2009年大学生数学竞赛答案

❶ 求历届全国大学生数学竞赛真题（湖北非数学专业）发给我，谢谢

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

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2014年第五届全国大学生数学竞赛决赛试题及解答

❷ 全国大学生数学竞赛

就考数分高代解析几何,好好看书就够了

❸ 求09年全国大学生数学竞赛第一题怎么做

预赛吗？是数学类的还是非数学类的？

❹ 求近几年的全国大学生数学竞赛试题及答案

2010年全国大学生数学专业竞赛试题及解答
（1）计算积分
解方法一 直接利用分部积分法得


；
方法二 不妨设 ，由于 ，
而积分 关于 在 上一致收敛，故可交换积分次序

；
方法三 将 固定，记 ， 可证 在 上收敛．
设 因为 ，而 收敛，
所以由Weierstrass判别法知道 对 一致收敛．所以可以交换微分运算和积分运算的次序，即
．
由 的任意性，上式在 上成立．
所以 ，由于 所以 ，
即 ．

(2)若关于 的方程 ， 在区间 内有唯一的实数解，求常数 .
解：设 ，则有 ，
当 时， ；当 时， .
由此 在 处达到最小值，
又 在 内有唯一的零点，
必有 ， ，
， ，
所以 .
（3）设函数 在区间 上连续，由积分中值公式，有 ， ，若导数 存在且非零，
求 .
解： ，
，
由条件，可知
，
，
故有 .
二、设函数 在 附近可微， ， ,
定义数列 .
证明： 有极限并求其值.
证明：由导数的定义，
对于任意 ,存在 ，当 时，有 .
于是 ，
从而，当 时，有 ，
，其中 .
对于上式求和，得到
，
即 ，
令 ，有
,
由 的任意性，得到 .
设 在 上有定义，在 处可导，且 .
证明： .

三、设函数 在 上一致连续，且对任何 ，有 ，
证明： 。
试举例说明，仅有 在 上的连续性推不出上述结论。
证明 证法一
由 在 上一致连续，对 ， ，
当
且 时，
便有 ；
取定充分大的正整数 ，使得 。现把区间 等分，设其分点为 ，每个小区间的长度小于 。
对于任意 ， ；
从而必有 ，使得 ；
由条件对每个 ，有 ；
于是存在 ，当 时， ，对 都成立；
故当 时，便有
，
即得 ，结论得证。
证法二 设 ,由题设条件知
在 上等度一致连续,对每一 ,有 ;
利用Osgood定理得, 在 上一致收敛于0,
对 ,存在 ，当 时,
有 , ,
从而当 时,有 ,
即得 ，结论得证。

设 在 上的连续，且对任何 ，
有 ，但推不出 。
例如函数
满足在 上的连续，且对任何 ，有 ，
但不成立 。

四、设 ， 在 内连续， 在 内连续有界，且满足条件：
当 时， ；
在 中 与 有二阶偏导数，
， .
证明： 在 内处处成立.
证明：设 ，
则有
.
于是 ， ， ;
由已知条件，存在 ，当 时，
有 ， .
记 ，
设 ，我们断言，必有 ，
假若 ，则必有 ，使得 ；
易知 ， .

这与 矛盾，
所以
从而 ， ；
由 的任意性，得
， .
故在 内处处成立 .
五、 设 .
考虑积分 ， ，定义 ，
(1)证明 ；
(2)利用变量替换： ，计算积分 的值，并由此推出 .
证明：（1）由 ，在 上一致收敛，可以进行逐项积分

，
又 ，
所以 关于 是一致收敛的，可以逐项求极限，
于是有 .
故有 ；
(2) ,
,

注意到区域 关于 轴对称

;

;

;
或者利用分部积分,得

,
于是 ,
故 .
2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答

一、计算题
（1） 求极限
解法1 直接化为黎曼和的形式有困难.
注意到 ,
,
由于 ，
所以

.
解法2 利用 ，得
，
,
由于 ，
，
所以 .
（2）计算 ，
其中 为下半球 的上侧， .
解法一. 先以 代入被积函数，
，
补一块有向平面 ，其法向量与 轴正向相反，
利用高斯公式，从而得到

，
其中 为 围成的空间区域， 为 上的平面区域 ，
于是

.
解法二. 直接分块积分
，
其中 为 平面上的半圆 ， .
利用极坐标，得
，

，
其中 为 平面上的圆域， ，
用极坐标，得

，
因此 .
（3）现要设计一个容积为 的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位面积 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？
解：设圆柱体的高为 ，底面直径为 ，费用为 ，
根据题意，可知 ，

，
当且仅当 时，等号成立，
，
故当 时，所需要的费用最少.
（4）已知 在 内满足 求 .
解：
，

，

所以， .
二、 求下列极限.
（1） ；
（2） ，其中 ， ， .
解：（1）

.
（2）
，

，
故 .
一般地，有 ，其中 ， ，

.
三．设 在 点附近有定义，且在 点可导， ， ，
求 .
解：

.

