江漢大學復變函數考試題及答案
㈠ 復變函數考試，求大神幫助
第一題，1的根號2次方，底數和指數都是正數，這個運算在實數域內是有意義的。如果不在復數域中考慮，它賣晌的結果就是1.
在復數域中，
因此原來的積分值為兩者之和，結果是0.
㈡ 復變函數論題目：求方程z^8-22z+13=0 （1）在圓K:|z|<2內根的個數；（2）在圓環:1<|z|<2內根的個數
（1）用Rouche定理證明在區域|z|<2內原姿弊方程的根和斗冊尺z^8=0的根數目相同，都是8個。
（2）同樣地，在|z|<空高=1內原方程和z^8-22z的根的數目相同，都是1個，所以第二問答案是7。
㈢ 高分跪求復變函數補考完整答案一份
圖1.
填空：
1.z=ln(1-sqrt(3)i)=|1-sqrt(3)|+iarg(1-sqrt(3))=2+i(2kπ-π/3)
2.|z|=2，該多邊形是六邊形，面積為6個邊長為2的正三角形面積之和，為6sqrt(3)
3.由頻域微分定理，L{tf(t)}=-F'(s)，故L{t^3f(t)}=-F'''(s)；又由頻域平移定理，L{e^{5t}t^3f(t)}=-F'''(s-5)
4.記f(z)=z^{-2}，f^(n)(z)=(-1)^n(n+1)!z^{-2+n}. f(z)=∑[0,∞]f^(n)(-1)(z+1)^n=∑[0,∞](n+1)!(z+1)^n
5.由於cosz的泰勒展開式只有偶次項，在n為偶數時不會出現-1次項，故留數（-1次項系數）為0.
選擇：
1. 選D：由於(z-1)sin(1/(z-1))=1-(z-1)^{-2}/3!+(z-1)^{-4}/5!-(z-1)^{-6}/7!+...，其展開式含有無窮多項負冪項，所以是本性奇點。
2.選C：f(z)解析的充要條件是u,v連續可微（調和），且u,v滿足柯西黎曼方程（共軛）。
A.僅說調和，沒說共軛。
B.僅說共軛，沒說調和。
3.選B：對基礎結論F{δ(t)}=1用時域平移定理F{δ(t-t0)}=e^{-iwt0}；對基礎結論f{1}=2πδ(w)，用頻域平移定理F{e^{iw0t}}=2πδ(w-w0).
4.選A：L{δ(t)}=1；對L{u(t)}=1/s先用時域平移定理L{u(t-1)}=e^{-s}/s，再用頻域平移定理L{e^{-t}u(t-1)}=e^{-(s+1)}/(s+1).
5.選D：z=1/sqrt(2)時，|(1+sqrt(3))^n z^2n|->1
計算：
在|z|>2上展開被積分函數：(z-2)^{-2}z^{-3}=z^{-5}(1-2z^{-1})^{-2}=z^{-5}+4z^{-6}+...展開式中沒有z^{-1}次項。由於環路積分值等於2πi * -1次項系數，故為0。
|z|=3包圍了三個奇點z=0,±1，留數分別為-1,e/2,e^{-1}/2，有留數定理積分值為2πi(-1+e/2+e^{-1}/2)
|z|=2包圍了兩個奇點z=0,1，留數分別為1,2，由留數定理積分值為2πi(1+2)=6πi
由於zz*=|z|^2=1，故原積分等於∫(z^2+1)dz=(z^3/3+z)|z=-1 -(z^3/3+z)|z=1 = -1/3 - 1 - (1/3 + 1)=-8/3.
先分解因式：F(s)=1/(16(s + 1)) - 1/(16(s - 1))- 1/(4(s + 1)^3)+ 1/(8(s - 1)^2) .然後使用基礎結論L{1/(s+a)^n}=t^{n-1}e^{-at}/(n-1)，由f(t)=e^{-t}/16 - e^t/16 - t^2e^{-t}/8 + te^t/8
由卷積定理L{f1(t)*f2(t)}=F1(s)F2(s)，故先求拉普拉斯變換，F1(s)=1/s，F2(s)=1/(s+1)，F1(s)F2(s)=1/(s(s+1))=1/s-1/(s+1)，故f1(t)*f2(t)=1 - e^{-t}, t >= 0; 0, t < 0
f(z)的洛朗級數就是1/z-1/z^2
利用基礎結論sinz= z-z^3/3! + z^5/5! ...，sinz/z = 1- z^2/3! + z^4/5! ... = ∑(-1)^{k}z^{2k}/(2k+1)!
