江汉大学复变函数考试题及答案
㈠ 复变函数考试，求大神帮助
第一题，1的根号2次方，底数和指数都是正数，这个运算在实数域内是有意义的。如果不在复数域中考虑，它卖晌的结果就是1.
在复数域中，
因此原来的积分值为两者之和，结果是0.
㈡ 复变函数论题目：求方程z^8-22z+13=0 （1）在圆K:|z|<2内根的个数；（2）在圆环:1<|z|<2内根的个数
（1）用Rouche定理证明在区域|z|<2内原姿弊方程的根和斗册尺z^8=0的根数目相同，都是8个。
（2）同样地，在|z|<空高=1内原方程和z^8-22z的根的数目相同，都是1个，所以第二问答案是7。
㈢ 高分跪求复变函数补考完整答案一份
图1.
填空：
1.z=ln(1-sqrt(3)i)=|1-sqrt(3)|+iarg(1-sqrt(3))=2+i(2kπ-π/3)
2.|z|=2，该多边形是六边形，面积为6个边长为2的正三角形面积之和，为6sqrt(3)
3.由频域微分定理，L{tf(t)}=-F'(s)，故L{t^3f(t)}=-F'''(s)；又由频域平移定理，L{e^{5t}t^3f(t)}=-F'''(s-5)
4.记f(z)=z^{-2}，f^(n)(z)=(-1)^n(n+1)!z^{-2+n}. f(z)=∑[0,∞]f^(n)(-1)(z+1)^n=∑[0,∞](n+1)!(z+1)^n
5.由于cosz的泰勒展开式只有偶次项，在n为偶数时不会出现-1次项，故留数（-1次项系数）为0.
选择：
1. 选D：由于(z-1)sin(1/(z-1))=1-(z-1)^{-2}/3!+(z-1)^{-4}/5!-(z-1)^{-6}/7!+...，其展开式含有无穷多项负幂项，所以是本性奇点。
2.选C：f(z)解析的充要条件是u,v连续可微（调和），且u,v满足柯西黎曼方程（共轭）。
A.仅说调和，没说共轭。
B.仅说共轭，没说调和。
3.选B：对基础结论F{δ(t)}=1用时域平移定理F{δ(t-t0)}=e^{-iwt0}；对基础结论f{1}=2πδ(w)，用频域平移定理F{e^{iw0t}}=2πδ(w-w0).
4.选A：L{δ(t)}=1；对L{u(t)}=1/s先用时域平移定理L{u(t-1)}=e^{-s}/s，再用频域平移定理L{e^{-t}u(t-1)}=e^{-(s+1)}/(s+1).
5.选D：z=1/sqrt(2)时，|(1+sqrt(3))^n z^2n|->1
计算：
在|z|>2上展开被积分函数：(z-2)^{-2}z^{-3}=z^{-5}(1-2z^{-1})^{-2}=z^{-5}+4z^{-6}+...展开式中没有z^{-1}次项。由于环路积分值等于2πi * -1次项系数，故为0。
|z|=3包围了三个奇点z=0,±1，留数分别为-1,e/2,e^{-1}/2，有留数定理积分值为2πi(-1+e/2+e^{-1}/2)
|z|=2包围了两个奇点z=0,1，留数分别为1,2，由留数定理积分值为2πi(1+2)=6πi
由于zz*=|z|^2=1，故原积分等于∫(z^2+1)dz=(z^3/3+z)|z=-1 -(z^3/3+z)|z=1 = -1/3 - 1 - (1/3 + 1)=-8/3.
先分解因式：F(s)=1/(16(s + 1)) - 1/(16(s - 1))- 1/(4(s + 1)^3)+ 1/(8(s - 1)^2) .然后使用基础结论L{1/(s+a)^n}=t^{n-1}e^{-at}/(n-1)，由f(t)=e^{-t}/16 - e^t/16 - t^2e^{-t}/8 + te^t/8
由卷积定理L{f1(t)*f2(t)}=F1(s)F2(s)，故先求拉普拉斯变换，F1(s)=1/s，F2(s)=1/(s+1)，F1(s)F2(s)=1/(s(s+1))=1/s-1/(s+1)，故f1(t)*f2(t)=1 - e^{-t}, t >= 0; 0, t < 0
f(z)的洛朗级数就是1/z-1/z^2
利用基础结论sinz= z-z^3/3! + z^5/5! ...，sinz/z = 1- z^2/3! + z^4/5! ... = ∑(-1)^{k}z^{2k}/(2k+1)!
