大学数学试题及答案
㈠ 求这几道大学数学题目的答案及解析
如图
㈡ 往届河北省大学生数学竞赛（数学类）试题以及答案（河北省数学会组织的）
（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.
4.
高阶导数
㈢ 求近几年的全国大学生数学竞赛试题及答案
2010年全国大学生数学专业竞赛试题及解答
（1）计算积分
解方法一 直接利用分部积分法得
；
方法二 不妨设 ，由于 ，
而积分 关于 在 上一致收敛，故可交换积分次序
；
方法三 将 固定，记 ， 可证 在 上收敛．
设 因为 ，而 收敛，
所以由Weierstrass判别法知道 对 一致收敛．所以可以交换微分运算和积分运算的次序，即
．
由 的任意性，上式在 上成立．
所以 ，由于 所以 ，
即 ．
(2)若关于 的方程 ， 在区间 内有唯一的实数解，求常数 .
解：设 ，则有 ，
当 时， ；当 时， .
由此 在 处达到最小值，
又 在 内有唯一的零点，
必有 ， ，
， ，
所以 .
（3）设函数 在区间 上连续，由积分中值公式，有 ， ，若导数 存在且非零，
求 .
解： ，
，
由条件，可知
，
，
故有 .
二、设函数 在 附近可微， ， ,
定义数列 .
证明： 有极限并求其值.
证明：由导数的定义，
对于任意 ,存在 ，当 时，有 .
于是 ，
从而，当 时，有 ，
，其中 .
对于上式求和，得到
，
即 ，
令 ，有
,
由 的任意性，得到 .
设 在 上有定义，在 处可导，且 .
证明： .
三、设函数 在 上一致连续，且对任何 ，有 ，
证明： 。
试举例说明，仅有 在 上的连续性推不出上述结论。
证明 证法一
由 在 上一致连续，对 ， ，
当
且 时，
便有 ；
取定充分大的正整数 ，使得 。现把区间 等分，设其分点为 ，每个小区间的长度小于 。
对于任意 ， ；
从而必有 ，使得 ；
由条件对每个 ，有 ；
于是存在 ，当 时， ，对 都成立；
故当 时，便有
，
即得 ，结论得证。
证法二 设 ,由题设条件知
在 上等度一致连续,对每一 ,有 ;
利用Osgood定理得, 在 上一致收敛于0,
对 ,存在 ，当 时,
有 , ,
从而当 时,有 ,
即得 ，结论得证。
设 在 上的连续，且对任何 ，
有 ，但推不出 。
例如函数
满足在 上的连续，且对任何 ，有 ，
但不成立 。
四、设 ， 在 内连续， 在 内连续有界，且满足条件：
当 时， ；
在 中 与 有二阶偏导数，
， .
证明： 在 内处处成立.
证明：设 ，
则有
.
于是 ， ， ;
由已知条件，存在 ，当 时，
有 ， .
记 ，
设 ，我们断言，必有 ，
假若 ，则必有 ，使得 ；
易知 ， .
这与 矛盾，
所以
从而 ， ；
由 的任意性，得
， .
故在 内处处成立 .
五、 设 .
考虑积分 ， ，定义 ，
(1)证明 ；
(2)利用变量替换： ，计算积分 的值，并由此推出 .
证明：（1）由 ，在 上一致收敛，可以进行逐项积分
，
又 ，
所以 关于 是一致收敛的，可以逐项求极限，
于是有 .
故有 ；
(2) ,
,
注意到区域 关于 轴对称
;
;
;
或者利用分部积分,得
,
于是 ,
故 .
2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答
一、计算题
（1） 求极限
解法1 直接化为黎曼和的形式有困难.
注意到 ,
,
由于 ，
所以
.
解法2 利用 ，得
，
,
由于 ，
，
所以 .
（2）计算 ，
其中 为下半球 的上侧， .
解法一. 先以 代入被积函数，
，
补一块有向平面 ，其法向量与 轴正向相反，
利用高斯公式，从而得到
，
其中 为 围成的空间区域， 为 上的平面区域 ，
于是
.
