天津大学刘洪老师

❶ 河北省画家刘洪老师的介绍

  刘建新、中国当代画家；中国美协会员；国家一级美术师；河北省美协理事；石家庄市美协会员；中国石家庄祥云馆美术部主任。汉族人。1986年毕业于河北美术学院，1990年毕业于中国中央美术学院研修班。殷新建擅长写意山水画，以山水韵味取胜，大山大水，境界开阔，崇尚大山精神。

❷ 估算是谁发明的

你说的估算应该是珠算吧。
徐岳早在(15 )世纪,(徐岳)就发明了算盘。

算盘是我国人民日常生活中常用的计算工具。在加减乘除的运算里，熟练掌握算盘的人比起现代化的电子计算器速度差不多，加减的运算使用算盘还比电子计算器快。 关于算盘的发明，清代著名数学家梅文鼎在《古算衍略》中说珠盘之法，始于明初郭伯玉。钱大昕《十驾斋养新录》卷十七《算盘》条，据陶南村《辍耕录》有走盘珠、算盘珠之喻，证明元代已经有算盘。宋代张择端在《清明上河图》里面一家药店的柜台上放着算盘，可见宋代社会上算盘已经普遍使用。我国珠算的发明很早，东汉数学家徐岳在《数术纪遗》里就说：“珠算控带四时、经纬三才。”北周甄鸾注说：“刻板为三分，位各五珠，上一珠与下四珠色别，其上别色之珠当五，其下四珠各当一。”可见汉代已有算盘，只是制作的形状与今天的算盘有些不同，但中梁以上一珠当五，以下各珠当一，这种结构还是同现在的算盘一样。明朝程大位《算法统宗》是专讲珠算的书，卷末载有《盘珠集》、《走盘集》，说是元丰（1078－1085）、绍兴（1131－1162）、淳熙（1174－1189）以来的刻本，这些都是北宋南宋时的珠算书，可见北宋时珠算已有专书。以上这些说法，是根据清朝凌廷堪《校礼堂文集》卷三十二《书程大位（算法统宗）后》之说。英国李约瑟博士《中国科学技术史》第三卷《数学》关于“珠算盘”一节也采取了凌廷堪的说法。 现在看来，我国珠算的发明很早，也不始于徐岳。据徐岳说他的老师刘洪曾问学于道家的天目先生，天目先生为他讲了十四种古算法，其中一种就是珠算。可见珠算的发明最晚也在东汉时代。我国古代用筹算，在长期的生产、生活实践中发明了比筹算更方便的珠算，这是劳动人民的创造和进步。汉以后，对算盘和计算方法又不断有所改进和发展，现在的算盘和计算方法在宋朝时代已经有了。

❸ 王政的介绍

王政，男，北京人，现任北京歌剧舞剧院国家二级相声演员，主持人。自幼跟随师父：李金斗老师：刘洪沂学艺，6岁开始登台演出，曾获得北京市少儿曲艺大赛一等奖，中国曲艺家协会新苗奖，晋冀鲁豫山河杯曲艺大赛一等奖，第一届全国红旗渠杯快板大赛一等奖，全国京津冀首届相声小品大赛一等奖。与搭档李然吕嘉强在中央电视台，北京电视台，湖南电视台等录制的相声（绕口令）（山东二簧）（说武术）等节目受到广大观众一致好评 。

❹ 算盘是刘洪还是徐岳发明的

所以是刘洪

关于算盘的来历，最早可以追溯到公元前600年，据说我国当时就有了"算板"。古人把10个算珠串成一组，一组组排列好，放入框内，然后迅速拨动算珠进行计算。东汉末年，徐岳在《数术记遗》中记载， 他的老师刘洪 访问隐士天目先生时，天目先生解释了14种计算方法，其中一种就是珠算，采用的计算工具很接近现代的算盘。这种算盘每位有5颗可动的算珠，上面1颗相当于5，下面4颗每颗当作1

