全国大学生数学竞赛试题及答案数学类

㈠ 哪里可以搞到历届全国大学生数学竞赛 数学类 试题及解答

去网上找找或是到全国大学生数学竞赛官方网站也行

㈡ 全国大学生数学竞赛数学类

大部分可以用高数的方法解答，毕竟这是全国性的！！
不一定，你对别的科目也很得手，可以参加另外的科目！！！

㈢ 请问有往年全国大学生数学竞赛真题吗（数学类）

这种是全国统一出卷的,网络一下全国大学生数学竞赛非数学类试题 就好了

㈣ 求全国大学生数学竞赛（预赛和决赛）非专业类的试题及答案！

所以
1
2
(1)
t
u
e
ψ
=
′
=
=
，知
3
1
1
−
=
e
C
.

∫
∫
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
2
1
2
1
3
1
1
2
1
2
3
)
)
3
(
3
(
)
3
)(
1
(
)
(
C
t
C
t
C
t
dt
C
t
C
t
dt
C
t
t
t
ψ
，
由
e
2
3
)
1
(
=
ψ
，知
，于是
2
2
=
C
3
2
1
1
(
)
(
3)
2
(
1)
2
t
t
t
t
t
e
e
ψ
=
+
+
−
+
>
−
.
…
（
15
分）

四（本题共
15
分）
、设
1
0,
n
n
n
k
a
S
=
>
=
k
a
∑
，
证明：

（
1
）当
1
α
>
时，级数
1
n
n
n
a
S
α
+∞
=
∑
收敛；

（
2
）当
1
α
≤
，且
（
n
）
时，级数
n
S
→
∞
→
∞
1
n
n
n
a
S
α
+∞
=
∑
发散
.

证明

令
1
1
(
)
,
[
,
]
n
n
f
x
x
x
S
S
α
−
−
=
∈
.

将
(
)
f
x
在区间
上用拉格朗日中值定
理，

1
[
,
n
n
S
S
−
]
)
存在
1
(
,
n
n
S
S
ξ
−
∈

1
1
(
)
(
)
(
)(
)
n
n
n
n
f
S
f
S
f
S
S
ξ
−
−
′
−
=
−

即

………………
（
5
分）

1
1
1
(1
)
n
n
S
S
α
α
α
α
ξ
−
−
−
−
−
=
−
n
a
（
1
）当
1
α
>
时，
1
1
1
1
1
(
1)
(
1)
n
n
n
n
a
a
S
S
S
n
α
α
α
α
α
ξ
−
−
−
−
=
−
≥
−
α
.

显然
1
1
1
1
1
n
n
S
S
α
α
−
−
−
⎧
⎫
−
⎨
⎬
⎩
⎭
的
前
n
项和有界，
从而收敛，
所以级数
1
n
n
n
a
S
α
+∞
=
∑
收敛
.

……………
（
8
分）

（
2
）当
1
α
=
时
，
因为
，
单调递增，所以

0
n
a
>
n
S
1
1
1
1
n
p
n
p
n
p
n
k
n
k
k
n
k
n
k
n
p
n
p
n
S
S
a
S
a
S
S
S
S
+
+
+
=
+
=
+
p
+
+
+
−
≥
=
=
−
∑
∑

因为
对任意
n
，
当
n
S
→
+∞
p
∈
󰁠
1
2
n
n
p
S
S
+
<
，
从而
1
1
2
n
p
k
k
n
k
a
S
+
=
+
≥
∑
.

所以级数
1
n
n
n
a
S
α
+∞
=
∑

发散
.

………………
（
12
分）

当
1
α
<
时，
n
n
n
a
a
S
S
α
≥
n
.

由
1
n
n
n
a
S
+∞
=
∑
发散及比较判别法
，
1
n
n
n
a
S
α
+∞
=
∑
发散
.
………
（
15
分）

5

五（本题共
15
分）
、
设
l
是过原点，方向为
(
,
（
其中
）
的直
线，均匀椭球
,
)
α
β
γ
2
2
2
1
α
β
γ
+
+
=
2
2
2
2
2
2
1
x
y
z
a
b
c
+
+
≤
（其中
0 <
c
<
b
<
a
，
密度为
1
）
绕
l
旋转
.

