复旦大学谭永基教授

A. 数学建模的建模资料

1. 数学建模算法与应用，司守奎、孙玺菁编著，国防工业出版社(2012).
2.数学模型，姜启源编，高等教育出版社(1987年第一版，1993年第二版，2003年第三版，2011年第四版；第一版在 1992年国家教委举办的第二届全国优秀教材评选中获全国优秀教材奖)．
3．数学建模方法与案例，张万龙，等编著，国防工业出版社（2014）.
4. 数学建模入门与提高，李汉龙，等编著，国防工业出版社（2013）.
5数学模型与计算机模拟，江裕钊、辛培情编，电子科技大学出版社，(1989)．
6．数学模型选谈(走向数学从书)，华罗庚，王元著，王克译，湖南教育出版社；(1991)．
7．数学模型，单峰，朱丽梅，国防工业出版社(2011)．
8．数学模型，陈义华编著，重庆大学出版社，(1995)
9．数学模型建模分析，蔡常丰编著，科学出版社，(1995)．
10．数学建模竞赛教程，李尚志主编，江苏教育出版社，(1996)．
11．数学建模入门，徐全智、杨晋浩编，成都电子科大出版社，(1996).
12．数学建模，沈继红、施久玉、高振滨、张晓威编，哈尔滨工程大学出版社，(1996).
13．数学模型基础，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，(1996).
14．数学模型方法，齐欢编著，华中理工大学出版社，(1996)．
15．数学建模与实验，南京地区工科院校数学建模与工业数学讨论班编，河海大学 出版社，(1996)．
16．数学模型与数学建模，刘来福、曾文艺编，北京师范大学出版杜(1997)．
17. 数学建模，袁震东、洪渊、林武忠、蒋鲁敏编，华东师范大学出版社。
18．数学模型，谭永基，俞文吡编，复旦大学出版社，(1997)．
19．数学模型实用教程，费培之、程中瑗层主编，四川大学出版社，(1998)．
20．数学建模优秀案例选编(工科数学基地建设丛书)，汪国强主编，华南理工大学出版社，(1998)．
21．经济数学模型(第二版)(工科数学基地建设丛书)，洪毅、贺德化、昌志华 编著，华南理工大学出版社，(1999)．
22．数学模型讲义，雷功炎编，北京大学出版社(1999)．
23．数学建模精品案例，朱道元编著，东南大学出版社，(1999)，
24．问题解决的数学模型方法，刘来福，曾文艺编著、北京师范大学出版社，(1999)．
25．数学建模的理论与实践，吴翔，吴孟达，成礼智编著，国防科技大学出版社， (1999)．
26、数学建模案例分析，白其岭主编，海洋出版社，(2000年，北京)．
27．数学实验(高等院校选用教材系列)，谢云荪、张志让主编，科学出版社，(2000)．
28．数学实验，傅鹏、龚肋、刘琼荪，何中市编，科学出版社，(2000)．
29．数学建模与数学实验，赵静、但琦编，高等教育出版社，(2000). l、中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社(1998)．
2．大学生数学建模竞赛辅导教材，(一)(二)(三)，叶其孝主编，湖南教育 出版社(1993，1997，1998)．
3．数学建模教育与国际数学建模竞赛 《工科数学》专辑，叶其孝主编， 《工科数学》杂志社，1994)．
4. 大学生数学建模竞赛指南，肖华勇主编，电子工业出版社（2015）. (中译本)
1、数学模型引论， E．A。Bender著，朱尧辰、徐伟宣译，科学普及出版社(1982).
2．数学模型，[门]近藤次郎著，官荣章等译，机械工业出版社，(1985)．
3．微分方程模型，(应用数学模型丛书第1卷)，[美]W．F．Lucas主编，朱煜民等 译，国防科技大学出版社，(1988)．
4．政治及有关模型，(应用数学模型丛书第2卷)，[美W．F．Lucas主编，王国秋 等译，国防科技大学出版社，(1996)．
5．离散与系统模型，(应用数学模型丛书第3卷)，[美w．F．Lucas主编，成礼智 等译，国防科技大学出版社，(1996)．
6．生命科学模型，(应用数学模型丛书第4卷)，[美1W．F．Lucas主编，翟晓燕等 译，国防科技大学出版社，(1996)．
7．模型数学--连续动力系统和离散动力系统，[英1H．B．Grif6ths和A．01dknow 著，萧礼、张志军编译，科学出版社，(1996)．
8．数学建模--来自英国四个行业中的案例研究，(应用数学译丛第4号)， 英]D．Burglles等著，叶其孝、吴庆宝译，世界图书出版公司，(1997) (这方面书籍很多，仅列几本供参考) ：
1．水环境数学模型，[德]W．KinZE1bach著，杨汝均、刘兆昌等编纂，中国建筑工 业出版社，(1987)．
2．科技工程中的数学模型，堪安琦编著，铁道出版社(1988)
3．生物医学数学模型，青义学编著，湖南科学技术出版杜(1990)．
4．农作物害虫管理数学模型与应用，蒲蛰龙主编，广东科技出版社(1990)．
5．系统科学中数学模型，欧阳亮编著， 山东大学出版社，(1995)．
6．种群生态学的数学建模与研究，马知恩著，安徽教育出版社，(1996)
7．建模、变换、优化--结构综合方法新进展，隋允康著，大连理工大学出版社， (1986)
8．遗传模型分析方法，朱军著，中国农业出版社(1997)． (中山大学数学系王寿松编辑，2001年4月)