所以是刘洪

❺ 刘洪迎画家简介刘洪迎老师的梅兰竹菊四条屏值多少钱

刘洪迎，1998年毕业山东艺术学院国画系，2000年进修于天津美术学院，师承花鸟画大师孙其峰、霍春阳先生，现为山东省美协会员，中国国家画院研究员，中国艺术研究院研究员，山东潍坊郑板桥艺术研究会理事，潍坊市书画研究会副主席，九州中艺特聘花鸟画教授。
其作品（白梅》图长卷680cmx70cm)和（兰香》图500cmX100cm）被山东省博物馆收藏。刘洪迎先生常年坚持不懈写生和临摹，精心研究学习大师们的绘画笔法和妙用，汲古铸今，博采众长，兼取百家之精华，主要创作梅兰竹菊四君子画，其作品被日本、新加坡、台湾、香港等国家和地区的文化团体单位和个人收藏，多家报纸、电视台、杂志、网络等媒体均做过专题和专版报道。

❻ 数系的大数记法

同样的问题也出现在中国古代。汉代以前，数皆10进，以10万位亿。韦昭解《国语·郑语》第十六：“计亿事，材兆物，收经入，行垓极”。注称“计，算也；材，裁也。贾唐说皆以万万为亿，郑后司农云：十万曰亿，十亿曰兆，从古数也。”《数术记遗》中则详细记载了对大数的一整套命名和三种进位方法。《数术记遗》称：
黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载；三等者，谓上、中、下也。其下数者。十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之，若言万万曰亿、万万亿曰兆，万万兆曰京。上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。从亿至载，终于大衍。 《数术记遗》中的“大数之法”的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法，更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程。客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数。起初，对一些较大的数，人们还可以理解它，还能够利用已有的记数单位去表示它。但是，随着人们认识的发展，这些大数也在迅速的扩张，原有的记数单位难以为用。人们不禁要问：
数有穷乎？
这是数系发展中的需要回答的重大命题。《数术记遗》中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话，精彩的阐明了“数穷则变”的深刻道理：
徐岳问曰：数有穷乎？
会稽（刘洪）答曰：吾曾游天目山中，见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生，余亦以此意问之。先生曰：世人言三不能比两，乃云捐闷与四维。数不识三，妄谈知十。不辨积微之为量，讵晓百亿于大千？黄帝为法，数有十等。……从亿至载，终于大衍。
会稽问曰：先生之言，上数者数穷则变，既云终于大衍，大衍有限，此何得无穷？
先生答曰：数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环。循环之理，且有穷乎！
天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”，以有限来认识无限，而指引这一途径的重要思想是“言重则变”。即便是今日，“数穷则变”这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思。

