.3)
將(2.2.2)與(2.2.3)式代入(2.2.1)式，得

故正確選項為(B)．
註： 這種轉化過程，其實利用的就是由「一般」退到「特殊」以利於尋求答案，待得到答案後再完成由「特殊」進到「一般」的嚴格推導的辯證思維．這一思想，尤其是在解決選擇題上最常用．
4.設隨機變數與均服從正態分布，,;記,，則[ ]
(A)對任何實數,都有 (B)對任何實數,都有
(C)只對個別值,才有 (B)對任何實數,都有
解：由於,，因此，於是有

所以對任何實數,都有，故正確選項為(A)．
5．設隨機變數服從正態分布，對給定的α∈(0,1)，數滿足，若，則等於[ ]
(A) (B) (C) (D)
解：由於，因此

於是有

從而

又，所以，故正確選項為(B)．
6．設隨機變數服從正態分布，隨機變數服從正態分布，且

則必有[ ]
(A) (B) (C) (D)
解：由於,，因此，於是有

又

所以

從而

即

所以，故正確選項為(A)．
7．某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第4次射擊恰好是他第2次命中目標的概率為[ ]
（A） （B） （C） （D）
解：此人第4次射擊恰好是他第2次命中目標，即此人前三次射擊中只有一次命中且第四次命中目標，設表示「此人前三次射擊中的命中次數」,則．另設表示「此人前三次射擊中只有一次命中」， 表示「第四次命中目標」，於是有

因此所求為

故正確選項為(C)．
8．隨機變數的概率密度為,則的概率密度為 [ ]
（A） （B） （C） （D）
解：的分布函數

所以的概率密度為

也可以寫成

故正確選項為(B)．
9．設隨機變數的分布函數,則 [ ]
(A) 1 (B) (C) (D)
解：根據分布函數的性質：，於是有

即，故正確選項為(A)．
10．設隨機變數的概率分布是

則的概率分布是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
解：由題設知的所有可能取值為，且

從而得的概率分布為
Y 0 1 4
2/5 1/5 2/5

故正確選項為(A)．

三、解答題
1．分別用隨機變數表示下列事件
(1)觀察某電話總機每分鍾內收到的呼喚次數，試用隨機變數表示事件「收到呼喚3次」、「收到呼喚次數不多於6次」；
(2)抽查一批產品，任取一件檢查其長度，試用隨機變數表示事件「長度等於10cm」、「長度在10cm到10.1cm之間」；
(3)檢查產品5件，設為至少有一件次品，為次品不少於兩件，試用隨機變數表示事件

解：(1)事件「收到呼喚3次」表示為，「收到呼喚次數不多於6次」表示為；
(2)事件「長度等於10cm」 表示為；「長度在10cm到10.1cm之間」表示為
(3)事件

2．一袋中裝有5隻球，編號為1,2,3,4,5，在袋中同時取3隻，以表示取出的3隻球中的最大號碼，寫出的分布律及分布函數．
解：由題設得
，，
從而得的分布律為
X 3 4 5

的分布函數為

3．汽車需要通過有4盞紅綠信號燈的道路才能到達目的地．設汽車在每盞紅綠燈前通過(即遇到綠燈)的概率都是0.6；停止前進(即遇到紅燈)的概率為0.4，求汽車首次停止前進(即遇到紅燈，或到達目的地)時，已通過的信號燈的個數的分布律．
解：設表示「汽車在停止前進時已通過的信號燈數」，則隨機變數的所有可能取值為0,1,2,3,4，又設表示事件「汽車將通過時第i盞信號燈開綠燈」，則由題意
表示{已通過的信號燈數是0(即第一盞信號燈是紅燈)},故

表示{已通過的信號燈數是1(即第一盞信號燈是綠燈，而第二盞是紅燈),故

同理

於是的分布律為

即
0 1 2 3 4
0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296

4．假設隨機變數的概率密度為

現在對進行次獨立重復觀測，以表示觀測值不大於0.1的次數. 試求隨機變數的概率分布．
解：事件「觀測值不大於0.1」，即事件的概率為

每次觀測所得觀測值不大於0.1為成功，則作為次獨立重復試驗成功的次數，服從參數為的二項分布，即的概率分布為

5．假設一大型設備在任何長為的時間內發生故障的次數服從參數為的泊松分布．（1）求相繼兩次故障之間時間間隔的概率分布；（2）求在設備已經無故障工作8小時的情形下，再無故障運行8小時的概率．
解：(1)由題設可知

