線性代數東北大學出版社答案

『壹』 求線性代數課後題答案

線性代數課後題答案
1. 按行列式定義,計算下列行列式(要求寫出過程):
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) .
分析 計算2階行列式和3階行列式可用對角線法則.
解 (1) =;
(2) =;
(3) =;
(4) =;
(5) =
;
(6) =.
2. 在6階行列式中, 下列項應該取什麼符號? 為什麼?
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解 (1) 因, 所以取正號;
另一種方法是: =, 因, 所以取正號. (2), (3), (4) 也可這樣做, 不再列出.
(2) 因, 所以取負號;
(3) 因, 所以取負號;
(4) 因, 所以取正號.
3. 當___, =___時成為5階行列式中一個取負號的項,為什麼?
解 和只能取1,4或者4,1.不妨先假設, 則=, 這個項的符號就是, 不符合要求. 那麼當時=, 它和相比就是交換了列指標1和4的位置, 因與相比改變了奇偶性, 所以的符號為負. 故應填.
4. 若是5階行列式中的一項, 則當___, =___時該項的符號為正, 當___, =___時該項的符號為負, 為什麼?
解 此問和問題3類似, 和只能取2,3或者3,2.不妨先假設, 則符號為=, 所以取的是負號. 那麼由問題3的分析可知當時符號取正. 所以當時該項的符號為正, 當時該項的符號為負.
5. 寫出4階行列式中包含因子的項, 並指出正負號.
解 參照習題1.1的第6題知, 4階行列式中包含因子的項有和. 由於，故取正號; ，故取負號.
6. 寫出4階行列式中所有取負號且包含因子的項.
解 類似於第5題可推知, 4階行列式中包含的項為
取負號;
取正號; (也可由(1)取負號推知(2)取正號)
取負號;
取正號; (也可由(3)取負號推知(4)取正號)
取負號;
取正號. (也可由(5)取負號推知(6)取正號)
所以所求的項為, , .
7. 按行列式定義, 計算下列行列式((4)中, 並均要求寫出計算過程):
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解 (1)由對角線法則, =
;
(2) 根據定義=.
在行列式的通項中, 只有這一項的因子中不含零, 所以
原式===.
(3) 根據定義=.
在行列式的通項中每一個項中最後三個因子分別取值於行列式最後三行的不同列的三個數, 而行列式最後三行中均只有二個數不為零, 所以這三個因子中至少一個取零.這樣行列式的每一項中都含有因子零, 所以每項都為零, 從而行列式為零.
(4) 根據定義=, 該展開式通項中取自的第行, 現在第行中除了外其餘元素都為零. 故若, 則對應的行列式展開式中的那一項一定為零, 求和時可不考慮. 因此只要考慮的項. 同樣對於行列式的第行中除了和外其餘元素都為零, 且因, 從而只能取了. 依次類推, 行列式展開式的所有項中除去列指標對應的項外都為零. 又因為, 所以原式=.
8. 問 =
為什麼錯? 正確答案是什麼?
解 錯, 原因在於沒有搞清楚4階行列式定義而把2,3階行列式的對角線法則誤認為對4階行列式也成立. 4階和4階以上的行列式沒有對角線法則. 正確答案為:
.
具體解法可參考習題1.4第5題之(3).
9. 若階行列式中元素均為整數, 則必為整數, 這結論對不對? 為什麼?
解 對. 行列式的值是行列式中取自所有不同行不同列的元素乘積的代數和, 而整數經加,減,乘之後仍然為整數.

10. 計算階行列式.
解 方法一 該行列式的展開式只有一項不為零, 即, 而該項帶有的符號為, 所以原式=.
方法二 直接利用第7題第(4)小題的結論得: 原式=.

『貳』 求線性代數課後習題答案；

|答案是來B
【解析】
題中三個行列源式等於零，
根據特徵值的概念，
A的三個特徵值分別為
-3/2，-4/3，-5/4
∴|A|=(-3/2)×(-4/3)×(-5/4)
=-5/2

【附註】
(1)|A-λE|=0
則λ是A的特徵值
(2)n階矩陣A的n個特徵值依次是λ1，λ2，……，λn
則|A|=λ1×λ2×……×λn

『叄』 線性代數的課後答案

1. 用定義
由行列式的定義, 只有一項不為零: a12a23...a(n-1)n an1 = n!
列標排列的逆序數 = t(2 3 ... n 1) = n-1
所以專 行列式 = (-1)^(n-1) n!.

2. 用性質:
最後一行依次與上一行交換屬, 一直交換到第1行, 共交換 n-1 次
所以 D = (-1)^(n-1) *
n 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 2 . . . 0
......................
0 0 0 . . .n-1
這是上三角行列式, 所以
D = (-1)^(n-1) n!.