❼ SJ三辑A版 Thanks to 的翻译

这是C版的 http://sj.g.ifensi.com/thread/index/1058288 这是A版的： 3辑内页THANKS翻译！ 转载自: 希·盛世--金希澈的花锦天下 李特： 又翻越了一座山，SJ3辑终于出来了，因为有了很多人的帮助所以才能翻过这座山站在现在的位置上..SMTOWN的每一位都是很珍贵，需要感谢的人..相信我的心意已经直传到每个人了吧..我会更加珍惜和爱护现在所拥有的一切..真心地感谢大家..亲爱的家人 妈妈，姐姐...还有...爸爸.....无论再远也一直在我身边，非常想念的傻瓜★..电视台PD们，工作人员们...演艺界的同僚前辈们..SuperJunior的KTR...还有我青梅竹马的朋友们...我们SuperJunior成员们...SuperJunior 谢谢..！还有以我们国家为首在亚洲，全世界挥舞着宝蓝色的，最可爱的我们E.L.F.！最后要感谢阅读这些文字的您...我爱你们..我会一直做努力、谦虚的利特...朴正洙...不是为了瞬间而是为了永恒...不是END而是AND 希澈： 在天上的我爷爷，外公，外婆...孙子已长这么大了^_^将会长寿的我奶奶。。。在这世上最帅最值得尊敬的我爸爸，妈妈..好像现在才有点当儿子的样...还有常照顾我这冷漠弟弟的我姐姐，离家出走的厚脸皮，跟我盖一条被子的希范，送到邻居家里的香槟☆我帅气的亲戚们！家乡的朋友大玄，民均，英录，庆台，庆民，在荷的爸爸 灿希，正旭，成模，我的心始终是18岁哦。虽然沉默寡言，但像熊一样听我说的坚强的Mithra，我永远的同屋...声音真棒的J，显眼的白痴美，只有眼神是纯净的WAN，希大人，金大人，政模是铁三角！绝对音感 金正模，我们是希小子，允小子，海小子...叭叭叭叭 允小子 郑允浩，总是大哥~亲切地接电话的双哲...1.5真 义哲，综艺MC KOMBI..两人见面的话，周围的人更累的根锡，梦想金希澈JUNIOR的..悲伤的洗脑少年 弘基...眼神忧郁地看着我，笑的高兴的钟勋，不听话，吊儿郎当的希LINE AB型钟铉，也就是年龄是姐姐...行动却像妹妹的漂亮智孝..宋智孝，疯了的AB型兄妹.我是你的姐姐，你是我的小孩.看，呵呵呵呵。只会笑的太阳膜光泽，汤药颜色权侑利，你的撒娇呼唤我的踢腿..可爱的顺奎，拥有正适合弹脑背儿额头的清晨的诅咒..允儿.跟希大人一起的第二世界的出演者们（网游ID省略），不在乎我们成员多，几年来一直坚持着的GAO KONG（SJ形象设计组），（GAO HONG，申某人，全室长，文队长，GARBONARI，珍珠小姐，NE LEE小姐）’BOB=研熙＞我’←这是重点^_^研熙哭的话自己也哭，我哭的话自己就笑的 天才剪刀手 先五.成员们和经纪人大哥们呢，我直接跟他们说谢谢。UNDEAD呢，在CY以及公网里确认我珠玉般的感谢词吧？？还有，可能有我忘记没写的，没列入上面的人给我打电话吧？？ 韩庚： 首先要谢谢我亲爱的父亲母亲 请你们一定要健康 还要谢谢我们公司的所有的人 感谢一直在我身边陪伴我的经纪人哥哥 还有最最要感谢 为了我们13个人 一直等待至今的歌迷们 我爱你们 艺声： 非常感谢等待了一年半的朋友们，即使来生，永远..我存在的理由...我的爸爸妈妈要一直健康..我亲爱的小不点钟振..我的家人~姑父，姑姑们~很感谢把离家的侄子当成自己孩子一样总是照顾的无微不至，^ ^轩雨哥，贤俊，兰儿姐姐，炫基，永镇，荣锡，能拥有相同的血脉而自豪！昌珉啊...