同時易見T是只取非負值的隨機變數，當時，；當時，事件與等價．於是有

故T的分布函數為

即T服從參數為的指數分布．
(2)由於指數分布具有「無記憶」性，因此

6．假設測量的隨機誤差，試求在100次獨立重復測量中，至少有三次誤差絕對值大於19.6的概率，並利用泊松分布求出的近似值（要求數點後取兩位有效數字）．
解：設為每次測量誤差的絕對值大於19.6的概率，則

設為100次獨立重復測量中事件出現的次數，則服從二項分布，參數為，所以

由泊松定理知，近似服從參數為的泊松分布，故所求為

7．某商品的次品率是0.01．現從一大批該商品中任取500個，問次品數不超過5個的概率．要求：(1)寫出二項分布計算公式；（2）用泊松分布計算結果．
解：由題設知X～B(500,0.01),即

所以
(1)次品數不超過5個的概率為

(2) 由泊松定理知，近似服從參數為的泊松分布，故所求為

8．在電源電壓不超過200伏、在200—240伏和超過240伏三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2．假設電源電壓X服從正態分布，試求：(1)該電子元件損壞的概率；(2)該電子元件損壞時，電源電壓在200—240伏的概率．
解：設表示「電壓不超過200伏」， 表示「電壓在200—240伏」， 表示「電壓超過240伏」； 表示「電子元件損壞」 ．
又，所以

(1)由題設可知：，於是由全概率公式有

(2) 由條件概率公式（或貝葉斯公式）得所求為

9．設電流是一個隨機變數，它均勻分布在9安~11安之間.若此電流通過2歐姆的電阻，在其上消耗的功率為，求的概率密度．
解：由題意I的概率密度為

對於
由於，所以當時，其分布函數，故
綜上，的概率密度為

10．設隨機變數在[2，5]上服從均勻分布．現在對進行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大於3的概率．
解：由題設知，的分布函數為

設為每次觀測中觀測值大於3的概率，則

設為3次獨立觀測中事件出現的次數，則服從二項分布，參數為，故所求為

11．設隨機變數的分布律為
X 0 1 2 3 4 5

求的分布律.
解:
X 0 1 2 3 4 5
8 2 0 2 8 18
從而有

故的分布律為

Y 0 2 8 18

12．設隨機變數的概率密度函數為，求隨機變數的概率密度函數．
解：對任意實數，根據定義隨機變數的分布函數為

則有

即隨機變數的概率密度函數

13．假設隨機變數在區間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機變數的概率密度．
解：由題設知，的密度函數為

對任意實數，根據定義隨機變數的分布函數為

(1)當時，，則
(2)當時，，則

所以
當即時，
當或時，
綜上可得，隨機變數的概率密度為

14．假設隨機變數的絕對值不大於1；P，P；在事件出現的條件下，在內的任一子空間上取值的條件概率與該子空間的長度成正比．試求的分布函數．
解：由題設可知

所以有
(1)當時，
(2)當時

(3)當時，
綜上可得，隨機變數的分布函數為

15. 設隨機變數的概率密度為，為的分布函數，求的分布函數．
解：
當時，
當時，
當時，
綜上可得，隨機變數的分布函數為

對任意實數，根據定義隨機變數的分布函數為

當時，
當時

當時，
於是，的分布函數為

16. 假設一廠家生產的每台儀器，以概率0.7可以直接出廠，以概率0.3需進一步調試，終調試後以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠．現該廠新生產了台儀器（假設各台儀器的生產過程相互獨立）．求：（1）全部能出廠的概率；（2）其中恰好有兩台不能出廠的概率；（3）其中至少有兩台不能出廠的概率．
解：對於新生產的每台儀器，設表示「儀器需進一步調試」，表示「儀器能出廠」，則表示「儀器需進一步調試」，表示「儀器經調試後能出廠」．
由題設可知，，，從而有

設表示「所生產的台儀器中能出廠的台數」，則作為次獨立試驗成功（儀器能出廠）的次數，服從參數為的二項分布，因此
(1)
(2)
(3)