B. 数学建模做题技巧

a. 模型的抄数学归类(在数学上属于什么类型)
b. 建模的思想(思路)
c . 算法思想(求解思路)
d. 建模特点(模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型 检验…….)
e. 主要结果(数值结果，结论)(回答题目所问的全部“问题”)

C. 2010数学建模问题

已发，请查收。

D. 飞行计划的数模论文能否也发我一份

飞行经费问题 摘要: 本文针对飞行经费问题，通过对被困甲方飞机及飞行员优化配置的分析，给出了关于飞行计划问题及资源优化配置等问题的一个数学模型。本文采用线性规划方法建立数学模型，通过数学分析及有关资料的参考，最后使用LINDO工具求解得到了在经费最少条件下飞机和飞行员的合理配置。此数学模型不仅为飞行计划问题及资源优化配置等问题给出了一个合理的解决方案，还为解决此类问题提供了一个好的思想依据，具有重要的实用意义。 关键字: 飞行经费问题、资源优化配置、线性规划方法、LINDO工具 飞行经费问题 一、问题的重述:在甲乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月。由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送4个月的供给分别需要2次，3次，3次，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成（每架飞机需要3名飞行员），可以运送10万吨物资。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中又20%的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第1个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机，新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员（包括他自己在内）进行了训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。已知各项费用（单位略去）如下表所示，请你为甲方安排一个飞行计划。 第一个月第二个月第三个月第四个月新飞机价格200.0195.0190.0185.0闲置的熟练飞行员报酬7.06.96.86.7教练和新飞行员报酬（包括培训费用）10.09.99.89.7执行飞行任务的熟练飞行员报酬9.08.99.89.7休假期间的熟练飞行员报酬5.04.94.84.7如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过20名飞行员（包括他自己在内）进行训练，模型和结果有哪些改变？ 二、问题的分析:这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来的。优化建模问题分析这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数量是常数，所以这部分费用 (报酬 )是固定的，在优化目标中可以不考虑。 三、基本假设:1、飞机数量限制,4个月中执行飞行任务的飞机分别为 100,150,150,200架，但只有 80,120,120,160架能够返回供下个月使用。2、飞行员数量限制,4个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300,450,450,600人，但只有 240,360，360,480人能够返回 (下个月一定休假 )。3、如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20名飞行员 (包括他自己在内 )进行训练，则应将教练与新飞行员分开。 四、符号说明:x1,x2,x3,x4分别为4个月开始时甲方新购买的飞机数量；y1,y2,y3,y4分别为闲置的飞机数量；u1,u2,u3,u4分别为4个月中飞行员中教练和新飞行员数量；v1,v2,v3,v4分别为闲置的的熟练飞行员数量；w1,w2,w3,w4分别为新飞行员数量。 五、模型的建立及求解决策变量设 4个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为 x1,x2,x3,x4架,闲置的飞机数量分别为 y1,y2,y3,y4架。 4个月中,飞行员中教练和新飞行员数量分别为 u1,u2,u3,u4人,闲置的的熟练飞行员数量分别为 v1,v2,v3,v4人。优化建模目标函数优化目标是,Min 200x1+195x2 +190x3+185x4+10u1+9.9u2+9.8u3+9.7u4+7v1+6.9v2+6.8v3+6.7v4约束条件需要考虑的约束包括：1） 飞机数量限制,4个月中执行飞行任务的飞机分别为 100,150,150,200架，但只有 80,120,120,160架能够返回供下个月使用。第 1个月,100+y1=110第 2个月,150+y2=80+ y1+ x1第 3个月,150+y3=120+ y2+ x2第 4个月,200+y4=120+ y3+ x3优化建模2） 飞行员数量限制,4个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300,450,450,600人，但只有 240,360，360,480人能够返回 (下个月一定休假 )。第 1个月,300 +0.05 u1+ v1=330第 2个月,450 +0.05 u2+ v2= u1+ v1第 3个月,450 +0.05 u3+ v3= u2+ v2+240第 4个月,600 +0.05 u4+ v4= u3+ v3+360最后，自然要求 x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4,u1,u2,u3,u4,v1,v2,v3,v4?0 且为整数。