概率論與數理統計復旦大學課後答案

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第一題：

(1)概率論與數理統計復旦大學課後答案擴展閱讀

這部分內容主要考察的是數理統計的知識點：

數理統計以概率論為基礎，研究大量隨機現漏運象的統計規律性。描述統計的任務是搜集資料，進行整理、分組，編制次數分配表，繪制次數分配曲線，計算各種特徵指標，以描述資料分布的集中趨胡喊勢、離中趨勢和次數分布的偏斜度等。推斷統計是在描述統計的基礎上，根據樣本資料歸納出的規律性，對總體進行推斷和預測。

它以隨機現象的觀察試驗取得資料作為出發點，以概率論為理論基礎來研究隨機現象，褲搜野根據資料為隨機現象選擇數學模型，且利用數學資料來驗證數學模型是否合適，在合適的基礎上再研究它的特點，性質和規律性。

例如燈泡廠生產燈泡，將某天的產品中抽出幾個進行試驗，試驗前不知道該天燈泡的壽命有多長，概率和其分布情況。試驗後得到這幾個燈泡的壽命作為資料，從中推測整批生產燈泡的使用壽命、合格率等。為了研究它的分布，利用概率論提供的數學模型進行指數分布，求出值，再利用幾天的抽樣試驗來確定指數分布的合適性。

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第一章 事件與概率

1.1 寫出下列隨機試驗的樣本空間及表示下列事件的樣本點集合。
(1)10件產品中有1件是不合格品，從中任取2件得1件不合格品。
(2)一個口袋中有2個白球、3個黑球、4個紅球，從中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得紅球。
解 (1)記9個合格品分別為 ，記不合格為次，則

(2)記2個白球分別為 ， ，3個黑球分別為 ， ， ，4個紅球分別為 ， ， ， 。則 { ， ， ， ， ， ， ， ， }
(ⅰ) { ， } (ⅱ) { ， ， ， }
1.2 在數學系的學生中任選一名學生，令事件A表示被選學生是男生，事件B表示被選學生是三年級學生，事件C表示該生是運動員。
(1) 敘述 的意義。
(2)在什麼條件下 成立？
(3)什麼時候關系式 是正確的？
(4) 什麼時候 成立？
解 (1)事件 表示該是三年級男生，但不是運動員。
(2) 等價於 ，表示全系運動員都有是三年級的男生。
(3)當全系運動員都是三年級學生時。
(4)當全系女生都在三年級並且三年級學生都是女生時`。
1.3 一個工人生產了 個零件，以事件 表示他生產的第 個零件是合格品（ ）。用 表示下列事件：
(1)沒有一個零件是不合格品；
(2)至少有一個零件是不合格品；
(3)僅僅只有一個零件是不合格品；
(4)至少有兩個零件是不合格品。
解 (1) ; (2) ; (3) ;
(4)原事件即「至少有兩個零件是合格品」，可表示為 ；
1.4 證明下列各式：
(1) ;
(2)
(3) ;
(4)
(5)
(6)
證明 （1）—（4）顯然，（5）和（6）的證法分別類似於課文第10—12頁（1.5）式和(1.6)式的證法。
1.5 在分別寫有2、4、6、7、8、11、12、13的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個數字組成一個分數，求所得分數為既約分數的概率。
解 樣本點總數為 。所得分數為既約分數必須分子分母或為7、11、13中的兩個，或為2、4、6、8、12中的一個和7、11、13中的一個組合，所以事件 「所得分數為既約分數」包含 個樣本點。於是
。
1.6 有五條線段，長度分別為1、3、5、7、9。從這五條線段中任取三條，求所取三條線段能構成一個三角形的概率。
解 樣本點總數為 。所取三條線段能構成一個三角形，這三條線段必須是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件 「所取三條線段能構成一個三角形」包含3個樣本點，於是 。
1.7 一個小孩用13個字母 作組字游戲。如果字母的各種排列是隨機的（等可能的），問「恰好組成「MATHEMATICIAN」一詞的概率為多大？
解 顯然樣本點總數為 ，事件 「恰好組成「MATHEMATICIAN」包含 個樣本點。所以
1.8 在中國象棋的棋盤上任意地放上一隻紅「車」及一隻黑「車」，求它們正好可以相互吃掉的概率。
解 任意固定紅「車」的位置，黑「車」可處於 個不同位置，當它處於和紅「車」同行或同列的 個位置之一時正好相互「吃掉」。故所求概率為

