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「等」對「不等」的啟示
對於解集非空的一元二次不等式的求解，我們常用「兩根之間」、「兩根之外」這類簡縮語來說明其結果，同時也表明了它的解法．這是用「等」來解決「不等」的一個典型例子．從表面上看，「等」和「不等」是對立的，但如果著眼於「等」和「不等」的關系，會發現它們之間相互聯系的另一面．設M、N是代數式，我們把等式M＝N叫做不等式M＜N，M≤N，M＞N、M≥N相應的等式．我們把一個不等式與其相應的等式對比進行研究，發現「等」是「不等」的「界點」、是不等的特例，稍微深入一步，可以從「等」的解決來發現「不等」的解決思路、方法與技巧．本文通過幾個常見的典型例題揭示「等」對於「不等」在問題解決上的啟示．
� 1．否定特例，排除錯解
�解不等式的實踐告訴我們，不等式的解區間的端點是它的相應等式（方程）的解或者是它的定義區間的端點（這里我們把＋∞、－∞也看作端點）．因此我們可以通過端點的驗證，否定特例，排除錯解，獲得解決問題的啟示．
�例1 滿足sin（x－π／4）≥1／2的x的集合是（）．
��A．｛x｜2kπ＋5π／12≤x≤2kπ＋13π／12，k∈Z｝
��B．｛x｜2kπ－π／12≤x≤2kπ＋7π／12，k∈Z｝
��C．｛x｜2kπ＋π／6≤x≤2kπ＋5π／6，k∈Z｝
��D．｛x｜2kπ≤x≤2kπ＋π／6，k∈Z｝∪｛2kπ＋5π／6≤（2k＋1）π，k∈Z｝（1991年三南試題）
�分析：當x＝－π／12、x＝π／6、x＝0時，sin（x－π／4）＜0，因此排除B、C、D，故選A．
�例2 不等式 ＋｜x｜／x≥0的解集是（）．
��A．｛x｜－2≤x≤2｝
��B．｛x｜－ ≤x＜0或0＜x≤2｝
��C．｛x｜－2≤x＜0或0＜x≤2｝
��D．｛x｜－ ≤x＜0或0＜x≤ ｝
� 分析：由x＝－2不是原不等式的解排除A、C，由x＝2是原不等式的一個解排除D，故選B．
�這兩道題若按部就班地解來，例1是易錯題，例2有一定的運算量．上面的解法省時省力，但似有「投機取巧」之嫌．選擇題給出了三誤一正的答案，這是問題情景的一部分．而且是重要的一部分．我們利用「等」與「不等」之間的內在聯系，把目光投向解區間的端點，化繁為簡，體現了具體問題具體解決的樸素思想，這種「投機取巧」正是抓住了問題的特徵，體現了數學思維的敏捷性和數學地解決問題的機智．在解不等式的解答題中，我們可以用這種方法來探索結果、驗證結果或縮小探索的范圍．
�例3 解不等式loga（1－1／x）＞1．（1996年全國高考試題）
�分析：原不等式相應的等式--方程loga（1－1／x）＝1的解為x＝1／（1－a）（a≠1是隱含條件）．原不等式的定義域為（1，＋∞）∪（－∞，0）．當x→＋∞或x→－∞時，loga（1－1／x）→0，故解區間的端點只可能是0、1或1／（1－a）．當0＜a＜1時，1／（1－a）＞1，可猜測解區間是（1，1／（1－a））；當a＞1時，1／（1－a）＜0，可猜測解區間是（1／（1－a），0）．當然，猜測的時候要結合定義域考慮．
�上面的分析，可以作為解題的探索，也可以作為解題後的回顧與檢驗．如果把原題重做一遍視為檢驗，那麼一則費時，對考試來說無實用價值，對解題實踐來說也失去檢驗所特有的意義；二則重做一遍往往可能重蹈錯誤思路、錯誤運算程序的復轍，費時而於事無補．因此，抓住端點探索或檢驗不等式的解，是一條實用、有效的解決問題的思路．
�2．誘導猜想，發現思路
�當我們證明不等式M≥N（或M＞N、M≤N、M＜N）時，可以先考察M＝N的條件，基本不等式都有等號成立的充要條件，而且這些充要條件都是若干個正變數相等，這就使我們的思考有了明確的目標，誘導猜想，從而發現證題思路．這種思想方法對於一些較難的不等式證明更能顯示它的作用．
�例4 設a、b、c為正數且滿足abc＝1，試證：1／a3（b＋c）＋1／b3（c＋a）＋1／c3（a＋b）≥3／2．（第36屆IMO第二題）
�分析：容易猜想到a＝b＝c＝1時，原不等式的等號成立，這時1／a3（b＋c）＝1／b3（c＋a）＝1／c3（a＋b）＝1／2．考慮到「≥」在基本不等式中表現為「和」向「積」的不等式變換，故想到給原不等式左邊的每一項配上一個因式，這個因式的值當a＝b＝c＝1時等於1／2，且能通過不等式變換的運算使原不等式的表達式得到簡化．
�1／a3（b＋c）＋（b＋c）／4bc≥ ＝1／a，
�1／b3（a＋c）＋（a＋c）／4ca≥1／b，
�等號不一定成立而啟迪我們對問題進一步探索的典型例子是1997年全國高考（理科）第22題：
�例8 甲、乙兩地相距S千米（km），汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／小時（km／h）．已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米／小時）的平方成正比，比例系數為b，固定部分為a元．
�Ⅰ．把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米／小時）的函數，並指出這個函數的定義域；
�Ⅱ．為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大的速度行駛?