計算：
將方程變形為t(y''(t)+y(t))=2y'(t)。兩側同做拉普拉斯變換，設L{y(t)}=Y(s)，則由時域微分定理L{y'(t)}=sY(s)，L{y''(t)}=s^2Y(s)；對L{y''(t)+y(t)}=(s^2+1)Y(s)用頻域微分定理：L{t(y''(t)+y(t))}=-d((s^2+1)Y(s))/ds。
得到方程d((s^2+1)Y(s))/ds=-2sY(s)，變形為d((s^2+1)Y(s))/((s^2+1)Y(s))=-2s/(s^2+1)ds，兩側積分得到Y(s)=C/(s^+1)^2, 求逆變換得到y(t)=C(sint-tcost)，其中C為任意常數。
f(t)=0.5, -1 < t < 1；=0, 其他。可以驗證F{f(t)}= ∫[-1,1]0.5e^{-iwt)dt=sinw/w。
先考慮I(a)=∫(-∞，∞)e^{iax}/(x^2+4x+5)，被積函數有奇點-1,-4，留數分別為e^{-ia}/3和-e^{-4ia}/3，且奇點恰在積分路線上，由推廣的留數定理積分值為πi(e^{-ia}/3-e^{-4ia}/3)。由於(cos(3x))^2=(cos6x+1)/2，故題中積分可表示為(Re(I(6))+I(0))/2，代入可得結果。
㈣ 誰有歷年《復變函數與積分變換》的期末考試題樣
一、填空題(本大題共8小題，每小題2分，共16分)
請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。
1.復數z=(1+i)3的主幅角argz=________（-π<argz≤π）.
2.不等式Rez>0表示z平面上的區域是________.
3.|e3i|=________.
4.函數w=ez將z平面上的帶形區域0<Imz< 變換為w平面上的區域________.
5.積分 =________.
6.若函數f(z)為整函數，且在點z=0取得最大模，則f(z)為________.
7.點z=a是解析函數f(z)的極點的充分必要條件是________.
8.方程z8+3z3-1=0在單位圓|z|<1內有________個根.
二、判斷題（本大題共7小題，每小題2分，共14分）
判斷下列各題，正確的在題後括弧內打「√」，錯的打「×」。
1．互為共軛的兩個復數的模相等.（ ）
2．函數sin z在區域|z|<1內為有界函數.（ ）
3．解析函數的零點必是孤立的.（ ）
4．若函數f(z)在點a解析,且f′(a)=0,f〃(a)≠0，則a是f(z)的二階零點.（ ）
5．若z=a分別是f(z)和g(z)的三階極點，則z=a也是f(z)+g(z)的三階極點.（ ）
6．如果z=1是函數f(z)的可去奇點，則 f(z)=0.（ ）
7．分式線性變換必將圓周變換成圓周或直線.（ ）
三、完成下列各題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
1.求復數z= 的模|z|.
2.計算積分 ，其中C是圓周|z|=1的正向.
3.將函數f(z)= 在|z|<1內展開為冪級數.
4.是否存在點z=0處的解析函數f(z)，在點zn= (n=1,2,…)處取下列的函數值：
， ， ， ， ，….並說明理由.
5.討論函數f(z)= 的奇點（包括無窮遠點）及其類型.
6.已知分式線性變換w=L(z)將|z-1|<1變換為|w+1|<2，並且L(1+ i)=-1+i，利用分式線性變換的性質計算L（1+2i）.
四、(本大題10分)
已知函數f(z)和 均在區域D內解析，試證f(z)在區域D內為常數.
五、(本大題10分)
計算積分 ，其中曲線C為
（1）連接0到1+i的直線段；
（2）從z=0經過z=1再到z=1+i的折線.
六、(本大題10分)
用留數計算積分： .
七、(本大題10分)
求一個共形映射，將沿實軸上線段0≤x≤1割開的單位圓映射成整個單位圓