1.9 一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率。
解 每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現有7位乘客，所以樣本點總數為 。事件 「沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開」相當於「從9層中任取7層，各有一位乘客離開電梯」。所以包含 個樣本點，於是 。
1.10 某城市共有10000輛自行車，其牌照編號從00001到10000。問事件「偶然遇到一輛自行車，其牌照號碼中有數字8」的概率為多大？
解 用 表示「牌照號碼中有數字8」，顯然 ，所以
-
1.11 任取一個正數，求下列事件的概率：
(1)該數的平方的末位數字是1；
(2)該數的四次方的末位數字是1；
(3)該數的立方的最後兩位數字都是1；
解 (1) 答案為 。
(2)當該數的末位數是1、3、7、9之一時，其四次方的末位數是1，所以答案為
(3)一個正整數的立方的最後兩位數字決定於該數的最後兩位數字，所以樣本空間包含 個樣本點。用事件 表示「該數的立方的最後兩位數字都是1」，則該數的最後一位數字必須是1，設最後第二位數字為 ，則該數的立方的最後兩位數字為1和3 的個位數，要使3 的個位數是1，必須 ，因此 所包含的樣本點只有71這一點，於是
。
1.12 一個人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。然後請另一個人把6個頭兩兩相接，6個尾也兩兩相接。求放開手以後6根草恰好連成一個環的概率。並把上述結果推廣到 根草的情形。
解 (1)6根草的情形。取定一個頭，它可以與其它的5個頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個之一相接，最後將剩下的兩個頭相接，故對頭而言有 種接法，同樣對尾也有 種接法，所以樣本點總數為 。用 表示「6根草恰好連成一個環」，這種連接，對頭而言仍有 種連接法，而對尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最後再將其餘的尾連接成環，故尾的連接法為 。所以 包含的樣本點數為 ，於是
(2) 根草的情形和(1)類似得
1.13 把 個完全相同的球隨機地放入 個盒子中（即球放入盒子後，只能區別盒子中球的個數，不能區別是哪個球進入某個盒子，這時也稱球是不可辨的）。如果每一種放法都是等可能的，證明(1)某一個指定的盒子中恰好有 個球的概率為 ，
(2)恰好有 個盒的概率為 ，
(3)指定的 個盒中正好有 個球的概率為 ，
解 略。
1.14 某公共汽車站每隔5分鍾有一輛汽車到達，乘客到達汽車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過3分鍾的概率。
解 所求概率為
1.15 在 中任取一點 ，證明 的面積之比大於 的概率為 。
解 截取 ，當且僅當點 落入 之內時 的面積之比大於 ，因此所求概率為 。
1.16 兩艘輪船都要停靠同一個泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達。設兩船停靠泊位的時間分別為1小時與兩小時，求有一艘船停靠泊位時必須等待一段時間的概率。
解 分別用 表示第一、二艘船到達泊位的時間。一艘船到達泊位時必須等待當且僅當 。因此所求概率為
1.17 在線段 上任取三點 ，求：
(1) 位於 之間的概率。
(2) 能構成一個三角形的概率。
解 (1) (2)
1.18 在平面上畫有間隔為 的等距平行線，向平面任意地投擲一個三角形，該三角形的邊長為 （均小於 ），求三角形與平行線相交的概率。
解 分別用 表示三角形的一個頂點與平行線相合，一條邊與平行線相合，兩條邊與平行線相交，顯然 所求概率為 。分別用 表示邊 ，二邊 與平行線相交，則 顯然 ， ， 。所以
[ ]
（用例1.12的結果）
1.19 己知不可能事件的概率為零，現在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說明之。
解 概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長度為1的線段內隨機投點。則事件 「該點命中 的中點」的概率等於零，但 不是不可能事件。
1.20 甲、乙兩人從裝有 個白球與 個黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，乙後取，每次取後都有不放回，直到兩人中有一人取到白球時停止。試描述這一隨機現象的概率空間，並求甲或乙先取到白球的概率。
解 表示白， 表示黑白， 表示黑黑白，… ，
則樣本空間 { ， ，…， }，並且 ，
， ，…，