计算：
将方程变形为t(y''(t)+y(t))=2y'(t)。两侧同做拉普拉斯变换，设L{y(t)}=Y(s)，则由时域微分定理L{y'(t)}=sY(s)，L{y''(t)}=s^2Y(s)；对L{y''(t)+y(t)}=(s^2+1)Y(s)用频域微分定理：L{t(y''(t)+y(t))}=-d((s^2+1)Y(s))/ds。
得到方程d((s^2+1)Y(s))/ds=-2sY(s)，变形为d((s^2+1)Y(s))/((s^2+1)Y(s))=-2s/(s^2+1)ds，两侧积分得到Y(s)=C/(s^+1)^2, 求逆变换得到y(t)=C(sint-tcost)，其中C为任意常数。
f(t)=0.5, -1 < t < 1；=0, 其他。可以验证F{f(t)}= ∫[-1,1]0.5e^{-iwt)dt=sinw/w。
先考虑I(a)=∫(-∞，∞)e^{iax}/(x^2+4x+5)，被积函数有奇点-1,-4，留数分别为e^{-ia}/3和-e^{-4ia}/3，且奇点恰在积分路线上，由推广的留数定理积分值为πi(e^{-ia}/3-e^{-4ia}/3)。由于(cos(3x))^2=(cos6x+1)/2，故题中积分可表示为(Re(I(6))+I(0))/2，代入可得结果。
㈣ 谁有历年《复变函数与积分变换》的期末考试题样
一、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1.复数z=(1+i)3的主幅角argz=________（-π<argz≤π）.
2.不等式Rez>0表示z平面上的区域是________.
3.|e3i|=________.
4.函数w=ez将z平面上的带形区域0<Imz< 变换为w平面上的区域________.
5.积分 =________.
6.若函数f(z)为整函数，且在点z=0取得最大模，则f(z)为________.
7.点z=a是解析函数f(z)的极点的充分必要条件是________.
8.方程z8+3z3-1=0在单位圆|z|<1内有________个根.
二、判断题（本大题共7小题，每小题2分，共14分）
判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
1．互为共轭的两个复数的模相等.（ ）
2．函数sin z在区域|z|<1内为有界函数.（ ）
3．解析函数的零点必是孤立的.（ ）
4．若函数f(z)在点a解析,且f′(a)=0,f〃(a)≠0，则a是f(z)的二阶零点.（ ）
5．若z=a分别是f(z)和g(z)的三阶极点，则z=a也是f(z)+g(z)的三阶极点.（ ）
6．如果z=1是函数f(z)的可去奇点，则 f(z)=0.（ ）
7．分式线性变换必将圆周变换成圆周或直线.（ ）
三、完成下列各题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1.求复数z= 的模|z|.
2.计算积分 ，其中C是圆周|z|=1的正向.
3.将函数f(z)= 在|z|<1内展开为幂级数.
4.是否存在点z=0处的解析函数f(z)，在点zn= (n=1,2,…)处取下列的函数值：
， ， ， ， ，….并说明理由.
5.讨论函数f(z)= 的奇点（包括无穷远点）及其类型.
6.已知分式线性变换w=L(z)将|z-1|<1变换为|w+1|<2，并且L(1+ i)=-1+i，利用分式线性变换的性质计算L（1+2i）.
四、(本大题10分)
已知函数f(z)和 均在区域D内解析，试证f(z)在区域D内为常数.
五、(本大题10分)
计算积分 ，其中曲线C为
（1）连接0到1+i的直线段；
（2）从z=0经过z=1再到z=1+i的折线.
六、(本大题10分)
用留数计算积分： .
七、(本大题10分)
求一个共形映射，将沿实轴上线段0≤x≤1割开的单位圆映射成整个单位圆