我们好好定个时间吧^^；最高的赛车手伊秀哥，愉快的正焕哥，不能常常联系 抱歉抱歉~灿烂微笑 吴明真老师，像朋友的东华哥，容贤哥&灿列哥！！烤肉吃吧~^^成洙呀！一起走到最后，你是我最好的朋友！！卢俊，再次祝贺结婚！在天啊~一定要成为帅气的警察！唯一我的大学朋友 洪波，焕实 愉快的激活们 KK 青梅竹马 慧珍，晨华 想念的朋友们（阳池，朱宪，在元，重宇，振宇，朱焕，城铉，万奎，型澈，江浩）two top艺智，轩美~在远方留学中的jenny，秀珍将诶接，智恩姐姐，恩熙，恩静，南九，智旋姐姐 中秀惠琳，傻里傻气MC雪儿。火花超凡魅力民浩K，出格的Brown 佳人~非常感谢 ^^朴正洙，金希澈，韩庚，金英云，申东熙，李晟敏，李赫在，李东海，崔始源，金厉旭，金基范，找奎贤...少了一个我们也就不会成为super junior..谢谢你们诞生 我的分身们！等了很久吧？E.L.F. 一想到要和你们一起就激动..是要一起跑吧！最后，非常感谢和所有人一起的主.. 强仁： 希望一切都是天注定的命运... 神童： 我爱你们，让我像神童这个名字一样活着的父母，成为我的力量，在我累的时候借给我肩膀的成员们，比任何人都理解我的朋友们。神童和朋友永远的朋友，无论什么时候都站在我这一边的歌迷朋友们，还有给予我爱的我爱着的所有人，我爱你们。 晟敏： 首先要谢谢一直陪伴着我的上帝，亲爱的父母亲还有我弟弟晟真！一直站在我这边的猪姐姐，Dan Bbung，6学年的智慧姐姐！对有很多不足的我一直给予支持的明知大的教授们、前后辈还有同学们！一起创造了很多美好回忆的艺大的朋友们！让我变得更漂亮的姜研熙老师、金贤珠老师。刘洪烈老师！一直笑，不说坏话的智慧先生！只会欺负我，身材好又可爱的浩成训练师！想与温柔的AIARAMICHI老师和MOEYAN姐姐见面，SISTER KAT MISS U！妹妹秀英！Sunny！政模政模！俊秀啊~我们应该再组团的呀？^^一直把我当弟弟一样照顾的Brian哥！赵权！胜利！敏焕！现在好像稍微变乖点的小孩（泰民）！傻瓜一样的俞斌！累的时候，忧郁的时候，让我微笑而伸出的手！非常非常爱你们。我会用更多的爱，更幸福的微笑来报答的。永远的Super Junior成员，我爱你们！！FOREVER..WITH E.L.F.LOVE U... 恩赫： 感谢一直用爱守护我陪伴我，为我指明道路的上帝。总是为我祈祷为我担心的我的家人，爸爸，妈妈，姐姐，choco，谢谢你们。对不起，我会做得更好的。虽然不能时常联系，但是总在心里想念你们^^一起受苦的我们super junior成员们！！这次准备三辑真的辛苦了。看着你们努力的模样真的过意不去，很感谢。我这次真的很努力，感觉真的很好。感觉会大卖 呵呵 今后也死死地聚在一起吧！！做super junior的成员真的很幸福...^^还有天辉龙，ONSAEMIRO，唯，wannabe，myeunhyuk，4ever 4u，todayhj，HJPLAY等等粉丝们...ELF们等了很久了吧？谢谢...还有，真的很爱你们。从现在开始再也不要苦痛了 呵呵 不管作为家中的赫在或者舞台上的恩赫，都爱着我 在我周围的所有人，真的很感谢，我爱你们 东海： To.我的父亲 爸爸！时间过的真快，从想着这是最后一次，最后一次见到爸爸的脸到现在，已经三年过去了，这期间除了很多专辑，有喜悦也有悲伤，这样那样的事都出现过，经历过。我认为爸爸虽然什么话都没说但也有在好好看着。想着爸爸总是在身边，每当辛苦的时候就能产生力量，是因为爸爸在身边的缘故嘛^^每次都只有我在说，所以觉得好吃亏。无论何时都要有力地给予回应才会更有力量啊...不过有哥哥在，妈妈也在，爷爷也在，所以没关系^^爸爸曾经想做的事...