(1
)

求其转动惯量；
(2)
求其转动惯量关于方
向
(
,
的最大值和最小值
.

,
)
α
β
γ
解

(1)

设旋转轴
l
的方向向量为
，
椭球内任意一点
P(
x,y,z
)
的径向量
为
，
则点
P
到旋转轴
l
的距离的平方为

(
,
,
)
α
β
γ
=
l
r
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(1
)
(1
)
(1
)
2
2
2
d
x
y
z
xy
yz
xz
α
β
γ
αβ
βγ
α
=
−
⋅
=
−
+
−
+
−
−
−
−
r
r
l
γ

由积分区域的对称性可知

(2
2
2
)
0
xy
yz
xz
dxdydz
αβ
βγ
αγ
Ω
+
+
=
∫∫∫
，
其中
2
2
2
2
2
2
(
,
,
)
1
x
y
z
x
y
z
a
b
c
⎧
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
Ω
=
+
+
≤
⎨
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭

………………
（
2
分
）

而
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
1
4
1
15
a
a
y
z
x
b
c
a
a
a
x
a
bc
x
dxdydz
x
dx
dydz
x
bc
dx
a
π
π
+
≤
−
Ω
−
−
⎛
⎞
⎟
⎜
⎟
=
=
⋅
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∫∫∫
∫
∫∫
∫

（
或
2
1
3
2
2
2
2
2
2
0
0
0
4
sin
cos
sin
15
a
bc
x
dxdydz
d
d
a
r
abcr
dr
π
π
π
θ
ϕ
ϕ
θ
ϕ
Ω
=
⋅
=
∫∫∫
∫
∫
∫
）

3
2
4
15
ab
c
y
dxdydz
π
Ω
=
∫∫∫
，
3
2
4
15
abc
z
dxdydz
π
Ω
=
∫∫∫

……………
（
5
分）

由转到惯量的定义

(
)
2
2
2
2
2
4
(1
)
(1
)
(1
)
15
l
abc
J
d
dxdydz
a
b
c
π
α
β
γ
Ω
=
=
−
+
−
+
−
∫∫∫
2
2
c
……………
（
6
分）

(2)

考
虑
目
标
函
数

在
约
束

下的条件极值
.

2
2
2
2
2
2
(
,
,
)
(1
)
(1
)
(1
)
V
a
b
α
β
γ
α
β
γ
=
−
+
−
+
−
2
2
2
1
α
β
γ
+
+
=
设拉格朗日函数为

2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
,
,
,
)
(1
)
(1
)
(1
)
(
1)
L
a
b
c
α
β
γ
λ
α
β
γ
λ
α
β
γ
=
−
+
−
+
−
+
+
+
−

…………………
（
8
分）

令
，
，
，

2
2
(
)
0
L
a
α
α
λ
=
−
=
2
2
(
)
0
L
b
β
β
λ
=
−
=
2
2
(
)
0
L
c
γ
γ
λ
=
−
=
2
2
2
1
0
L
λ
α
β
γ
=
+
+
−
=

6

解得极值点为
，
，

.……
（
12
分）

2
1
(
1,0,0,
)
Q
a
±
2
2
(0,
1,0,
)
Q
b
±
2
3
(0,0,
1,
)
Q
±
c
比较可知，绕
z
轴（短轴）的转动惯量最大，为
(
)
2
2
max
4
15
abc
J
a
π
=
+
b
；
绕
x
轴
（长轴）
的转动惯量最小，
为
(
2
2
min
4
15
abc
J
b
π
=
)
c
+
.

………
（
15
分）

六（本题共
15
分）
、设函数
(
)
x
ϕ
具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简
单闭曲线
C
上，曲线积分
4
2
2
(
C
)
xydx
x
dy
x
y
ϕ
+
+
∫
v
1
的值为常数
.

(1)
设
为正向闭曲线
.

