四川大学数学分析考研试题

1. 数学分析，级数考研题

设f(x) = x^a, 由Lagrange中值定理,
对任意x ∈ (0,1), 存在y ∈(x,1),
使(f(1)-f(x))/(1-x) = f'(y) = ay^(a-1) > a (∵y ∈(0,1), a ∈(0,1)),
即得(1-x^a)/a > 1-x.

在上式中取x = n/(n+1), 得(1-n^a/(n+1)^a)/a > 1/(n+1),
整理得1/(n^a(n+1)) < 1/a·(1/n^a-1/(n+1)^a).
对n取遍全体正整数求和, 即得:
∑{1 ≤ n} 1/(n^a(n+1)) < 1/a·∑{1 ≤ n} (1/n^a-1/(n+1)^a) = 1/a.
首先, 易知f(x)在[0,1]有上界,
从而可设M为f(x)在[0,1]上的上确界.
对任意正整数k, 由f[k](x) ≥ f(x),
可知f[k](x)在[0,1]上的最大值 ≥ M.
因此集合E[k] = {x ∈ [0,1] | f[k](x) ≥ M} ≠ ∅.

由f[k](x)连续, E[k]为闭集.
又由f[1](x) ≥ f[2](x) ≥..., 有E[1] ⊇ E[2] ⊇...
即E[k]是[0,1]中一列递减的非空闭集.
由"闭集套定理", 它们的交非空.
即存在c ∈ [0,1], 满足f[k](c) ≥ M, 对任意k成立.
于是f(c) ≥ M, 即得f(x)在x = c处取得最大值.

所谓"闭集套定理"是指"闭区间套定理"的简单推广,
一样可使用有限覆盖定理证明.
记F(x) = ∫{0,x} sin(t)/t dt (x ≥ 0).
则F(x)在x = π, 3π, 5π,...处取得极大值,
进而可知其在x = π处取得最大值.
另一方面F(x)在x = 2π, 4π, 6π,...处取得极小值,
进而可知其在x = 0处取得[0,+∞)上的最小值.
因此|∫{a,b} sin(t)/t dt| = |F(b)-F(a)| ≤ F(π)-F(0) ≤ 3.
对0 ≤ a < b, 可设x[n-1] < a ≤ x[n], x[m] ≤ b < x[m+1].
|∫{a,b}f(x)dx| ≤ |∫{a,x[n]}f(x)dx|+|∫{x[n],x[m]}f(x)dx|+|∫{x[m],b}f(x)dx|
≤ |∫{x[n-1],x[n]}f(x)dx|+|∫{x[n],x[m]}f(x)dx|+|∫{x[m],x[m+1]}f(x)dx|.
当a → +∞, 有n, m → ∞.
根据Cauchy收敛准则, 右端三项都收敛到0.
从而|∫{a,b}f(x)dx|也收敛到0, 再由Cauchy收敛准则即知积分收敛.
可以用积分余项.
设g(x)为f(x)的n阶导数, 则g(x)在[a,a+r]非负.
对x ∈ [a,a+r], 展开到n-1阶的余项为:
R(x) = 1/(n-1)!·∫{a,x} g(t)·(x-t)^(n-1) dt.
易见(x-t)/(a+r-t)关于t单调递减, 故(x-t)/(a+r-t) ≤ (x-a)/r.
因此R(x) ≤ 1/(n-1)!·((x-a)/r)^(n-1)·∫{a,x} g(t)·(a+r-t)^(n-1) dt
≤ 1/(n-1)!·((x-a)/r)^(n-1)·∫{a,a+r} g(t)·(a+r-t)^(n-1) dt
= ((x-a)/r)^(n-1)·R(a+r)
≤ ((x-a)/r)^(n-1)·f(a+r).
对x ∈ [a,a+r), 上式随n → ∞收敛到0.
对我来说, 第1步裂项是比较自然的.
后面Cauchy不等式的用法技巧性较强,
在某些分析领域, 可以见到这种估计目标在两端都出现的技术,
不过我学的不好, 就不妄加评论了.
我的话会证明∑k/A[k]有界, 因为见过这道题目.