优化建模于是，这个优化模型很容易输入 LINDO：MIN 200x1+195x2 +190x3+185x4+10u1+9.9u2+9.8u3+9.7u4+7v1+6.9v2+6.8v3+6.7v4s.t,y1=10y1+ x1 - y2 =70y2+ x2 - y3 =30y3+ x3 - y4=800.05 u1+ v1=30u1 + v1 - 0.05 u2 - v2 = 450u2 + v2 - 0.05 u3 - v3 = 210u3 + v3 - 0.05 u4 - v4 = 240endGIN 16优化建模用 LINDO求解得到：OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 42324.40VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 60.000000 200.000000X2 30.000000 195.000000X3 80.000000 190.000000X4 0.0000000 185.000000U1 460.00000 10.000000U2 220.00000 9.900000U3 240.00000 9.800000U4 0.0000000 9.700000V1 7.0000000 7.000000V2 6.0000000 6.900000V3 4.0000000 6.800000V4 4.0000000 6.700000优化建模VARIABLE VALUE REDUCED COSTY1 10.000000 0.000000Y2 0.000000 0.000000Y3 0.000000 0.000000Y4 0.000000 0.000000即最优解为 x1=60,x2=30,x3=80,x4=0,y1=10,y2= y3= y4=0,u1=460,u2=220,u3=240,u4=0,v1=7,v2=6,v3=4,v4=4; 目标函数值为 42324.40。优化建模问题讨论如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20名飞行员 (包括他自己在内 )进行训练，则应将教练与新飞行员分开：设 4个月飞行员中教练为 u1,u2,u3,u4人，新飞行员数量分别为 w1,w2,w3,w4人。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为第 1个月,300+u1+v1=330第 2个月,450+u2+v2= u1+v1+w1,w1?20u1第 3个月,450+u3+v3= u2+v2+240+w2,w2?20u2第 4个月,600+u4+v4= u3+v3+360+w3,w3?20u3优化建模优化模型作相应修改，输入 LINDO如下：MIN 200x1+195x2 +190x3+185x4+10u1+9.9u2+9.8u3+9.7u4+7v1+6.9v2+6.8v3+6.7v4+10w1+9.9w2+9.8w3+9.7w4s.t,y1=10y1+ x1 - y2 =70y2+ x2 - y3 =30y3+ x3 - y4=80u1+ v1=30u1 + v1 + w1 - u2 - v2 = 450u2 + v2 + w2 - u3 - v3 = 210u3 + v3 + w3 - u4 - v4 = 240w1 - 20u1 <=0w2 - 20u2 <=0w3 - 20u3 <=0endgin 20 (Ⅰ)优化建模用 LINDO求解得到：OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 42185.80VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 60.000000 200.000000X2 30.000000 195.000000X3 80.000000 190.000000X4 0.000000 185.000000U1 22.000000 10.000000U2 11.000000 9.900000U3 12.000000 9.800000U4 0.000000 9.700000V1 8.000000 7.000000V2 0.000000 6.900000V3 0.000000 6.800000V4 0.000000 6.700000优化建模VARIABLE VALUE REDUCED COSTW1 431.000000 10.000000W2 211.000000 9.900000W3 228.000000 9.800000W4 0.000000 9.700000Y1 10.000000 0.000000Y2 0.000000 0.000000Y3 0.000000 0.000000Y4 0.000000 0.000000即最优解为 u1=22,u2=11,u3=12,u4=0,v1=8,v2=v3=v4=0,w1=431,w2=211,w3=228,w4=0 (x1~x4,y1~y4不变 )；目标函数值为 42185.80 六、模型结果的解释模型的结果表达的意义就是在用优化建模输入 LINDO，得出甲方的飞行计划，并且讨论如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20名飞行员 (包括他自己在内 )进行训练，则应将教练与新飞行员分开，模型和结果发生改变。 七、模型的检验及推广（一）、1） 飞机数量受限制,我们知道4个月中执行飞行任务的飞机分别为 100,150,150,200架，每次执行时都有一部分飞机被打落，所以只有 80,120,120,160架能够返回供下个月使用。2） 飞行员数量也受限制, 我们也知道4个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300,450,450,600人，因为每次执行任务时都有一部分飞机被打落所以飞行员也因此牺牲或失踪，所以有 240,360，360,480人能够返回 (下个月一定休假 )。（二）、题目中要求的是每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20名飞行员 (包括他自己在内 )进行训练,若数据有所变动,例如不超过10名或15名，则只需将(Ⅰ)式的数改为10或15，,然后再运用LINDO求解就可以解出结果. 参考文献:1、 数学模型，姜启源编，高等教育出版社(1987年第一版，1993年第二版；第一版在 1992年国家教委举办的第二届全国优秀教材评选中获"全国优秀教材奖")．2、数学模型，谭永基，俞文吡编，复旦大学出版社，(1997)．3、数学模型建模分析，蔡常丰编著，科学出版社，(1995)．4、数学建模简明教程，戴朝寿，孙世良，高等教育出版社，（2007）.5、数学模型与数学建模，刘来福、曾文艺编，北京师范大学出版杜(1997)．6、数学建模与数学实验，赵静、但琦编，高等教育出版社，(2000).7、问题解决的数学模型方法，刘来福，曾文艺编著、北京师范大学出版社，(1999)．