�分析：y＝aSv＋bSv，v∈（0，c〕，由y≥2S 當且僅當aS／v＝bSv，即當v＝ 時等號成立得，當v＝ 時y有最小值．這是本題的正確答案嗎?那就得考慮v＝ 是否一定成立．當 ≤c時可以，但 是有可能大於c的．這就引發了我們進行分類討論的動機，同時也獲得分類的標准．
�綜上所述，「等」是不等式問題中一道特殊的風景，從「等」中尋找問題解決的思路，本質上是特殊化思想在解題中的應用．從教學上看，引導學生注視不等式問題中的「等」，是教會學生發現問題、提出問題，從而分析問題、解決問題的契機．
�1／c3（a＋b）＋（a＋b）／4ab≥1／c，
�將這三個等式相加可得
�1／a3（b＋c）＋1／b3（c＋a）＋1／c3（a＋b）≥1／a＋1／b＋1／c－（1／4）〔（b＋c）／bc＋（c＋a）／ca＋（a＋b）／ab〕＝（1／2）（1／a＋1／b＋1／c）≥（3／2） ＝3／2，從而原不等式獲證．
�這道題看似不難，當年卻使參賽的412名選手中有300人得0分．上述湊等因子的思路源於由等號的成立條件而產生的猜想，使思路變得較為自然，所用的知識是一般高中生所熟知的．再舉二例以說明這種方法有較大的適用范圍．
�例5 設a，b，c，d是滿足ab＋bc＋cd＋da＝1的正實數，求證：a3／（b＋c＋d）＋b3／（a＋c＋d）＋c3／（a＋b＋d）＋d3／（a＋b＋c）≥1／3．（第31屆IMO備選題）
�證明：a3／（b＋c＋d）＋a（b＋c＋d）／9≥（2／3）a2，
�b3／（a＋c＋d）＋b（a＋c＋d）／9≥（2／3）b2，
�c3／（a＋b＋d）＋c（a＋b＋d）／9≥（2／3）c2，
�d3／（a＋b＋c）＋d（a＋b＋c）／9≥（2／3）d2．
�∴ a3／（b＋c＋d）＋b3／（a＋c＋d）＋c3／（a＋b＋d）＋d3／（a＋b＋c）≥（2／3）（a2＋b2＋c2＋d2）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da＋ac＋bd）
�＝（5／9）（a2＋b2＋c2＋d2）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da）＋（1／9）（a2＋c2－2ac＋b2＋d2－2bd）
�≥（5／9）（a2＋b2＋c2＋d2）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da）≥（5／9）（ab＋bc＋cd＋da）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da）＝（1／3）（ab＋bc＋cd＋da）＝1／3．
�當a＝b＝c＝d＝1／2時，原不等式左邊的四個項都等於1／12，由此出發湊「等因子」．對於某些中學數學中的常見問題也可用這種方法解決，降低問題解決對知識的要求．
�例6 設a，b，c，d∈R＋，a＋b＋c＋d＝8，求M＝ ＋ ＋ ＋ 的最大值．
�分析：猜想當a＝b＝c＝d＝2時M取得最大值，這時M中的4個項都等於3．要求M的最大值，需將M向「≤」的方向進行不等變換，由此可得3 ≤（3＋4a＋1）／2＝2a＋2，3 ≤2b＋2，3 ≤2c＋2，3 ≤2d＋2．於是3M≤2（a＋b＋c＋d）＋8＝24，∴M≤8．當且僅當a＝b＝c＝d時等號成立，所以M的最大值為8．
�當然，例6利用平方平均數不小於算術平均數是易於求解的，但需要高中數學教材外的知識．利用較少的知識解決較多的問題，是數學自身的追求，而且從教學上考慮，可以更好地培養學生的數學能力．先有猜想，後有設計，再有證法，也是數學地思考問題的基本特徵．
�3．引發矛盾，啟迪探索
�在利用基本不等式求最大值或最小值時，都必須考慮等號能否取得，這不僅是解題的規范要求，而且往往對問題的解決提供有益的啟示．特別當解題的過程似乎順理成章，但等號成立的條件卻發生矛盾或並不一定成立．這一新的問題情景將啟迪我們對問題的進一步探索．
�例7 設a，b∈R＋，2a＋b＝1，則2 －4a2－b2有（）．
��A．最大值1／4� B．最小值1／4
��C．最大值（ －1）／2� D．最小值（ －1）／2
� 分析：由4a2＋b2≥4ab，得原式≤2 －4ab＝－4（ ）2＋2 ＝－4（ －1／4）2＋1／4≤1／4．若不對不等變換中等號成立的條件進行研究，似已完成解題任務，而且覺得解題過程頗為自然，但若研究一下等號成立的條件，則出現了矛盾：要使4a2＋b2≥4ab中的等號成立，則應有2a＝b＝1／2，這時 ＝ ／4≠1／4，第二個「≤」中的等號不能成立．這一矛盾使我們感覺到解題過程的錯誤，促使我們另闢解題途徑．事實上，原式＝2 －（2a＋b）2＋4ab＝4ab＋2 －1，而由1＝2a＋b≥2 得0＜ ≤ ／4，ab≤1／8，∴原式≤ ／2＋1／2－1＝（ －1）／2，故選�C．

本文來自論文大學網www.wuwn.com

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