西南大学初等数论试卷答案

『壹』 跪求初等数论第三版(潘承洞,潘承彪)课后习题答案

第一题：

(1)西南大学初等数论试卷答案扩展阅读

这部分内容主要考察的是初等数论的知识点：

研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。

用程序方法求素数。“若一个自然数n，判断n/k是否整除，先判断其能否整除2，若不能再判断其能否整除3，依次向下判断，当k>(n/k)时，判断结束。”如果所有判断都不能整除，则自然数N为素数。

例如：k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，32）区间的全部素数。

k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。如此，求得了（5，52）区间的全部素数。

『贰』 初等数论答案 证明641|(2³²+1）不是质数

因为2^32+1太大，难以算出，所以选择代数方法。
法一、2^4=16, 2^8=16^2=256, 2^16=256^2=65536,
记x=641, 65536÷641=102……154，∴65536=102x+154,
∴2^32+1=(102x+154)^2+1=23717 + 31416 x + 10404 x^2=37x+31416 x + 10404 x^2
∴x=641整除2^32+1。

法二，记x=5*2^8, 则641=2^6*10+1=(5*2^8+2)/2=(x+2)/2
2^32+1=(2^8)^4+1=[ 5^4*(2^8)^4+5^4 ]/5^4=(x^4+625)/5^4=(x^4-2^4+641)/5^4
∴6^5*(2^32+1)=x^4-2^4+641=(x+2)(x-2)(x^2+4)+641是641的倍数，而641与5^4互质，
∴641整除2^32+1。

『叁』 求初等数论的答案

一：1）21
2）40
3）8
4）28
5）2^32*3^15*5^8*7^5*11^3*13^2*17^2*19*23*29*31
二：先证2|n(n+1)
若n=2k，则2|n，必有2|n(n+1)；
若n=2k+1，则n+1＝2k+2，此时有2|(n+1)，故有2|n(n+1)。
故欲证6|n(n+1)(2n+1)，只需证3|n(n+1)(2n+1)。
若n=3k，则3|n，有3|n(n+1)(2n+1)；
若n=3k+1，则2n+1=6k+3，有3|2n+1，即有3|n(n+1)(2n+1)；
若n=3k+2，则n+1=3k+3，有3|n+1，即有3|n(n+1)(2n+1)。
(k为0、1、2、3、4……)
综上，得证！
三：运用辗转相除法理论(a-b,a+b)等价于(2a,a+b)
若a+b为奇数，则(2a,a+b)等价于(a,a+b)等价于(a,b)=1；
若a+b为偶数，此时a和b必同为奇数，若同为偶数，则(a,b)<>1，矛盾！
故a,b同为奇数，此时令a=2p+1，b=2q+1，则(2a,a+b)等价于2*(2p+1,p+q+1)等价于2*(p-q.p+q+1)等价于2*(p-q,2q+1)，
故欲证(a-b,a+b)=2，只需证2*(p-q,2q+1)，
因(a,b)=1，故(a-b,b)=1，即(2p-2q,2q+1)=1，有(p-q,2q+1)=1，
综上，得证！
第四题不完整～～～