清华大学线代第二版第三章答案
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《线性代数学习指导(第2版)》是《线性代数》(第4版)(陈卫星,崔书英,清华大学出版社,2014)的辅助教材。每章包括说明与要求、内容提要、典型例题分析、自测题、自测题参考答案与提示5部分内容。每章对重要概念、定理、公式进行了简明扼要的总结归纳,重点突出,层次清晰,便于读者记忆和掌握;每章归纳出各种基本题型并详细介绍了各种题型的解题方法和技巧,选题广泛且具代表性;每章配两种类型习题:客观题(填空和选择题)、计算题和证明题,读者可以借此进行基本训练,提高独立解题能力;每章后面给出习题参考答案,部分习题给出了解法或提示,以适于读者自学。
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㈧ 一道线性代数的证明题:清华大学版线性代数第三章习题补充题第64题
证明: (1)设y1是Ay=b的解, 则 Ay1=b
所以b^T = y1^TA^T
所以 b^Tx = y1^TA^Tx = 0
即有 b1x1+b2x2+...+bmxm = 0.
(2) 最后一个方程组记为方程组(*)
必要性.
由(1)知, 当Ay=b有解时,A^Tx=0的解必有 b^Tx=0, 而不是b^Tx=1.
故方程组(*)无解.
充分性.
由于方程组(*)的增广矩阵(A^T,0; b^T,1)中最后一行不能由其余行线性表示
所以 r(A^T,0; b^T,1) = r(A^T,0)+1 = r(A^T)+1
因为方程组(*)无解, 所以r(A^T,0; b^T,1) = r(A^T;b^T)+1
所以 r(A^T;b^T)=r(A^T)
即 r(A,b) = r(A)
故Ay=b有解.
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