证明
:

L
2
2
(
2)
x
y
−
+
=
4
2
2
(
)
0
L
xydx
x
dy
x
y
ϕ
+
=
+
∫
v
；

(2)

求函数
(
)
x
ϕ
；

(3)

设
C
是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
4
2
2
(
C
)
xydx
x
dy
x
y
ϕ
+
+
∫
v
.

解

(1)

设
4
2
2
(
)
L
xydx
x
dy
I
x
y
ϕ
+
=
+
∫
v
，闭曲线
L
由
,
1,
i
L
i
2
=
组成
.

设
0
L
为不经过原点
的光滑曲线，
使得
0
1
L
L
−
∪
（其中
1
L
−
为
1
L
的反向曲线）
和
0
2
L
L
∪
分别组成围绕
原点的分段光滑闭曲线
,
C
i
1,
2
i
=
.

由曲线积分的性质和题设条件

1
2
2
0
0
1
4
2
4
2
4
2
2
(
)
2
(
)
2
(
L
L
L
L
L
L
L
)
xydx
x
dy
xydx
x
dy
xydx
x
dy
x
y
x
y
x
y
ϕ
ϕ
−
+
+
=
+
=
+
−
−
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
v
ϕ
+
+

1
2
4
2
2
(
)
0
C
C
xydx
x
dy
I
I
x
y
ϕ
+
=
+
=
−
=
+
∫
∫
v
v

……………
（
5
分）

(2)

设
4
2
4
2
(
(
,
)
,
(
,
)
2
)
xy
x
P
x
y
Q
x
y
x
y
x
ϕ
=
=
+
+
y
.

令
Q
P
x
y
∂
∂
=
∂
∂
，
即

4
2
3
5
4
2
2
4
2
2
(
)(
)
4
(
)
2
2
(
)
(
2
)
x
x
y
x
x
x
xy
x
y
x
y
ϕ
ϕ
′
+
−
−
=
+
+
，
解
得
2
(
)
x
x
ϕ
=
−

……………………
（
10
分）

(3)

设
D
为正向闭曲线
所围区域，由
(1)

4
2
:
a
C
x
y
+
=
1
7

2
4
2
4
2
2
(
)
2
a
C
C
xydx
x
dy
xydx
x
dy
x
y
x
y
ϕ
+
−
=
+
+
∫
∫
v
v

…………………
（
12
分）

利
用
Green
公式和对称性，

2
4
2
2
(
)
2
4
a
a
C
C
D
xydx
x
dy
xydx
x
dy
x
dxdy
x
y
（
ϕ
+
=
−
=
−
=
+
∫
∫
∫∫

㈤ 全国大学生数学竞赛试题及答案（非数学专业）

我就是要参加数学竞赛的，个人觉得应该是积分，尤其是后来对曲面曲线的积分等，各种公式如高斯，格林等还有最基础的泰勒洛必达和等价无穷小掌握好。

㈥ 谁有第三届全国大学生数学竞赛试题答案（数学类）答案

有赛区赛的答案。要的话请留下邮箱！

㈦ 求2010全国大学生数学竞赛（数学类）预赛试题及答案。

一楼啊。。你没有就不要说废话了。。。

㈧ 求近几年的全国大学生数学竞赛试题及答案

2010年全国大学生数学专业竞赛试题及解答
（1）计算积分
解方法一 直接利用分部积分法得


；
方法二 不妨设 ，由于 ，
而积分 关于 在 上一致收敛，故可交换积分次序

；
方法三 将 固定，记 ， 可证 在 上收敛．
设 因为 ，而 收敛，
所以由Weierstrass判别法知道 对 一致收敛．所以可以交换微分运算和积分运算的次序，即
．
由 的任意性，上式在 上成立．
所以 ，由于 所以 ，
即 ．

(2)若关于 的方程 ， 在区间 内有唯一的实数解，求常数 .
解：设 ，则有 ，
当 时， ；当 时， .
由此 在 处达到最小值，
又 在 内有唯一的零点，
必有 ， ，
， ，
所以 .
（3）设函数 在区间 上连续，由积分中值公式，有 ， ，若导数 存在且非零，
求 .
解： ，
，
由条件，可知
，
，
故有 .
二、设函数 在 附近可微， ， ,
定义数列 .
证明： 有极限并求其值.
证明：由导数的定义，
对于任意 ,存在 ，当 时，有 .
于是 ，
从而，当 时，有 ，
，其中 .
对于上式求和，得到
，
即 ，
令 ，有
,
由 的任意性，得到 .
设 在 上有定义，在 处可导，且 .
证明： .