我都会做的^^即使辛苦也要加把劲。即使跌倒也要站起来，即使谁说什么也不倒下地站立着，会成为那样的人的。现在是三辑了，真的很感谢，也深深感觉到，能继续唱歌跳舞，能得到很多人的爱，是这么幸福，用钱也买不到。那么为了大家会更加努力的！一如既往^^奶奶也过的好吧？？要让奶奶不感到孤独，好好给予拥抱才行哦^^连爸爸都不在的话，奶奶会很孤独的^^我的爸爸，我的奶奶，我爱你们。感谢你们给予我健康，给予我生命，给予我呼吸。在下张专辑也会写信的^^仍飞你最棒 妈妈，第四位我的哥哥，爷爷我爱你们 To.Super Junior 连说话的必要都没有不是嘛~我们^^在一起将近十年了呢~！跟着队长李特哥走吧！！^^我爱你们~成员们^^~ To.E.L.F 期待拉往很久吧？对不起哦~不过会努力做那么多的！这次不一样了哦~我们^^虽然不知要到何时为止，还在身边的时候请更加爱护我们，再多说些“我爱你”的话吧^^我爱你们~E.L.F 始源： 分散开的我们终于成为了一体，想要以比二辑更加成熟的面貌来报答大家，怀着这样的心情制作出了三辑，首先怀着感激之情，将这份荣耀归于主，耶和华上帝，感谢每天为我恳切地祈祷的宋基诚牧师，李诚浩牧师，以及贞洞教会的信徒们！有先见之明并且强有力的引导着，还有很多不足的我们的李秀满先生！在看不见的地方给予我们帮助的工作人员们！任何时候都和我们在一起的我们的E.L.F！在看不到的地方为我祈祷并付出牺牲，帮助我的父亲，母亲和智媛！感谢一直为我祈祷的所有人们！真心地感谢！ 厉旭： 感谢上帝。还有我亲爱的爸爸和妈妈 你们是厉旭最坚实的后援者。我的哥哥们~圭贤~起范~一起好好干吧~Super Junior fighting。SJ-M的周觅哥，还有henry...也很谢谢你们。当然还有正在看这些文字的各位 谢谢大家~^^我的弟弟 正旭~！！宝美姐姐吉洲哥，京美姐姐光民哥 英旭哥嫂子帅气的我的侄子 范真~~^^叔叔是SUPER JUNIOR哦~呵呵 俊英，惠敏姑姑，京敏姑姑，雅拉，永灿，龙日哥~^^模特身材智慧爆发的昌珉啊~我爱你~~所有的亲戚们I LOVE YOU~厉旭的死党们...我爱你们^^仁荷大学的教授们..助教姐姐~仁荷大学的前后辈们..同期们~谢谢你们^^等待了我们这么久的 我们的ELF~准备好了要迎接厉旭带给大家的幸福吗？^^我爱你们 因为想要在这个小小的地方把对所有人的感想都放进来，所以写了很多~会给你们看到我们努力认真的麽样的~！！再次感谢大家^^ 2009年3月 厉旭 基范： 谢谢一直把我视作儿子一样的李秀满老师，谢谢给予我温暖的金英民社长，总是照顾和关心我的我们的成员们...对不起&感谢大家。在艰难时期总是给予我们勇气和希望的E.L.F们，非常感谢。最后，爸爸，妈妈，世熙，我爱你们^_^ 圭贤： 大家好，分开活动的SJ又重新聚在一起拉，感谢让我重获新生的上帝，无论发生什么都是我的最爱的妈妈，爸爸，我的漂亮的姐姐，亲戚们和在一起很长时间的我的朋友们，玉东，银浩，东日，明石，贤式，文殊，圣泉，李胜全，尚明，成在，文石，宜兼，甄成，夏明，美静，恩慧，夏米，刀成，水甄，最亲的庆忠和智豪哥，泽镛，具鮤！精神的支柱惠子老师，唐成雄老师，秉徳老师，大成老师，银京老师，金初韩老师，朴宣株老师还有我影院的大学搭档圣敏哥^^我们东方神起，天上智喜，trax前辈们，少女时代，shine后辈们，时髦的练习生弟弟圭莞，俊勉，俊英，文奎 一直到结束都在一起的正洙，希澈，韩庚，钟云，英云，东熙，晟敏，赫在，东海，始源，厉旭，基范成员们！最后谢谢我最爱的美丽的ELF^^我爱你们！