解法二. 直接分块积分
，
其中 为 平面上的半圆 ， .
利用极坐标，得
，
，
其中 为 平面上的圆域， ，
用极坐标，得
，
因此 .
（3）现要设计一个容积为 的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位面积 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？
解：设圆柱体的高为 ，底面直径为 ，费用为 ，
根据题意，可知 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
，
故当 时，所需要的费用最少.
（4）已知 在 内满足 求 .
解：
，
，
所以， .
二、 求下列极限.
（1） ；
（2） ，其中 ， ， .
解：（1）
.
（2）
，
，
故 .
一般地，有 ，其中 ， ，
.
三．设 在 点附近有定义，且在 点可导， ， ，
求 .
解：
.
四、 设 在 上连续，无穷积分 收敛，求 .
解：设 ，由条件知， ，
，
利用分部积分，得
，
，
，
于是
.
五．设函数 在 上连续，在 内可微，且 ， .
证明：（1）存在 ，使得 ；
（2）对于每一 ，存在 ，使得 .
证明：（1）令 ，
由题设条件，可知 ，
；
利用连续函数的介值定理，得
存在 ，使得 ，即 .
（2）令 ，
由题设条件和（1）中的结果，可知，
， ；
利用罗尔中值定理，得
存在 ，使得 ，
由 ，
即得 .
六、 试证：对每一个整数 ，成立
.
分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.
证明：显然 时，不等式成立；
下设 .
由于 ，
这样问题等价于证明
，
即
，
令 上式化为
，
从而等价于 ，
只要证明 ，
设 ，则只要证明
， ，
就有 ，
，
则问题得证.
以下证明 ， ，成立
上式等价于 ，
即 ，
令 ，
则 ，并且对 ，有
，
从而当 时， ，
这样问题得证.
注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.
六、设 为整数， ，证明方程 ，在 上至少有一个根.
六、 证明：存在 ，使得 .
证明：令 ，
则有 ，
，
由连续函数的介值定理，得
存在 ，使得 ，
故问题得证.
这里是由于 ， ，
在 上严格单调递减，
所以，当 时，有 .
七、 是否存在 上的可微函数 ，使得 ，若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。
证明 如果这样的函数 存在，
我们来求 的不动点，即满足 的 ，
，
，
由此得 ，这表明 有唯一的不动点 ，易知 也仅有唯一的不动点 ， ，在等式 ，两边对 求导，得
，
让 ，即得 ，这是不可能的，故这样的函数不存在。
八、设函数 在 上一致连续，且对任何 ，有 ，
证明： 。
试举例说明，仅有 在 上的连续性推不出上述结论。
证明
由 在 上一致连续，对 ， ，
当
且 时，
便有 ；
取定充分大的正整数 ，使得 。现把区间 等分，设其分点为 ，每个小区间的长度小于 。
对于任意 ， ；
从而必有 ，使得 ；
由条件对每个 ，有 ；
于是存在 ，当 时， ，对 都成立；
故当 时，便有
，
即得 ，结论得证。
设 在 上的连续，且对任何 ，有 ，
但推不出上述结论。
例如函数
满足在 上的连续，且对任何 ，有 ，
但不成立 。
高等数学竞赛试题7答案
一、求由方程 所确定的函数 在 内的极值，并判断是极大值还是极小值.
解：对 两边求导得 ，
令 得 ，代入原方程解得 .
.
故当 时， 取极大值 .
二、设 ，求 , .
解： = ,
=
三、计算曲线积分 ，其中 是以点（1，0）为中心， 为半径的圆周 ,取逆时针方向.
解： , , 当 时, ， 当 时 ,由格林公式知, .
当 时, ,作足够小的椭圆曲线 , 从 到 .
当 充分小时, 取逆时针方向,使 ,于是由格林公式得 ，
因此 = =
四、设函数 在 内具有连续的导数，且满足
，
其中 是由 所围成的闭区域，求当 时 的表达式.