E. 数学建模-艾滋病传播问题

艾滋病传播模型的研究

摘 要：艾滋病是人体的免疫系统被艾滋病病毒破坏，使人体对威胁生命的各种病原体丧失
了抵抗能力，从而发生多种感染或肿瘤，最后导致死亡的一种严重传染病。国际医学界至今
尚无防治艾滋病的有效药物和疗法。因此，做好艾滋病的有效预防和控制应是我们抗击艾滋
病最有效的手段。本文通过建立参数规划数学模型以Matlab 软件包为工具平台研究艾滋病
的传播过程及流行趁向，期望能为政府做好新时期艾滋病预防控制工作提供理论参考。
关键词：艾滋病；传播模型；参数规划；MATLAB
中图分类号： O221.8 文献标识码： A
0. 引言
艾滋病在世界范围内的传播越来越迅猛，严重威胁着人类的健康和社会的发展，已成
为威胁人们健康的第四大杀手。联合国艾滋病规划署2006 年5 月30 日宣布自1981 年6 月
首次确认艾滋病以来，25 年间全球累计有6500 万人感染艾滋病毒，其中250 万人死亡。尤
其忧虑的是，全世界约95%的艾滋病患者来自防治能力薄弱的发展中国家，如非洲、南亚、
东南亚、中美洲等地。在我国，《中国艾滋病防治联合评估报告（2007）》显示，截至2007
年底，现存艾滋病毒感染者和病人约70 万。疫情处于总体低流行、特定人群和局部地区高
流行态势，性传播逐渐成为HIV 主要传播途径，意味着艾滋病防控形势更加严峻。未来我
国艾滋病的流行是趁向平稳还是快速增长，取决于能否大面积地积极开展艾滋病预防活动以
及提供有效的治疗。
建立数学模型研究流行病的发展机理和传播过程，已有一个多世纪的历史，艾滋病出现
以后，更引起了生物数学家们的注意，且在这方面做了较多的研究。本文就是在前人的研究
基础上，通过建立参数规划数学模型借助Matlab 软件包为工具对一个艾滋病传播模型的探
讨，期望能为政府做好我国新时期艾滋病预防和控制工作提供理论参考。
1. 艾滋病简介
艾滋病的医学中文全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文全名为“Acquired Immuno
Deficieney Syndrome”，简称AIDS，它是由艾滋病（中英文全名为“人体免疫缺损病毒”、
“Human Immunodeficiency Virus”，简称HIV）引起的。这种病毒终身传染，破坏人的免疫系
统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命[1]。
HIV 进入人体后，它就把人体免疫系统中最重要的CD4+T 淋巴细胞作为攻击目标，大
量吞噬、破坏CD4+T 淋巴细胞，从而破坏人的免疫系统，最终使人体免疫系统崩溃，使人
体因丧失对各种疾病的抵抗能力而发病并死亡。AIDS 从感染到发作的进程大致可分3 个阶
段：感染初期、潜伏期、发作期。在感染初期，HIV 进入人体的感染巨噬细胞，将病毒带到
局部淋巴结，引起各种急性症状，接着，CD8+T 淋巴细胞、抗体做出反应，从而控制疾病
的发展，血液中的HIV 持续在一个较稳定的水平，疾病进入潜伏期。随着HIV 对巨噬细胞、
CD4+T 细胞等的感染，免疫系统逐步被破坏，被感染的CD4+T 细胞由裂解而大量产生HIV。
1本课题获广西教育科研立项项目“离散空间的模糊多属性决策理论与方法研究”（No.200707LX037）的资助。

- 2 -
当正常的CD4+T 细胞急剧减少、HIV 迅速增加时，病情发作，随时出现的各种病原体都可
能引起感染，病人最后因各种机能衰竭而死亡。
一般在未治疗情况下，AIDS 从感染到发作的平均时间约为10 年，但是不同的病人的
差异较大，临床上可观察到2 到18 年的潜伏期，这主要取决于CD4+T 细胞浓度下降和HIV
浓度上升的速度。通常健康人每1mm3 血液中平均有1000 个CD4+T 细胞，当HIV 的携带者
的CD4+T 细胞降至200 个/mm3 时，疾病发作。
2. 艾滋病传播模型
艾滋病传播途径主要有性传播、血液传播、共用针具的传播和母婴传播等四种，其中性
传播已成为当今艾滋病传播的主要途径。故下面的模型主要研究通过性活动引起AISD 的传
播 ，通过其他因素引起的传播可以建立类似的模型。
2.1 模型建立
将目标人群（具有性活动者）分为3 类，x(t)为t 年易感染的人数，y(t)为被HIV 感染
的人数，z(t)为已患AIDS 的人数，在没有特定目标的情况下，假定x,y,z 的初始值分别为
15×106,3×106,0.05×106。参照其它传染病的传播模型及参数规划模型案例得到模型为[2]，[3]
( ) , 1 s c x
dt
dx = − λ + μ (1)
( ) , 2 c x y
dt
dy = λ − γ + μ (2)
( ) , 3 y z
dt
dz = γ − μ +δ (3)
其中各个参数的定义及其定值如下：s ～易感染者加入目标人群的速率（106/年）；c ～
获得新的性伴侣的平均速率（2/年）；λ ～性伴侣被HIV 感染者的概率（0.2）； 1
μ ～易感染
者退出目标人群的比例（0.025/年）；γ ～HIV 感染者进入AIDS 的比例（0.1/年）； 2 μ ～HIV
感染者退出目标人群的比例（0.025/年）； 3 μ ～AIDS 退出目标人群的比例（0.025/年）；δ ～
AIDS 死亡的比例（0.95/年）。
虽然线性常系数微分方程（1）～（3）有解析解，可是我们只想了解数值结果和观察直
观的变化趁势，于是在上面的参数和初值下运用Matlab7.5 软件包[4]求数值解便得到了图1。