❽ 【【考研】】天津大学药学院

基本上是的，只要是考研列出来的书目，都是参考书面，你只需把考研部分的内容摘出来，看就行了，每本书都有重复的部分，就不必看了。

❾ 复数的数系理论

数系理论的历史发展表明，数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步，但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷，而实数系的完备性一直要到19世纪才得以完成。负数早在《九章算术》中就已被中国数学家所认识，然而，15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。“四元数”的发明，打开了通向抽象代数的大门，同时也宣告在保持传统运算定律的意义下，复数是数系扩张的终点。人类发明的记数法并没有束缚自己的想象力，中国古代“数穷则变”的思想对于当代数学哲学仍具有积极的意义。
数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所应用的数系，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？ 人类在进化的蒙昧时期，就具有了一种“识数”的才能，心理学家称这种才能为“数觉”（perception of number）。动物行为学家则认为，这种“数觉”并非为人类所独有。人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法。《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡”。以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。直到1826年，英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器。随着人类社会的进步，数的语言也在不断发展和完善。数系发展的第一个里程碑出现了：位置制记数法。所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。
最早发展的一类数系应该是简单分群数系（simple grouping system），如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例，它是10进的，但却不是位置的。在公元前3000到2000年之间，巴比伦人发展了60进位的定位数系（positional numeral system），它采用了位置制，却不是10进的。而最重要和最美妙的记数法则是10进位位置制记数法。
法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾经写道：
用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。
拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明，10进位位置制记数法最先产生于中国。这一点也为西方的一些数学史家所主张。李约瑟就曾指出“在西方后来所习见的‘印度数字’的背后，位置制已在中国存在了两千年。”不过，10进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究表明，10进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。
“0”作为记数法中的空位，在位置制记数的文明中是不可缺少的。早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号。印度人起初也是用空位表示零，后来记成点号“· ”，最后发展为圈号。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家。13世纪初，意大利的商人斐波那契（Leonado Fibonacci,1175 - 1250）编著《算经》（Liber Abacci,1202），把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后，在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。 古代希腊人曾经提出一个问题：他们认为世界上的沙子是无穷的，即使不是无穷，也没有一个可以写出来的数超过沙子的数。阿基米德（Archimedes,BC287 - 212）的回答是：不。在《数沙术》中，阿基米德以万（myriad）为基础，建立新的记数法，使得任何大的数都能表示出来。他的做法是：从1起到1亿（原文是万万，myriad myriads，这里按照中文的习惯改称为亿）叫做第1级数；以亿（10^8）为第2 级数的单位，从亿起到亿亿（即10^16）叫做第2级数；在以亿亿为单位，直到亿亿亿（10^24）叫做第3级数。直到第1亿级数的最后一数亿亿。阿基米德算出充满宇宙的沙子的数目不过是10^51，即使扩充到“恒星宇宙”，即以太阳到恒星的距离为半径的天球，也不过只能容纳10^63个沙粒！
同样的问题也出现在中国古代。汉代以前，数皆10进，以10万为亿。韦昭解《国语·郑语》第十六：“计亿事，材兆物，收经入，行垓极”。注称“计，算也；材，裁也。贾唐说皆以万万为亿，郑后司农云：十万曰亿，十亿曰兆，从古数也。”《数术记遗》中则详细记载了对大数的一整套命名和三种进位方法。《数术记遗》称：
黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载；三等者，谓上、中、下也。其下数者。十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之，若言万万曰亿、万亿曰兆，万兆曰京。上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。从亿至载，终于大衍。
《数术记遗》中的“大数之法”的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法，更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程。客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数。起初，对一些较大的数，人们还可以理解它，还能够利用已有的记数单位去表示它。但是，随着人们认识的发展，这些大数也在迅速的扩张，原有的记数单位难以为用。人们不禁要问：
数有穷乎？
这是数系发展中的需要回答的重大命题。《数术记遗》中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话，精彩的阐明了“数穷则变”的深刻道理：
徐岳问曰：数有穷乎？
会稽（刘洪）答曰：吾曾游天目山中，见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生，余亦以此意问之。先生曰：世人言三不能比两，乃云捐闷与四维。数不识三，妄谈知十。不辨积微之为量，讵晓百亿于大千？黄帝为法，数有十等。……从亿至载，终于大衍。
会稽问曰：先生之言，上数者数穷则变，既云终于大衍，大衍有限，此何得无穷？