三、设函数 在 上一致连续，且对任何 ，有 ，
证明： 。
试举例说明，仅有 在 上的连续性推不出上述结论。
证明 证法一
由 在 上一致连续，对 ， ，
当
且 时，
便有 ；
取定充分大的正整数 ，使得 。现把区间 等分，设其分点为 ，每个小区间的长度小于 。
对于任意 ， ；
从而必有 ，使得 ；
由条件对每个 ，有 ；
于是存在 ，当 时， ，对 都成立；
故当 时，便有
，
即得 ，结论得证。
证法二 设 ,由题设条件知
在 上等度一致连续,对每一 ,有 ;
利用Osgood定理得, 在 上一致收敛于0,
对 ,存在 ，当 时,
有 , ,
从而当 时,有 ,
即得 ，结论得证。

设 在 上的连续，且对任何 ，
有 ，但推不出 。
例如函数
满足在 上的连续，且对任何 ，有 ，
但不成立 。

四、设 ， 在 内连续， 在 内连续有界，且满足条件：
当 时， ；
在 中 与 有二阶偏导数，
， .
证明： 在 内处处成立.
证明：设 ，
则有
.
于是 ， ， ;
由已知条件，存在 ，当 时，
有 ， .
记 ，
设 ，我们断言，必有 ，
假若 ，则必有 ，使得 ；
易知 ， .

这与 矛盾，
所以
从而 ， ；
由 的任意性，得
， .
故在 内处处成立 .
五、 设 .
考虑积分 ， ，定义 ，
(1)证明 ；
(2)利用变量替换： ，计算积分 的值，并由此推出 .
证明：（1）由 ，在 上一致收敛，可以进行逐项积分

，
又 ，
所以 关于 是一致收敛的，可以逐项求极限，
于是有 .
故有 ；
(2) ,
,

注意到区域 关于 轴对称

;

;

;
或者利用分部积分,得

,
于是 ,
故 .
2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答

一、计算题
（1） 求极限
解法1 直接化为黎曼和的形式有困难.
注意到 ,
,
由于 ，
所以

.
解法2 利用 ，得
，
,
由于 ，
，
所以 .
（2）计算 ，
其中 为下半球 的上侧， .
解法一. 先以 代入被积函数，
，
补一块有向平面 ，其法向量与 轴正向相反，
利用高斯公式，从而得到

，
其中 为 围成的空间区域， 为 上的平面区域 ，
于是

.
解法二. 直接分块积分
，
其中 为 平面上的半圆 ， .
利用极坐标，得
，

，
其中 为 平面上的圆域， ，
用极坐标，得

，
因此 .
（3）现要设计一个容积为 的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位面积 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？
解：设圆柱体的高为 ，底面直径为 ，费用为 ，
根据题意，可知 ，

，
当且仅当 时，等号成立，
，
故当 时，所需要的费用最少.
（4）已知 在 内满足 求 .
解：
，

，

所以， .
二、 求下列极限.
（1） ；
（2） ，其中 ， ， .
解：（1）

.
（2）
，

，
故 .
一般地，有 ，其中 ， ，

.
三．设 在 点附近有定义，且在 点可导， ， ，
求 .
解：

.

四、 设 在 上连续，无穷积分 收敛，求 .
解：设 ，由条件知， ，
，
利用分部积分，得
，
，
，
于是
.

五．设函数 在 上连续，在 内可微，且 ， .
证明：（1）存在 ，使得 ；
（2）对于每一 ，存在 ，使得 .
证明：（1）令 ，
由题设条件，可知 ，
；
利用连续函数的介值定理，得
存在 ，使得 ，即 .
（2）令 ，
由题设条件和（1）中的结果，可知，
， ；
利用罗尔中值定理，得
存在 ，使得 ，
由 ，
即得 .