解：
= ,
两边对 求导得
，且 ，
这是一个一阶线性微分方程，解得
五、设 ，求级数 的和.
解：令 , 则
= .
.
.
= = ,
六、设 在 上连续且单调增加，试证：对任意正数 ， ，恒有
.
解：令 ，
则 ,
=
= ,
于是 .
七、设 具有连续偏导数，由方程 =0确定隐函数 ，求 .
解：两边对 求偏导得 ,
两边对 求偏导得 ,
， , =1.
八、设 ，判别数列 的敛散性.
解：定义 ，令 ，则 ,
当 时， ,
= .
, 由 可知 收敛，从而 收敛.
九、设半径为 的球面 的球心在球面 ： 上，问当 为何值时，球面 在球面 内部的那部分面积最大？
解：由对称性可设 的方程为 ，球面 被球面 所割部分的方程为 ，
, ,
.
球面 与球面 的交线在 平面的投影曲线方程为 ，令
所求曲面面积为 ,
= .
令 得驻点 ,
容易判断当 时，球面 在球面 内部的那部分面积最大.
十.计算 ，其中曲线弧 为： ， .
解： , (1) ,
， (2)
将(1)、(2)代入 得
= =4.
十一.计算曲面积分 ，其中 是曲面 被平面 所截出部分的上侧.
解：记 为 平面上被园 所围成的部分的下侧， 为由 与 围成的空间闭区域.由高斯公式知
=
=
=2 .
=3
㈣ 求下面大学数学试题的答案
1）星期天
2）不是命题
3）
4）10，（18 = (6+6+4+5x)/2，得出x = 4，所以，总共有边 3+2+1+4）
5）n(n-1)/2，n为顶点数
6）看不懂题目
7）8
8）P → Q (P表示“如果你来了”Q表示“我就陪你唱歌” )
9）
10）正确
㈤ 大学数学题目
高等数学试题
一、单项选择题(每小题1分，共30分)
1、函数f(x)=的定义域是
A、[－1，1]B、(－2，2)
C、(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D、(－∞，＋∞)
2、下列函数中既是有界函数又是偶函数的是
A、xarcsinxB、arctgx
C、x2＋1D、sinx＋cosx
3、函数y=ex－1的反函数是
A、y=lnx＋1B、y=ln(x－1)
C、y=lnx－1D、y=ln(x＋1)
4、xsin=
A、∞B、0C、1D、不存在
5、某商品的需要量Q是价格P的函数Q=a－bP(a>0，b>0)，则需求量Q对价格P的弹性是
A、bB、
C、D、
6、曲线在t=0处的切线方程是
A、
B、
C、y－1=2(x－2)
D、y－1=－2(x－2)
7、函数y=|sinx|在x=0处是
A、无定义B、有定义，但不连续
C、连续，但不可导D、连续且可导
8、设y=lnx，则y″=
A、B、
C、D、
9、设f(x)=arctgex，则df(x)=
A、B、
C、D、
10、=
A、－1B、0C、1D、∞
11、函数y=ax2＋c在区间(0，＋∞)内单调增加，则a，c应满足
A、a<0，c=0B、a>0，c任意
C、a<0，c≠0D、a<0，c任意
12、若ln|x|是函数f(x)的原函数，a≠0,那么下列函数中，f(x)的原函数是
A、ln|ax|B、
C、ln|x＋a|D、
13、设a≠0，则∫(ax＋b)100dx=
A、
B、
C、
D、100a(ax＋b)99
14、∫xsinxdx=
A、xcosx－sinx＋c
B、xcosx＋sinx＋c
C、－xcosx＋sinx＋c
D、－xcosx－sinx＋c
15、函数f(x)=x2在[0，2]区间上的平均值是
A、B、1C、2D、
16、=
A、＋∞B、0C、D、1
17、下列广义积分中收敛的是
A、B、
C、D、
18、方程x2＋y2＋z2＋2x－4y=1表示的空间图形为
A、平面B、直线