先生答曰：数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环。循环之理，且有穷乎！
天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”，以有限来认识无限，而指引这一途径的重要思想是“言重则变”。即便是今日，“数穷则变”这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思。 位置制记数法的出现，标志着人类掌握的数的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系[2] ，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。
有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60进位的，埃及采用的是单分数（unit fraction），阿拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。
原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓：通分。刘徽在《九章算术注》中所言：
众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。
有了齐同术，就可将分数化异类为同类，变相违为相通。刘徽深得其中奥秘，称：“然则齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐，其犹佩?解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。”
容易证明，分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻，负数的出现就是必然的了。盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。历史的事实表明：负数之所以最早为中算家所引进，这是由中国古代传统数学中，算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的。负数的概念和算法首先出现在《九章算术》“方程”章，因为对“方程”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。刘徽的注释深刻的阐明了这点： 今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以斜正为异。方程自有赤黑相取，左右数相推求之术。而其并减之势不得广通，故使赤黑相消夺之。……故赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率。然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也。
负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。如丘凯（Nicolas Chuquet ，）和斯蒂费尔（Stifel,） 都把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”。卡丹（Cardan,1501- 1576) 把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达(Vieta,1540- 1630) 完全不要负数，帕斯卡（Pascal,1623- 1662） 则认为从0减去4纯粹是胡说。
负数是人类第一次越过正数域的范围，前此种种的经验，在负数面前全然无用。在数系发展的历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。我们将会看到，负数并不是惟一的例子。 无理数的发现，击碎了毕达哥拉斯（Pythagoras）学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了。它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展，起到了深远的影响。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭。两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数。15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci,1452- 1519） 把它们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler,1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数，找到虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题。
中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数。对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”，实际上是用10进小数来无限逼近无理数。这本是一条完成实数系统的正确道路，只是刘徽的思想远远超越了他的时代，而未能引起后人的重视。不过，中国传统数学关注的是数量的计算，对数的本质并没有太大的兴趣。而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了，既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希腊数学家，如欧多克斯（Eudoxus）、欧几里得（Euclid）在他们的几何学里，都严格避免把数与几何量等同起来。欧多克斯的比例论（见《几何原本》第5卷），使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍，但就在这以后的漫长时期中，形成了几何与算术的显著分离。
17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性问题再次突显出来。因为，微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。
无理数是什么？法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，意即预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小。但是，这个预先存在的“数”，又从何而来呢？在柯西看来，有理序列的极限，似乎是先验地存在的。这表明，柯西尽管是那个时代大分析学家，但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。
变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在19世纪后半叶，由维尔斯特拉斯（Weierstrass,1815- 1897）、戴德金（R.Dedekind1831- 1916）、康托（G.Cantor,1845- 1918）等人加以完成了。