甲取勝的概率為 + + +…
乙取勝的概率為 + + +…
1.21 設事件 及 的概率分別為 、 及 ，求 ， ， ，
解 由 得

，

1.22 設 、 為兩個隨機事件，證明：
(1) ;
(2) .
證明 (1) =
(2) 由(1)和 得第一個不等式，由概率的單調性和半可加性分別得第二、三個不等式。
1.23 對於任意的隨機事件 、 、 ，證明：
證明

1.24 在某城市中共發行三種報紙：甲、乙、丙。在這個城市的居民中，訂甲報的有45%，訂乙報的有35%，訂丙報的有30%，同時訂甲、乙兩報的有10%，同時訂甲、丙兩報的有8%，同時訂乙、丙兩報的有5%，同時訂三種報紙的有3%，求下述百分比：
(1)只訂甲報的；
(2)只訂甲、乙兩報的；
(3)只訂一種報紙的；
(4)正好訂兩種報紙的；
(5)至少訂一種報紙的；
(6)不訂任何報紙的。
解 事件 表示訂甲報，事件 表示訂乙報，事件 表示訂丙報。
(1) = =30%
(2)
(3)

+ + = + + =73%
(4)
(5)
(6)
1.26 某班有 個學生參加口試，考簽共N張，每人抽到的考簽用後即放回，在考試結束後，問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少？
解 用 表示「第 張考簽沒有被抽到」， 。要求 。
， ，……，

，……
所以
1.27 從 階行列式的一般展開式中任取一項，問這項包含主對角線元素的概率是多少？
解 階行列式的展開式中，任一項略去符號不計都可表示為 ，當且僅當 的排列 中存在 使 時這一項包含主對角線元素。用 表示事件「排列中 」即第 個主對角線元素出現於展開式的某項中。則
，……
所以
1.29 已知一個家庭中有三個小孩，且其中一個是女孩，求至少有一個男孩的概率（假設一個小孩是男孩或是女孩是等可能的）。
解 用 分別表示男孩和女孩。則樣本空間為：

其中樣本點依年齡大小的性別排列。 表示「有女孩」， 表示「有男孩」，則

1.30 設 件產品中有 件是不合格品，從中任取兩件，
(1)在所取產品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。
(2) 在所取產品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。
解（1）設 表示「所取產品中至少有一件是不合格品」， 表示「所取產品都是不合格品」，則

(2)設 表示「所取產品中至少有一件合格品」， 表示「所取產品中有一件合格品，一件不合格品」。則

1.31 個人用摸彩的方式決定誰得一張電影票，他們依次摸彩，求：
(1)已知前 個人都沒摸到，求第 個人摸到的概率；
(2)第 個人摸到的概率。
解 設 表示「第 個人摸到」， 。
(1)
(2)
1.32 已知一個母雞生 個蛋的概率為 ，而每一個蛋能孵化成小雞的概率為 ，證明：一個母雞恰有 個下一代（即小雞）的概率為 。
解 用 表示「母雞生 個蛋」， 表示「母雞恰有 個下一代」，則

1.33 某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手一人，一、二、三、四級射手能通過選拔進入決賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一組內任選一名射手，該射手能通過選拔進入決賽的概率。
解 用 表示「任選一名射手為 級」， ， 表示「任選一名射手能進入決賽」，則
1.34 在某工廠里有甲、乙、丙三台機器生產螺絲釘，它們的產量各佔25%，35%，40%，並在各自的產品里，不合格品各佔有5%，4%，2%。現在從產品中任取一隻恰是不合格品，問此不合格品是機器甲、乙、丙生產的概率分別等於多少？
解 用 表示「任取一隻產品是甲台機器生產」
表示「任取一隻產品是乙台機器生產」
表示「任取一隻產品是丙台機器生產」
表示「任取一隻產品恰是不合格品」。
則由貝葉斯公式：