C、柱面D、球面
19、函数z=arcsin(x2＋y2)的定义域为
A、x2＋y2<1B、x2＋y2≤1
C、x2＋y2≥1
D、|x|≤1，|y|≤1
20、极限=
A、1B、2C、0D、∞
21、函数f(x，y)=
在原点
A、连续B、间断
C、取极小值D、取极大值
22、已知f(x，y)的两个偏导数存在，且f′x(x，y)>0，f′y(x，y)<0，则
A、当y不变时，f(x，y)随x的增加而增加
B、当y不变时，f(x，y)随x的增加而减少
C、当x不变时，f(x，y)随y的增加而增加
D、上述论断均不正确
23、设z=exsiny，则dz=
A、ex(sinydx＋cosydy)B、exsinydx
C、excosydyD、excosy(dx＋dy)
24、已知几何级数收敛，则
A、|q|≤1，其和为
B、|q|<1，其和为
C、|q|<1，其和为
D、|q|<1，其和为aq
25、是级数收敛的
A、必要条件B、充分条件
C、充分必要条件D、无关条件
26、下列级数中绝对收敛的是
A、B、
C、D、
27、幂级数的收敛半径为
A、1B、C、2D、0
28、微分方程y3＋(y′)6＋xy3＋x4y2=1的阶数是
A、1B、2C、3D、6
29、微分方程的通解为
A、y=±1B、y=sinx＋c
C、y=cos(x＋c)D、y=sin(x＋c)
30、微分方程满足初始条件y(0)=0的特解为
A、y=cosx－1B、y=cosx
c、y=sinxD、y=－cosx＋1
二、填空题(每空2分，共20分)
1、a，b为常数，要使
，则b=(1)。
2、设由y=sin(x＋y)确定隐函数y=y(x)，则dy=(2)。
3、设当x→0时与ax是等价无穷小，则常数a=(3)。
4、=(4)。
5、=(5)。
6、设f(x,y)=，则f′x(1，2)=(6)。
7、交换积分顺序
=(7)。
8、函数e－2x的麦克劳林级数中xn的系数为(8)。
9、微分方程y″－2y′＋5y=0的通解为(9)。
10、函数y=lnx在区间[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的ξ=(10)。
三、解答题(每小题5分，共30分)
1、求.
2、设y=cos2e－3x,求y′.
3、求∫x2e－xdx.
4、求到两点A(1，0，－1)，B(3，－2，1)距离相等的点的轨迹，并指出该轨迹的名称.
5、判断下列级数的敛散性：
(1)；(2).
6、求微分方程满足初始条件y(0)=0的特解.
四、(本题8分)
设平面图形由曲线xy=1与直线y=2，x=3围成，求
(1)平面图形的面积S
(2)此平面图形绕X轴旋转所成的旋转体体积V
五、(本题8分)
某工厂生产甲、乙两种产品，单位售价分别为40元和60元，若生产X单位甲产品，生产y单位乙产品的总费用为20x＋30y＋0.1(2x2－2xy＋3y2)＋100，试求出甲、乙两种各生产多少时取得最大利润。
六、(本题4分)
求证方程x－sinx－1=0在区间~,[,2]内有唯一零点。参考答案
一、选择题(本题共30分)
1.B2.A3.D4.C5.C
6.A7.C8.D9.B10.A
11.B12.A13.C14.C15.A
16.D17.C18.D19.B20.B
21.B22.A23.A24.C25.A
26.D27.B28.C29.D30.D
二、填空题(每小题2分，共20分)
1、1
2、
3、
4、e4－1
5、arctgx＋ln(1＋x2)＋c
6、
7、
8、
9、ex(C1cos2x＋C2sin2x)
10、e－1
三、(每小题5分，共20分)
1、解原式=
(3分)
=1(2分)
2、解y′=2cose－3x·(cose－3x)′