- 3 -
可以看出，人们最关心的被HIV 感染的人数y 在约5 年时达到最大值约1200 万，20
年后趁向稳定值约750 万。
2.2 模型分析
由劳斯-霍尔维茨（Routh-Hurwitz）判据，容易得到方程（1）～（3）的唯一平衡点是
,
1
*
λ + μ
=
c
x s * ,
2
y* c x
γ μ
λ
+
= *
3
z* y
μ δ
γ
+
= 。 （4）
因为方程（1）～（3）的3 个特征根均为负值，所以平衡点是全局稳定的，与初始值无关。
稳态下HIV 感染者在目标人群中的比例为
λ
γ μ
μ δ
γ
β
c
x y z
y
2
3
* * *
*
1
1
+
+
+
+
=
+ +
= (5)
当一个参数值增加时引起平衡点3 个坐标及β 值的变化见下表1（如γ 增加时，x* 不变，y*
减少， z* 增加，β 减少）。
表1 一个参数值增加时引起3 个坐标及β 值的变化情况
参数 x* y* z* β
s ↑ ↑ ↑ ￣
λ ↓ ↑ ↑ ↑
c ↓ ↑ ↑ ↑
γ ￣ ↓ ↑ ↓
图1 方程（1）～（3）的数值解

- 4 -
1 μ
↓ ↓ ↓ ￣
2 μ ￣ ↓ ↓ ↓
3 μ ￣ ￣ ↓ ↑
δ ￣ ￣ ↓ ↑
由于平衡点的全局稳定性，所以只要采取适当措施使各个参数向正确的方向（增加或减
少）改变，长期说来就可以使HIV 感染者和AISD 的人数减少，而不管目前情况如何。
2.3 接种疫苗模型
用弱化的HIV 作疫苗帮助人体建立对病毒的免疫性，是一种人为的干预措施，为了建
立这种情况
模型，需要增加两个函数：目标人群中接种疫苗的人数( ) 1 y t ，接种疫苗后又被病毒感染的
人数( ) 2 y t ，假定1 y ， 2 y 的初始值分别为1000 和0。模型为
(1 ) ( ) , 1 1 p s c c x
dt
dx = − − λ + λ + μ （6）
( ) , 2 c x y
dt
dy = λ − γ + μ （7）
(1 ) ( ) , 1 1 1 4 1
1 ps c x c y y
dt
dy = + λ − −ϕ λ − γ + μ （8）
(1 ) ( ) , 1 2 5 2
2 c y y
dt
dy = −ϕ λ − γ + μ （9）
( ) , 1 1 2 2 3 y y y z
dt
dz = γ +γ +γ − μ +δ （10）
其中新增加的参数及其设定值如下： p ～目标人群接种疫苗的比例（0.4）； 1
λ ～性伴
侣接种疫苗的概率（0.5）；ϕ ～接种疫苗后起到预防作用的概率（0.93）； 1 γ ～接种疫苗者
进入AIDS 的比例（0.005/年）； 4 μ ～接种疫苗人群退出目标人群的比例（0.025/年）； 2 γ ～
接种疫苗者被病毒感染进入AIDS 的比例（0.95/年）； 5 μ ～接种者被病毒感染退出目标人群
的比例（0.025/年）。
虽然接种疫苗还不能预防HIV 的初期感染，但是我们可以作简单的计算来预测如果疫
苗取得进展后的效果[4]。 比如在p =0.4，ϕ =0.93 的情况下利用Matlab7.5 软件包求（6）～
（10）的数值解即得到图2，从图2 可以看出，被HIV 感染的人数y 在约3 年时达到最大值
约600 万，比模型（1）～（3）的结果
减少了一半，20 年后趁向稳定值约200 万，比模型（1）～（3）的结果减少得更多。

- 5 -
2.4 结论分析
上面这个艾滋病传播模型概念上虽然较简单，但涉及到的参数很多，对于这些模型来说，
关键在于如何确定其中的参数。应用它的主要困难是确定用于特定国家或地区的一组参数，
虽然乌干达等非洲国家已经在这方面做了大量的统计研究，但是目前还不能得到确定这些参
数的较有效方法，另外，在临床上较精确地得到被HIV 感染的和已患AIDS 的人数也是困
难的。
3. 结束语
尽管目前我国艾滋病的疫情上升速度有所减缓，还没有出现艾滋病大规模流行之势，
但是我们要清醒地看到，疫情存在潜在的流行趁势，HIV 的传播途径已演变成以性传播途径
为主，已经与国际上的流行趁势一样，艾滋病疫情地区分布差异大，艾滋病流行因素广泛存
在，局势越来越严峻，一触即发，并可能出现灾难性后果。因此，从现在到本世纪末将是我
国预防控制艾滋病的关键时期，如果我们现在不积极采取预防控制措施，将错失良机。
当务之急是要全面了解我国艾滋病传播途径的变化、流行趁势、受影响人群有关的危险
行为等情况，建立一个有效的监测系统，为决策者提供有关艾滋病传播的准确数据，预测艾
滋病流行疫情和趁势，为全国艾滋病规划策略的制定提供依据。随着艾滋病在我国不同地区
不断蔓延扩大，其流行模式将变得越来越复杂。因此，我们的监测系统不仅仅是数据的收集，
而应当注重数据的分析以帮助对策的制定。
图2 方程（6）～（10）的数值解