1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，克莱因（F.Kline,1849- 1925）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（Erlanger Programm），维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了。
努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质。几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。这里，戴德金的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“戴德金分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。
实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现。 复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地。
1545年，此时的欧洲人尚未完全理解负数、无理数，然而他们智力又面临一个新的“怪物”的挑战。例如卡丹在所著《重要的艺术》（1545）中提出一个问题：把10分成两部分，使其乘积为40。这需要解方程x (10-x) = 40，他求得的根是5-√-15 和5+√-15，然后说“不管会受到多大的良心责备，”把5+√-15和5-√-15相乘，得到25-(-15)=40。于是他说，“算术就是这样神妙地搞下去，它的目标，正如常言所说，是有精致又不中用的。”笛卡尔（Descartes,1596-1650）也抛弃复根，并造出了“虚数”（imaginary number）这个名称。对复数的模糊认识，莱布尼兹（Leibniz,1646- 1716）的说法最有代表性：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的—1的平方根。”
直到18世纪，数学家们对复数才稍稍建立了一些信心。因为，不管什么地方，在数学的推理中间步骤中用了复数，结果都被证明是正确的。特别是1799年，高斯（Gauss,1777- 1855）关于“代数基本定理”的证明必须依赖对复数的承认，从而使复数的地位得到了近一步的巩固。当然，这并不是说人们对“复数”的顾虑完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（De Morgan,1806- 1871） 在他的著作《论数学的研究和困难》中依然认为：
……
已经证明了记号 是没有意义的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来的，它依赖于一件必须用经验来检验的事实，即代数的一般规则可以应用于这些式子（复数）。
……
我们知道，18世纪是数学史上的“英雄世纪”，人们的热情是如何发挥微积分的威力，去扩大数学的领地，没有人会对实数系和复数系的逻辑基础而操心。既然复数至少在运算法则上还是直观可靠的，那又何必去自找麻烦呢？
1797年，挪威的韦塞尔（C. Wessel,1745-1818） 写了一篇论文“关于方向的分析表示”，试图利用向量来表示复数，遗憾的是这篇文章的重大价值直到1897年译成法文后，才被人们重视。瑞士人阿甘达（J. Argand,1768-1822） 给出复数的一个稍微不同的几何解释。他注意到负数是正数的一个扩张，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是：能否利用新增添某种新的概念来扩张实数系？在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效。他不仅将 a+ bi 表示为复平面上的一点 ( a,b），而且阐述了复数的几何加法和乘法。他还说，如果1，-1 和 原来不称为正、负和虚单位，而称为直、反和侧单位，那么人们对这些数就可能不会产生种种阴暗神秘的印象。他说几何表示可以使人们对虚数真正有一个新的看法，他引进术语“复数”（complex number）以与虚数相对立，并用 i 代替。
在澄清复数概念的工作中，爱尔兰数学家哈米尔顿（Hamilton,1805 – 1865） 是非常重要的。哈米尔顿所关心的是算术的逻辑，并不满足于几何直观。他指出：复数a+ bi 不是 2 + 3意义上的一个真正的和，加号的使用是历史的偶然，而 bi 不能加到a 上去。复数a+ bi 只不过是实数的有序数对（a，b），并给出了有序数对的四则运算，同时，这些运算满足结合律、交换率和分配率。在这样的观点下，不仅复数被逻辑地建立在实数的基础上，而且至今还有点神秘的-1的平方根也完全消除了。 回顾数系的历史发展，似乎给人这样一种印象：数系的每一次扩充，都是在旧的数系中添加新的元素。如分数添加于整数，负数添加于正数，无理数添加于有理数，复数添加于实数。但是，现代数学的观点认为：数系的扩张，并不是在旧的数系中添加新元素，而是在旧的数系之外去构造一个新的代数系，其元素在形式上与旧的可以完全不同，但是，它包含一个与旧代数系同构的子集，这种同构必然保持新旧代数系之间具有完全相同的代数构造。当人们澄清了复数的概念后，新的问题是：是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？答案是否定的。当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时，他发现自己被迫要做两个让步：第一，他的新数要包含四个分量；第二，他必须牺牲乘法交换律。这两个特点都是对传统数系的革命。他称这新的数为“四元数”。“四元数”的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束。1878年，富比尼（F.Frobenius,1849 – 1917) 证明：具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数先行结合代数，如果服从结合律，那就只有实数，复数和实四元数的代数。
数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，便会产生无可估量的创造力。哈米尔顿的四元数的发明，使数学家们认识到既然可以抛弃实数和复数的交换性去构造一个有意义、有作用的新“数系”，那么就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质的代数构造。数系的扩张虽然就此终止，但是，通向抽象代数的大门被打开了。

❿ 画家刘洪老师的介绍

刘洪，1982年生，河北保定人，中国当代山水画家。三代书画世家，自幼习画。山水花鸟人物各有接触， 现为河北省美术家协会会员、中国书画名家协会会员、中国青年书画家协会会员、长城书画协会会员、中国工笔画协会会员、中国美术家名人协会会员。曾供职于河北省省博物馆，得到范曾弟子篆刻名家王玉中先生，得其指点，受益匪浅。古追青藤白阳，今以任伯年，王雪涛为师，兼取众家之长，合一炉而冶之。