(2分)
=2cose－3x(－sine－3x)·(e－3x)′
(2分)
=3sin(2e－3x)·e－3x(1分)
3、解原式=－∫x2de－x
=－x2e－x＋2∫xe－xdx(2分)
=－x2e－x－2xe－x＋2∫e－xdx
=－x2e－x－2xe－x－2e－x＋c(2分)
=－(x2＋2x＋2)e－x＋c(1分)
4、解设点(x,y,z)到A，B距离相等，则(2分)
两边平方并化简得
2x－2y＋2z－6=0(2分)
该轨迹称为平面(1分)
5、解：(1)∵
而等比级数收敛，
∴原级数收敛(3分)
(2)∵=1≠0，
∴原级数发散。(2分)
6、解 原方程可化为，
即(1分)
积分得(2分)
以x=0,y=0代入上式，
求得c=0。(1分)
∴所求特解为y=－1(1分)
(注：也可用一阶线性方程求解)
四、(本题8分)
解：(1)S=(3分)
=5－=5－ln6(1分)
(2)V=(3分)
=(1分)
五、(本题8分)
解：总收入为40x＋60y，总利润为
z=40x＋60y－(20x＋30y＋0.1(2x2－2xy＋3y2)＋100)=20x＋30y－0.2x2＋0.2xy－0.3y2－100(2分)
令(2分)
解得x=90,y=80(2分)
而=－0.4,=0.2,
=－0.6
△=0.22－(－0.4)·(－0.6)<0，而=－0.4<0
∴x=90,y=80为极大值点
因极值点唯一，故它就是最大值点。(2分)
答：当甲产品生产90单位，乙产品生产80单位时利润最大。
六、(本题4分)
证：设f(x)=x－sinx－1，
在≤x≤2上连续，
∵f()=－2<0,
f(2)=1－sin2>0，
∴f(x)在[,2]内有零点。(2分)
又f′(x)=1－cosx>0(<x<2)
∴f(x)严格单调上升，∴f(x)只有唯一的零点。(2分)
㈥ 大学的数学题
第一题，1234是偶排列
而数字之间交换偶数次才是
显然只有D的4321满足
第二题，提取出第二列的3
和第三列的5
就是原行列式乘以15
第二行和和第一行交换了一次
再乘以-1
于是为原来行列式值的-15倍
即-15d 选择B
第三题，矩阵A在T了两次
即两次转置之后就相当于没有转置
显然D正确
而直接在行列式或逆矩阵中提取常数
显然是不对的
㈦ 求这些大学数学题答案 急急急急急急急！
1.
对x ，错 y ，对一部分（10-x-y）；x,y，（10-x-y）为0~10的整数
10x-6y+3（10-x-y）=77
7x-9y=47
得 x=8 ，y=1
对8 错1 半对1
2.
设有x人
数学2/3·x+4
语文2/3·x
都参加 （2/3·x+4）+（2/3·x）+4-x=1/3·x+8
1/3·x+8=2/3·（2/3·x+4）
x=48
1/3·x+8=24
全班有48名同学。既参加语文组又参加数学组的人数是24。
3。不会
4。题目不完整
5
金5x ，银6x，铜（2·5x-5）
3·5x+6x=42
x=2
5x=10,6x=12 ，2·5x-5=15
金10银12铜15
6。
x+y=0 y=-x
分别代入
3x+5x=2m ，x=1/4·m
2x-7x=m-18，x=（18-m）/5
1/4·m =（18-m）/5
m=8
x=2
y=-2
7。
甲x人，乙y人，丙z人
{x+y+z=86
15x：3=12y：2=9z：1
设15x：3=12y：2=9z：1=k
x=k/5
y=k/6
z=k/9
x+y+z=43/90·k=86
k=180
x=36，y=30，z=20
㈧ 一道大学数学题！
分享一种“解法”。1/n>0，由泰勒展开式，有e^(1/n)=1+1/n+(1/2)/n²+……>1+1/n，
∴1/n>ln(1+1/n)。
供参考。