六、 试证：对每一个整数 ，成立
.
分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.
证明：显然 时，不等式成立；
下设 .
由于 ，
这样问题等价于证明
，
即
，
令 上式化为
，
从而等价于 ，
只要证明 ，
设 ，则只要证明
， ，
就有 ，
，
则问题得证.
以下证明 ， ，成立
上式等价于 ，
即 ，
令 ，
则 ，并且对 ，有

，
从而当 时， ，
这样问题得证.
注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.
六、设 为整数， ，证明方程 ，在 上至少有一个根.
六、 证明：存在 ，使得 .
证明：令 ，
则有 ，

，
由连续函数的介值定理，得
存在 ，使得 ，
故问题得证.
这里是由于 ， ，
在 上严格单调递减，
所以，当 时，有 .
七、 是否存在 上的可微函数 ，使得 ，若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。
证明 如果这样的函数 存在，
我们来求 的不动点，即满足 的 ，
，
，
由此得 ，这表明 有唯一的不动点 ，易知 也仅有唯一的不动点 ， ，在等式 ，两边对 求导，得
，
让 ，即得 ，这是不可能的，故这样的函数不存在。
八、设函数 在 上一致连续，且对任何 ，有 ，
证明： 。
试举例说明，仅有 在 上的连续性推不出上述结论。
证明
由 在 上一致连续，对 ， ，
当
且 时，
便有 ；
取定充分大的正整数 ，使得 。现把区间 等分，设其分点为 ，每个小区间的长度小于 。
对于任意 ， ；
从而必有 ，使得 ；
由条件对每个 ，有 ；
于是存在 ，当 时， ，对 都成立；
故当 时，便有
，
即得 ，结论得证。

设 在 上的连续，且对任何 ，有 ，
但推不出上述结论。
例如函数
满足在 上的连续，且对任何 ，有 ，
但不成立 。
高等数学竞赛试题7答案
一、求由方程 所确定的函数 在 内的极值，并判断是极大值还是极小值.
解：对 两边求导得 ，
令 得 ，代入原方程解得 .
.
故当 时， 取极大值 .
二、设 ，求 , .
解： = ,
=
三、计算曲线积分 ，其中 是以点（1，0）为中心， 为半径的圆周 ,取逆时针方向.
解： , , 当 时, ， 当 时 ,由格林公式知, .
当 时, ,作足够小的椭圆曲线 , 从 到 .
当 充分小时, 取逆时针方向,使 ,于是由格林公式得 ，
因此 = =
四、设函数 在 内具有连续的导数，且满足
，
其中 是由 所围成的闭区域，求当 时 的表达式.
解：
= ,
两边对 求导得
，且 ，
这是一个一阶线性微分方程，解得

五、设 ，求级数 的和.

解：令 , 则
= .

.
.

= = ,

六、设 在 上连续且单调增加，试证：对任意正数 ， ，恒有
.
解：令 ，
则 ,
=

= ,
于是 .
七、设 具有连续偏导数，由方程 =0确定隐函数 ，求 .
解：两边对 求偏导得 ,
两边对 求偏导得 ,
， , =1.
八、设 ，判别数列 的敛散性.
解：定义 ，令 ，则 ,
当 时， ,
= .
, 由 可知 收敛，从而 收敛.
九、设半径为 的球面 的球心在球面 ： 上，问当 为何值时，球面 在球面 内部的那部分面积最大？
解：由对称性可设 的方程为 ，球面 被球面 所割部分的方程为 ，
, ,
.
球面 与球面 的交线在 平面的投影曲线方程为 ，令
所求曲面面积为 ,
= .
令 得驻点 ,
容易判断当 时，球面 在球面 内部的那部分面积最大.
十.计算 ，其中曲线弧 为： ， .
解： , (1) ,
， (2)
将(1)、(2)代入 得
= =4.
十一.计算曲面积分 ，其中 是曲面 被平面 所截出部分的上侧.
解：记 为 平面上被园 所围成的部分的下侧， 为由 与 围成的空间闭区域.由高斯公式知

=
=
=2 .
=3