- 6 -
参考文献
[1]曹毅.警惕艾滋病[M] .北京:清华大学出版社,2005.
[2]谭永基,蔡志杰. 数学模型[M].上海:复旦大学出版社,2005. 310～320.
[3] Christelle,Christian Prins, Marc Sevaux.运筹学案例[M] .北京:北京林森科技发展有限公司,2007.
[4]赵东方. 数学模型与计算[M]. 北京:科学出版社,2007.
Model of the spread of AIDS on the basis of estimation
programming
Zhu Jiarong
Nanning Teacher’s College,Department of Mathematics & Computer Science, P. R.China
Guangxi Province, CongZuo（532200）
Abstract
AIDS is a serious infectious disease,it’s caused by HIV infection, which damage the body’s immune
system and make the body losing their resistance to various life-threatening pathogens. International
medical profession has no effective drugs and treatments of preventing or healing AIDS. Therefore, do
a good job in AIDS prevention and control should the most effective means to fight AIDS. Our paper
discussed the process of AIDS’ spreading by establishing math model about estimation programming
based on Matlab, and except the government can take it as a reference for AIDS prevention in the new
era.

F. 学习数学建模有什么好的书籍吗，望大家推荐一下，万分感谢。

如果你想参加全国数学建模比赛的话，推荐你看叶其孝和边馥萍编写的书籍，他们都是每年专业出数模试题的，还有姜启源的教材可以认真学习一下，掌握了数模方法一切就OK了。

G. 数学建模需要哪些基础知识 有哪些辅导资料

需要数学知识、计算机知识、最好找个字迹漂亮的队友。
过程
模型准备
了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
模型假设
根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立
在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。
模型求解
利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。
模型分析
对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验
将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
模型应用
应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
数学建模应当掌握的十类算法
‍‍ 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算 法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要 处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题 属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、 Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉 及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计 中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是 用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实 现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛 题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好 使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只 认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非 常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常 用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调 用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该 要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab 进行处理）
数学建模资料
竞赛参考书
l、中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社(1998)． 2、大学生数学建模竞赛辅导教材，(一)(二)(三)，叶其孝主编，湖南教育 出版社(1993，1997，1998)． 3、数学建模教育与国际数学建模竞赛 《工科数学》专辑，叶其孝主编， 《工科数学》杂志社，1994)．
国内教材、丛书
1、数学模型，姜启源编，高等教育出版社(1987年第一版，1993年第二版，2003年第三版；第一版在 1992年国家教委举办的第二届全国优秀教材评选中获"全国优秀教材奖")． 2、数学模型与计算机模拟，江裕钊、辛培情编，电子科技大学出版社，(1989)． 3、数学模型选谈(走向数学从书)，华罗庚，王元著，王克译，湖南教育出版社；(1991)． 4、数学建模--方法与范例，寿纪麟等编，西安交通大学出版社(1993)． 5、数学模型，濮定国、 田蔚文主编，东南大学出版社(1994)． 6..数学模型，朱思铭、李尚廉编，中山大学出版社，(1995) 7、数学模型，陈义华编著，重庆大学出版社，(1995) 8、数学模型建模分析，蔡常丰编著，科学出版社，(1995)． 9、数学建模竞赛教程，李尚志主编，江苏教育出版社，(1996)． 10、数学建模入门，徐全智、杨晋浩编，成都电子科大出版社，(1996). 11、数学建模，沈继红、施久玉、高振滨、张晓威编，哈尔滨工程大学出版社，(1996). 12、数学模型基础，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，(1996). 13、数学模型方法，齐欢编著，华中理工大学出版社，(1996)． 14、数学建模与实验，南京地区工科院校数学建模与工业数学讨论班编，河海大学 出版社，(1996)． 15、数学模型与数学建模，刘来福、曾文艺编，北京师范大学出版杜(1997)． 16. 数学建模，袁震东、洪渊、林武忠、蒋鲁敏编，华东师范大学出版社. 17、数学模型，谭永基，俞文吡编，复旦大学出版社，(1997)． 18、数学模型实用教程，费培之、程中瑗层主编，四川大学出版社，(1998)． 19、数学建模优秀案例选编(工科数学基地建设丛书)，汪国强主编，华南理工大学出版社，(1998)． 20、经济数学模型(第二版)(工科数学基地建设丛书)，洪毅、贺德化、昌志华 编著，华南理工大学出版社，(1999)． 21、数学模型讲义，雷功炎编，北京大学出版社(1999)． 22、数学建模精品案例，朱道元编著，东南大学出版社，(1999)， 23、问题解决的数学模型方法，刘来福，曾文艺编著、北京师范大学出版社，(1999)． 24、数学建模的理论与实践，吴翔，吴孟达，成礼智编著，国防科技大学出版社， (1999)． 25、数学建模案例分析，白其岭主编，海洋出版社，(2000年，北京)． 26、数学实验(高等院校选用教材系列)，谢云荪、张志让主编，科学出版社，(2000)． 27、数学实验，傅鹏、龚肋、刘琼荪，何中市编，科学出版社，(2000)． 28、数学建模与数学实验，赵静、但琦编，高等教育出版社，(2000).
国外参考书(中译本)
1、数学模型引论， E．A。Bender著，朱尧辰、徐伟宣译，科学普及出版社(1982). 2、数学模型，[门]近藤次郎著，官荣章等译，机械工业出版社，(1985)． 3、微分方程模型，(应用数学模型丛书第1卷)，[美]W．F．Lucas主编，朱煜民等 译，国防科技大学出版社，(1988)． 4、政治及有关模型，(应用数学模型丛书第2卷)，[美W．F．Lucas主编，王国秋 等译，国防科技大学出版社，(1996)． 5、离散与系统模型，(应用数学模型丛书第3卷)，[美w．F．Lucas主编，成礼智 等译，国防科技大学出版社，(1996)． 6、生命科学模型，(应用数学模型丛书第4卷)，[美1W．F．Lucas主编，翟晓燕等 译，国防科技大学出版社，(1996)． 7、模型数学--连续动力系统和离散动力系统，[英1H．B．Grif6ths和A．01dknow 著，萧礼、张志军编译，科学出版社，(1996)． 8、数学建模--来自英国四个行业中的案例研究，(应用数学译丛第4号)， 英]D．Burglles等著，叶其孝、吴庆宝译，世界图书出版公司，(1997)
专业性参考书
(这方面书籍很多，仅列几本供参考) ： 1、水环境数学模型，[德]W．KinZE1bach著，杨汝均、刘兆昌等编纂，中国建筑工 业出版社，(1987)． 2、科技工程中的数学模型，堪安琦编著，铁道出版社(1988) 3、生物医学数学模型，青义学编著，湖南科学技术出版杜(1990)． 4、农作物害虫管理数学模型与应用，蒲蛰龙主编，广东科技出版社(1990)． 5、系统科学中数学模型，欧阳亮编著， E山东大学出版社，(1995)． 6、种群生态学的数学建模与研究，马知恩著，安徽教育出版社，(1996) 7、建模、变换、优化--结构综合方法新进展，隋允康著，大连理工大学出版社， (1986) 8、遗传模型分析方法，朱军著，中国农业出版社(1997)． (中山大学数学系王寿松编辑，2001年4月)