2. 数学分析题目，求解！！

证明：因为当x趋于0时，由洛必达法则知道
lim g(x)/x=lim g‘(x)=f(0)，于是题设广义积分中x＝0不是瑕点。
另外，lim g^2(x)/x=lim 2gg'(x)=2g(0)*g'(0)=0。
因此对任意的X>0，有
积分（从0到X）g^(x)/x^2dx＝积分（从0到X）g^2(x)d(－1/x)
＝－g^2(x)/x|上限X下限0+积分（从0到X）2g(x)g'(x)/xdx
由于－g^2(X)/X<=0，g'(x)=f(x)，因此上式
<=2积分（从0到X）g(x)/x *f(x) dx
由Cauchy－Schwartz不等式有
<=2 【积分（从0到X）g^2(x)/x^2dx】^(1/2) *【积分（从0到X）f^2(x)dx】^(1/2)
解此不等式得
积分（从0到X）g^2(x)/x^2dx<=4积分（从0到X）f^2(x)dx，
于是广义积分收敛，且题设不等式成立。

3. 关于川大数学考研！！！

四川大学基础数学考研研究方向有哪些呢？
各个学校每年的专业设置及研究方内向会根据实容际情况有所变动，考生需登录四川大学研究生院官网，具体的就要查看院校每年公布的研究生招生简章、招生专业目录。2013年基础数学专业考研的研究方向有：
01 拓扑学
02 代数学
03 数论
04 微分方程与动力系统
05 微分几何
06 泛函分析
二、四川大学基础数学考研考哪些科目呢？
基础数学专业考研招生院校比较多，基础数学专业的研究生入学考试分为初试和复试，具体考试科目考生可以登录四川大学研究生招生网进行查询。2013年基础数学专业考研科目为：
初试科目：
① 101 思想政治理论
② 201 英语一
③ 652 数学分析
④ 931 高等代数
复试科目：复变函数、泛函分析、常微分方程、近世代数
每个院校专业课的考试科目可能会有变化，而且每年的招生专业也会有变化，所以在选
择报考专业时，一定要去报考院校的研究生信息网查询该专业最新的研究方向及考试科

4. 一道 考研 数学

这个是数一的题，还是《数学分析》的题？
因为此数列是单调有界数列，所以必有极限。（如果你考的是《数学分析》，此处需要证明，如果是数一可以略。）
设{X（n+1）}的极限为x，X（n+1）（此处n+1是下标），则Xn的极限也是x。
根据题意
X（n+1）=2+1/Xn;即X=2+1/X解此方程得
X=1+√2;X=1-√2(舍去）；
故此极限为1+√2；
PS:“arafat111”同学，如果是数一的题，题目给出求limXn.即可认为题目首先确定{Xn}极限存在，因此也就不必再证明{Xn}极限存在。如果是数学分析的题，那么这道题的问法有问题，应该是“判定{Xn}极限是否存在，若存在求出其极限”

再有：完全不必分别找出奇偶序列的极限，因为“(1){Xn}收敛，则其极限唯一;
(2){Xn}收敛于a等价于{Xn}的任意子列{Xnk}收敛于a”

所以你的以下解题步骤是再浪费时间“则奇，偶数列极限分别存在，设其为奇数列极限为A ,偶数列极限为B
由X2k=2+1/x[2k-2] 有A=2+1/A 解得 A=1+√2 (负的舍掉)
同理B=1+√2 (负的舍掉)
所以A=B 即奇数子数列极限=偶数子数列极限 所以xn 极限存在
设其极限为C
算法同A,B 得xn的极限为1+√2”

还有你的{Xn}极限存在的证明使用的是什么原理。看其来只有闭区间套定理与你的证明相近，如果是这个定理，那你的证明不完整。
（如果你看见我的疑问请告诉我你证明极限存在用的什么定理，我在《数学分析》复旦版，和《数学分析新讲》北大出版社，这两本数都没有发现和你的证明符合的定理，希望你能告诉我，以提高一下视野，谢谢）
首先设其奇数子列为an，偶数子列为bn，证出an单增，bn单减，再证明出
lim(an-bn)=0;你没有给出这一部的证明。