四、 设 在 上连续，无穷积分 收敛，求 .
解：设 ，由条件知， ，
，
利用分部积分，得
，
，
，
于是
.

五．设函数 在 上连续，在 内可微，且 ， .
证明：（1）存在 ，使得 ；
（2）对于每一 ，存在 ，使得 .
证明：（1）令 ，
由题设条件，可知 ，
；
利用连续函数的介值定理，得
存在 ，使得 ，即 .
（2）令 ，
由题设条件和（1）中的结果，可知，
， ；
利用罗尔中值定理，得
存在 ，使得 ，
由 ，
即得 .

六、 试证：对每一个整数 ，成立
.
分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.
证明：显然 时，不等式成立；
下设 .
由于 ，
这样问题等价于证明
，
即
，
令 上式化为
，
从而等价于 ，
只要证明 ，
设 ，则只要证明
， ，
就有 ，
，
则问题得证.
以下证明 ， ，成立
上式等价于 ，
即 ，
令 ，
则 ，并且对 ，有

，
从而当 时， ，
这样问题得证.
注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.
六、设 为整数， ，证明方程 ，在 上至少有一个根.
六、 证明：存在 ，使得 .
证明：令 ，
则有 ，

，
由连续函数的介值定理，得
存在 ，使得 ，
故问题得证.
这里是由于 ， ，
在 上严格单调递减，
所以，当 时，有 .
七、 是否存在 上的可微函数 ，使得 ，若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。
证明 如果这样的函数 存在，
我们来求 的不动点，即满足 的 ，
，
，
由此得 ，这表明 有唯一的不动点 ，易知 也仅有唯一的不动点 ， ，在等式 ，两边对 求导，得
，
让 ，即得 ，这是不可能的，故这样的函数不存在。
八、设函数 在 上一致连续，且对任何 ，有 ，
证明： 。
试举例说明，仅有 在 上的连续性推不出上述结论。
证明
由 在 上一致连续，对 ， ，
当
且 时，
便有 ；
取定充分大的正整数 ，使得 。现把区间 等分，设其分点为 ，每个小区间的长度小于 。
对于任意 ， ；
从而必有 ，使得 ；
由条件对每个 ，有 ；
于是存在 ，当 时， ，对 都成立；
故当 时，便有
，
即得 ，结论得证。

设 在 上的连续，且对任何 ，有 ，
但推不出上述结论。
例如函数
满足在 上的连续，且对任何 ，有 ，
但不成立 。
高等数学竞赛试题7答案
一、求由方程 所确定的函数 在 内的极值，并判断是极大值还是极小值.
解：对 两边求导得 ，
令 得 ，代入原方程解得 .
.
故当 时， 取极大值 .
二、设 ，求 , .
解： = ,
=
三、计算曲线积分 ，其中 是以点（1，0）为中心， 为半径的圆周 ,取逆时针方向.
解： , , 当 时, ， 当 时 ,由格林公式知, .
当 时, ,作足够小的椭圆曲线 , 从 到 .
当 充分小时, 取逆时针方向,使 ,于是由格林公式得 ，
因此 = =
四、设函数 在 内具有连续的导数，且满足
，
其中 是由 所围成的闭区域，求当 时 的表达式.
解：
= ,
两边对 求导得
，且 ，
这是一个一阶线性微分方程，解得

五、设 ，求级数 的和.

解：令 , 则
= .

.
.

= = ,

六、设 在 上连续且单调增加，试证：对任意正数 ， ，恒有
.
解：令 ，
则 ,
=

= ,
于是 .
七、设 具有连续偏导数，由方程 =0确定隐函数 ，求 .
解：两边对 求偏导得 ,
两边对 求偏导得 ,
， , =1.
八、设 ，判别数列 的敛散性.
解：定义 ，令 ，则 ,
当 时， ,
= .
, 由 可知 收敛，从而 收敛.
九、设半径为 的球面 的球心在球面 ： 上，问当 为何值时，球面 在球面 内部的那部分面积最大？
解：由对称性可设 的方程为 ，球面 被球面 所割部分的方程为 ，
, ,
.
球面 与球面 的交线在 平面的投影曲线方程为 ，令
所求曲面面积为 ,
= .
令 得驻点 ,
容易判断当 时，球面 在球面 内部的那部分面积最大.
十.计算 ，其中曲线弧 为： ， .
解： , (1) ,
， (2)
将(1)、(2)代入 得
= =4.
十一.计算曲面积分 ，其中 是曲面 被平面 所截出部分的上侧.
解：记 为 平面上被园 所围成的部分的下侧， 为由 与 围成的空间闭区域.由高斯公式知