H. 数学建模问题

都市城乡居民消费行为的数学模型。
2、建立数学模型寻找影响成都市城乡居民消费差异的主要因素或指标。
3、利用数学模型分析在近几年的时间内成都市城乡居民消费差异是扩大、缩小还是维持不变？
4、消费结构是在一定的社会经济条件下，人们在消费过程中所消费的各种不同类型的消费资料(包括劳务)的比例关系。请从消费结构的角度出发，建立有关成都市城乡居民消费结构变动的数学模型，并根据此模型预测仿真未来三年时间内成都市城乡居民消费结构的变动情况。
5、根据所建立的数学模型和结果，对缩小成都市城乡居民消费差距提出你们的合

I. 数学建模使用前景预测可以根据调查使用意愿吗

数学建模应当掌握的十类算法‍‍1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）数学建模资料竞赛参考书l、中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社(1998)．2、大学生数学建模竞赛辅导教材，(一)(二)(三)，叶其孝主编，湖南教育出版社(1993，1997，1998)．3、数学建模教育与国际数学建模竞赛《工科数学》专辑，叶其孝主编，《工科数学》杂志社，1994)．国内教材、丛书1、数学模型，姜启源编，高等教育出版社(1987年第一版，1993年第二版，2003年第三版；第一版在1992年国家教委举的第二届全国优秀教材评选中获"全国优秀教材奖")．2、数学模型与计算机模拟，江裕钊、辛培情编，电子科技大学出版社，(1989)．3、数学模型选谈(走向数学从书)，华罗庚，王元著，王克译，湖南教育出版社；(1991)．4、数学建模--方法与范例，寿纪麟等编，西安交通大学出版社(1993)．5、数学模型，濮定国、田蔚文主编，东南大学出版社(1994)．6..数学模型，朱思铭、李尚廉编，中山大学出版社，(1995)7、数学模型，陈义华编著，重庆大学出版社，(1995)8、数学模型建模分析，蔡常丰编著，科学出版社，(1995)．9、数学建模竞赛教程，李尚志主编，江苏教育出版社，(1996)．10、数学建模入门，徐全智、杨晋浩编，成都电子科大出版社，(1996).11、数学建模，沈继红、施久玉、高振滨、张晓威编，哈尔滨工程大学出版社，(1996).12、数学模型基础，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，(1996).13、数学模型方法，齐欢编著，华中理工大学出版社，(1996)．14、数学建模与实验，南京地区工科院校数学建模与工业数学讨论班编，河海大学出版社，(1996)．15、数学模型与数学建模，刘来福、曾文艺编，北京师范大学出版杜(1997)．16.数学建模，袁震东、洪渊、林武忠、蒋鲁敏编，华东师范大学出版社.17、数学模型，谭永基，俞文吡编，复旦大学出版社，(1997)．18、数学模型实用教程，费培之、程中瑗层主编，四川大学出版社，(1998)．19、数学建模优秀案例选编(工科数学基地建设丛书)，汪国强主编，华南理工大学出版社，(1998)．20、经济数学模型(第二版)(工科数学基地建设丛书)，洪毅、贺德化、昌志华编著，华南理工大学出版社，(1999)．21、数学模型讲义，雷功炎编，北京大学出版社(1999)．22、数学建模精品案例，朱道元编著，东南大学出版社，(1999)，23、问题解决的数学模型方法，刘来福，曾文艺编著、北京师范大学出版社，(1999)．24、数学建模的理论与实践，吴翔，吴孟达，成礼智编著，国防科技大学出版社，(1999)．25、数学建模案例分析，白其岭主编，海洋出版社，(2000年，北京)．26、数学实验(高等院校选用教材系列)，谢云荪、张志让主编，科学出版社，(2000)．27、数学实验，傅鹏、龚肋、刘琼荪，何中市编，科学出版社，(2000)．28、数学建模与数学实验，赵静、但琦编，高等教育出版社，(2000).国外参考书(中译本)1、数学模型引论，E．A。Bender著，朱尧辰、徐伟宣译，科学普及出版社(1982).2、数学模型，[门]近藤次郎著，官荣章等译，机械工业出版社，(1985)．