17. 某種型號的電子管的壽命的分布密度函數為

現從一大批中任取5隻，問其中至少有兩只壽命大於1500小時的概率．
解：
設Y表示 「壽命大於1500小時的電子管只數」，則Y～B(5,2/3),從而所求為

18. 設顧客在某銀行窗口等待服務的時間（單位：分）服從參數為的指數分布．該顧客在窗口等待服務超過10分鍾則離開．他一個月到銀行5次．以表示未等到服務的次數，試求
（1）的概率分布；
（2）．
解：
(1)由題設，即的概率分布為

(2)
19. 設隨機變數在上服從均勻分布，試求一元二次方程有實根的概率．
解：由題設知 ,從而所求為

20. 設隨機變數在上服從均勻分布，試求：(1)；(2)的概率密度函數．
解：由題設 可知

(1)
i)當時，，從而有
ii)當時，，從而有

a)當即時，
b)當即時，
c)當即時，
綜上，可得的密度函數為

(2)
所以有

i) 當即時，
ii) 當即時，
綜上，可得的密度函數為

21. 某汽車從起點駛出時有30名乘客，設沿途有4個停靠站，且該車只下不上．每個乘客在每個站下車的概率相等，並且乘客與乘客在各個站下車與否相互獨立，試求：
（1）全在終點站（即第4個停靠站）下車的概率；
（2）至少有2個乘客在終點站下車的概率；
（3）該車駛過2個停靠站後乘客人數降為15的概率；
（4）至少有一個站無人下車的概率．
解：設X表示 「在終點站（即第4個停靠站）下車的人數」，則X～B(30,1/4),從而所求為
（1）
（2）

（3）設Y表示 「在 前2個停靠站下車的人數」，則Y～B(30,1/2),從而所求為

（4）設Z表示 「無人下車的站數」，則所求為

22. 設甲、乙兩人進行投籃比賽，甲的命中率為0.6，乙的命中率為0.7，規定每人投籃兩次，誰投進的球數多誰就為優勝者．若投進的球數同樣多，則每人再加投一次以決勝負，如仍為同樣則為平局．試求：甲獲勝，乙獲勝，平局的概率各為多少？
解：設X表示「前兩次甲投中的次數」，則X～B(2,0.6)；設Y表示 「前兩次乙投中的次數」，則Y～B(2,0.7)；表示「第三次甲投中」，表示「第三次乙投中」；表示「甲獲勝」，表示「乙獲勝」，表示「平局」，從而所求為

23. 設服從正態分布，試求：
(1) ； (2) ； (3)；(4)；
(5)確定使得．
解：(1)

(2)

(3)

(4)

(5)由，知

從而有

故有

24. 一個工廠生產的電子管壽命(以小時計)，服從參數，的正態分布，若要求，允許最大為多少？
解：由題設可得

從而有

所以

故允許最大為31.25．
25. 設隨機變數的概率密度函數為，求：(1) ; (2); (3)分布函數．
解：(1)由得

(2)
(3)
ⅰ)當時，
ⅱ) 當時，
綜上，可得的分布函數為

26．設連續型隨機變數的分布函數為

其中,求: (1) 和； (2) 的分布密度函數．
解：（1）因為為連續型隨機變數，所以連續，故有

而

從而有

（2）
27．設隨機變數的概率密度函數為

試求: （1）系數；（2）；（3）的分布函數.
解：(1)由得
(2)
(3)
ⅰ)當時，
ⅱ)當時，
ⅲ)當時，
綜上，可得的分布函數為

28. 設隨機變數在上服從均勻分布,求的分布函數．
解：由題設可知

所以

ⅰ)當時，
ⅱ)當時，
ⅲ)當時，
ⅳ)當時，
ⅴ)當時，
綜上，可得的分布函數為

29. 設隨機變數具有對稱的概率密度，即為偶函數，，證明：對任意有：
(1) ；
(2) ．
證明：(1)

(2)

30. 假設隨機變數服從參數為2的指數分布，證明：在區間上服從均勻分布．
證：由題設可知

所以

i)當即時，，從而有
ii)當時，，從而有

於是可得
a)當即時，
b)當時，
綜上，可得的密度函數為

即在區間上服從均勻分布．

『玖』 概率論與數理統計課後習題答案 第四版

叫這本書名的沒有一千也有一百，你要哪個出版社哪個作者的

『拾』 求工程數學 概率論 課後答案 (同濟大學數學教研室) 高等教育出版社

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