=
=
=2 .
=3

❺ 大学生数学竞赛习题精讲的图书目录

第1部分 例题精讲与习题
第1章 极限与连续
内容要点
1.1 极限
1.2 函数的连续性
1.3 综合题
第2章 微分学
内容要点
2.1 导数与微分
2.2 中值定理与不等式
2.3 导数应用
2.4 综合题
第3章 积分学
内容要点
3.1 不定积分
3.2 定积分
3.3 重积分
3.4 曲线与曲面积分
3.5 综合题
第4章 无穷级数
内容要点
4.1 数项级数
4.2 函数项级数
4.3 综合题
第5章 常微分方程
内容要点
5.1 初等积分法
5.2 线性常微分方程
5.3 综合题
第2部分 各章习题解答
第1章 极限与连续
1.1 极限
1.2 函数的连续性
1.3 综合题
第2章 微分学
2.1 导数与微分
2.2 中值定理与不等式
2.3 导数应用
2.4 综合题
第3章 积分学
3.1 不定积分
3.2 定积分
3.3 重积分
3.4 曲线与曲面积分
3.5 综合题
第4章 无穷级数
4.1 数项级数
4.2 函数项级数
4.3 综合题
第5章 常微分方程
5.1 初等积分法
5.2 线性常微分方程
5.3 综合题
附录
附录1 北京市大学生数学竞赛部分试题选编
第16届北京市大学生数学竞赛试题及答案（2005年）
第17届北京市大学生数学竞赛试题及答案（2006年）
第18届北京市大学生数学竞赛试题及答案（2007年）
第19届北京市大学生数学竞赛试题及答案（2008年）
第20届北京市大学生数学竞赛试题及答案（2009年）
附录2 首届中国大学生数学竞赛赛区赛（初赛）试卷及答案
非数学类，2009
数学类，2009
附录3 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷及答案
非数学类，2010
数学类，2010
附录4 记号与常用公式
参考文献

❻ 求！湖北省09年至最新的大学生数学竞赛省赛的试题

2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案

❼ 09年数学竞赛试题及答案

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设 ，则 （ A ）
A.24. B. 25. C. . D. .

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ C ）
A. . B. . C. . D. .

3．用 表示不大于 的最大整数，则方程 的解的个数为 （ C ）
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）
A. . B. . C. . D. .

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 CBE＝ （ D ）
A. . B. . C. . D. .

6．设 是大于1909的正整数，使得 为完全平方数的 的个数是 （ B ）
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知 是实数，若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，则 的最小值是_____ _______.

2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ，则四边形DECF的面积为___ ___.

3．如果实数 满足条件 ， ，则 __ ____.
4．已知 是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对 共有___7__对.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B，与 轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与 轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且 ，求 和 的值.
解 （1）易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则 ， .
设⊙P与 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则 .
因为 ，所以点 在 轴的负半轴上，从而点D在 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).
（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点 的坐标为 ，
即 .
又 ，所以
，解得 .

二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高， 、 分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求 .
解 作 E⊥AB于E， F⊥AB于F.
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4， .
又CD⊥AB，由射影定理可得 ，故 ，
.
因为 E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以 ＝ .
连接D 、D ，则D 、D 分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠ DC＝∠ DA＝∠ DC＝∠ DB＝45°，故∠ D ＝90°，所以 D⊥ D， .
同理，可求得 ， . 所以 ＝ .
三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：
①
②
证明：以 为三边长可构成一个直角三角形.
证法1 将①②两式相乘，得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形.
证法2 结合①式，由②式可得 ，
变形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，即 .

，
所以 或 或 .
结合①式可得 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形.

第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF‖AB.
解 因为BN是∠ABC的平分线，所以 .
又因为CH⊥AB，所以
，
因此 .
又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四点共圆.
又 ，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.
同理可证，点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF‖AB.

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：
①
②
是否存在以 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.
解法1 将①②两式相乘，得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
解法2 结合①式，由②式可得 ，
变形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，即 .

，
所以 或 或 .
结合①式可得 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.

❽ 首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案--非数学类第一道怎么做

这样做，u=x+y,v=x/y。从而几分区域变为D={(u,v)| 0<u<1,v>0}。这是矩形区域，然后积分函数变为f(u)*g(v)的形式，于是积的积分就可以转换成积分的积。