3、微分方程模型，(应用数学模型丛书第1卷)，[美]W．F．Lucas主编，朱煜民等译，国防科技大学出版社，(1988)．4、政治及有关模型，(应用数学模型丛书第2卷)，[美W．F．Lucas主编，王国秋等译，国防科技大学出版社，(1996)．5、离散与系统模型，(应用数学模型丛书第3卷)，[美w．F．Lucas主编，成礼智等译，国防科技大学出版社，(1996)．6、生命科学模型，(应用数学模型丛书第4卷)，[美1W．F．Lucas主编，翟晓燕等译，国防科技大学出版社，(1996)．7、模型数学--连续动力系统和离散动力系统，[英1H．B．Grif6ths和A．01dknow著，萧礼、张志军编译，科学出版社，(1996)．8、数学建模--来自英国四个行业中的案例研究，(应用数学译丛第4号)，英]D．Burglles等著，叶其孝、吴庆宝译，世界图书出版公司，(1997)专业性参考书(这方面书籍很多，仅列几本供参考)：1、水环境数学模型，[德]W．KinZE1bach著，杨汝均、刘兆昌等编纂，中国建筑工业出版社，(1987)．2、科技工程中的数学模型，堪安琦编著，铁道出版社(1988)3、生物医学数学模型，青义学编著，湖南科学技术出版杜(1990)．4、农作物害虫管理数学模型与应用，蒲蛰龙主编，广东科技出版社(1990)．5、系统科学中数学模型，欧阳亮编著，E山东大学出版社，(1995)．6、种群生态学的数学建模与研究，马知恩著，安徽教育出版社，(1996)7、建模、变换、优化--结构综合方法新进展，隋允康著，大连理工大学出版社，(1986)8、遗传模型分析方法，朱军著，中国农业出版社(1997)．(中山大学数学系王寿松编辑，2001年4月)过程模型准备了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。模型假设根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。模型建立在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。模型求解利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。模型分析对所得的结果进行数学上的分析。模型检验将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。模型应用应用方式因问题的性质和建模的目的而异。1、努力学习数学知识，完善自己的知识体系，尤其是与数学相关的知识体系，比如高等数学、工程数学和应用数学的相关知识；2、扩充自己的知识面，你可以看到很多赛题都是很现实的社会热点问题，相关的背景知识是非常必要的；3、多看一些案例分析的教程，在学习案例分析时的注意点是：如何考虑现实问题中的各个因素，综合运用所学知识，建立适当的模型；如何进行模型的优化；如何求解模型；如何解释模型的解。还要逐步去理解数学建模中最难的三个问题，1、如何用学到的数学思想来表述所面对的问题，所谓的建模。2、应用学到的数学知识解刚刚建立的数学模型，并进行优化。3、将刚刚得到的数学上的解解释为现实问题中的现象或者是方法。这三个过程体现了一个“现实——>数学——>现实”的一个过程。这其实就是最难的地方。这需要你首先了解面临的实际问题，然后从现实中转入数学，再从数学中跳出来回到现实。4、说到matlab，我建议你借一本matlab手册做参考书就行了！毕竟matlab只是实现你数学模型的基础，这不是说matlab不重要，其实matlab也很重要！祝你快乐！

J. 请推荐几本数学建模大赛用的参考书

http://bbs.ok6ok.com/search.php?
http://bbs.ok6ok.com/read.php?tid=165059&keyword=%BD%A8%C4%A3

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