1.35 某工廠的車床、鑽床、磨床、刨床的台數之比為9:3:2:1，它們在一定時間內需要修理的概率之比為1:2:3:1。當有一台機床需要修理時，問這台機床是車床的概率是多少？
解 則 ， ， ，
， ， ，
由貝時葉斯公式得
1.36 有朋友自遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是 、 、 ，而乘飛機不會遲到。結果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？
解 用 表示「朋友乘火車來」， 表示「朋友乘輪船來」， 表示「朋友乘汽車來」， 表示「朋友乘飛機來」， 表示「朋友遲到了」。
則
1.37 證明：若三個事件 、 、 獨立，則 、 及 都與 獨立。
證明 （1）
=
（2）
（3） =
1.38 試舉例說明由 不能推出 一定成立。
解 設 ， ， ，
， ， ， 則 ，

但是
1.39 設 為 個相互獨立的事件，且 ，求下列事件的概率：
(1) 個事件全不發生；
(2) 個事件中至少發生一件；
(3) 個事件中恰好發生一件。
解 (1)
(2)
(3) .
1.40 已知事件 相互獨立且互不相容，求 （註： 表示 中小的一個數）。
解 一方面 ，另一方面 ，即 中至少有一個等於0，所以
1.41 一個人的血型為 型的概率分別為0.46、0.40、0.11、0.03，現在任意挑選五個人，求下列事件的概率
(1)兩個人為 型，其它三個人分別為其它三種血型；
(2)三個人為 型，兩個人為 型；
(3)沒有一人為 。
解 (1)從5個人任選2人為 型，共有 種可能，在其餘3人中任選一人為 型，共有三種可能，在餘下的2人中任選一人為 型，共有2種可能，另一人為 型，順此所求概率為：
(2)
(3)
1.42 設有兩門高射炮，每一門擊中目標的概率都是0.6，求同時發射一發炮彈而擊中飛機的概率是多少？又若有一架敵機入侵領空，欲以99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮。
解 用 表示「第 門高射炮發射一發炮彈而擊中飛機」， ， 表示「擊中飛機」。則 ， 。
(1)
(2) ,
取 。至少需要6門高射炮，同時發射一發炮彈，可保證99%的概率擊中飛機。
1.43 做一系列獨立的試驗，每次試驗中成功的概率為 ，求在成功 次之前已失敗了 次的概率。
解 用 表示「在成功 次之前已失敗了 次」， 表示「在前 次試驗中失敗了 次」， 表示「第 次試驗成功」
則

1.45 某數學家有兩盒火柴，每盒都有 根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒並從中抽出一根。求他用完一盒時另一盒中還有 根火柴（ ）的概率。
解 用 表示「甲盒中尚余 根火柴」， 用 表示「乙盒中尚余 根火柴」， 分別表示「第 次在甲盒取」，「第 次在乙盒取」， 表示取了 次火柴，且第 次是從甲盒中取的，即在前 在甲盒中取了 ，其餘在乙盒中取。所以
由對稱性知 ，所求概率為：

❸ 概率論與數理統計（第二版）答案

本書作為「面向21世紀課程教材」——本書的配套輔導書，由主教材作者編寫。各章對教材相應章節的基本概念、結論和公式進行了歸納總結，結合教材內容以及碩士研究生入學考試要求，有針對性地精選大量的例題和習題，並根據知識點和解題方法進行分類講解，從而幫助讀者系統地掌握基本概念、方法和思路，並提高綜合分析和解決問題的能力。此外，書中選編了一些涉及經濟、金融中的應用方面的例題和習題，也有一些例題和習題是對教材內容的適當延伸。

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