西南大學初等數論試卷答案

『壹』 跪求初等數論第三版(潘承洞,潘承彪)課後習題答案

第一題：

(1)西南大學初等數論試卷答案擴展閱讀

這部分內容主要考察的是初等數論的知識點：

研究數的規律，特別是整數性質的數學分支。它是數論的一個最古老的分支。它以算術方法為主要研究方法，主要內容有整數的整除理論、同餘理論、連分數理論和某些特殊不定方程。 換言之，初等數論就是用初等、樸素的方法去研究數論。另外還有解析數論（用解析的方法研究數論）、代數數論（用代數結構的方法研究數論）。

用程序方法求素數。「若一個自然數n，判斷n/k是否整除，先判斷其能否整除2，若不能再判斷其能否整除3，依次向下判斷，當k>(n/k)時，判斷結束。」如果所有判斷都不能整除，則自然數N為素數。

例如：k=1時，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，32）區間的全部素數。

k=2時，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。如此，求得了（5，52）區間的全部素數。

『貳』 初等數論答案 證明641|(2³²+1）不是質數

因為2^32+1太大，難以算出，所以選擇代數方法。
法一、2^4=16, 2^8=16^2=256, 2^16=256^2=65536,
記x=641, 65536÷641=102……154，∴65536=102x+154,
∴2^32+1=(102x+154)^2+1=23717 + 31416 x + 10404 x^2=37x+31416 x + 10404 x^2
∴x=641整除2^32+1。

法二，記x=5*2^8, 則641=2^6*10+1=(5*2^8+2)/2=(x+2)/2
2^32+1=(2^8)^4+1=[ 5^4*(2^8)^4+5^4 ]/5^4=(x^4+625)/5^4=(x^4-2^4+641)/5^4
∴6^5*(2^32+1)=x^4-2^4+641=(x+2)(x-2)(x^2+4)+641是641的倍數，而641與5^4互質，
∴641整除2^32+1。

『叄』 求初等數論的答案

一：1）21
2）40
3）8
4）28
5）2^32*3^15*5^8*7^5*11^3*13^2*17^2*19*23*29*31
二：先證2|n(n+1)
若n=2k，則2|n，必有2|n(n+1)；
若n=2k+1，則n+1＝2k+2，此時有2|(n+1)，故有2|n(n+1)。
故欲證6|n(n+1)(2n+1)，只需證3|n(n+1)(2n+1)。
若n=3k，則3|n，有3|n(n+1)(2n+1)；
若n=3k+1，則2n+1=6k+3，有3|2n+1，即有3|n(n+1)(2n+1)；
若n=3k+2，則n+1=3k+3，有3|n+1，即有3|n(n+1)(2n+1)。
(k為0、1、2、3、4……)
綜上，得證！
三：運用輾轉相除法理論(a-b,a+b)等價於(2a,a+b)
若a+b為奇數，則(2a,a+b)等價於(a,a+b)等價於(a,b)=1；
若a+b為偶數，此時a和b必同為奇數，若同為偶數，則(a,b)<>1，矛盾！
故a,b同為奇數，此時令a=2p+1，b=2q+1，則(2a,a+b)等價於2*(2p+1,p+q+1)等價於2*(p-q.p+q+1)等價於2*(p-q,2q+1)，
故欲證(a-b,a+b)=2，只需證2*(p-q,2q+1)，
因(a,b)=1，故(a-b,b)=1，即(2p-2q,2q+1)=1，有(p-q,2q+1)=1，
綜上，得證！
第四題不完整～～～