美國大學代數題目

㈠ 我是一個高中生,想到美國上大學,要考哪幾個考試啊

SAT（賽達）考試分為兩部分，包括SATⅠ：推理測驗（Reasoning Test）和SATⅡ：專項測驗（Subject Tests）包括數學、物理、化學、生物等。SATⅠ考試時間為三小時，主要測驗考生的語文、數學推理能力，滿分是1600分。SATⅡ考試時間一小時，大部分為選擇題，主要考察考生某一專業的知識。一般中國高中生申請進入美國的本科學習只需要參加SATⅠ考試

哪些學校和專業更看好SAT和ACT兩大考試呢？在美國只是少數大學，或者特殊的專業，如數理化、計算機、生物等專業要求SAT和ACT考試成績另做要求。美國大學更青睞學生把精力投入到語言能力的提高上，多參加一些社會實踐活動，發展特長興趣等優勢。

目前，ACT並沒有在中國設立任何「考點。而是在上海，北京，杭州等大中城市設立了20多家「授權培訓中心」。中國內地學生如果想參加SAT或者ACT考試，目前只能赴新加坡或者香港。因此，個別機構為了推廣SAT或者ACT考試的培訓，表示沒有該項成績不可申請美國高校的說法，完全是對學生和家長的誤導。

國家留學基金委東方國際教育交流中心美國部主管楊帆說，將SAT或者ACT兩大考試比作「美國的高考」是完全不合理的，因為SAT和ACT考試並不是進入美國高校的定性要求。由於SAT考試是美國大學針對美國本土學生的考試，所以一般美國大學都會考慮到中國學生的現實條件和情況，並不會把SAT和ACT考試強加於中國學生的身上。
SAT是什麼？——去美國讀本科的敲門磚
美國沒有國家統一的大學入學考試。由「教育考試服務社」（Ecational Testing Service）主持的「學術水平測驗考試」（Scholastic Assessment Test, SAT）是美國高中生進入美國大學需要參加的考試，被多數大學用做比較不同地區、不同高中、不同評分制度的標准。其重要性相當於中國的高考，也是其他國家高中生申請進入美國大學本科學習能否被錄取、能否得到獎學金的重要參考。

雖說SAT是國外高中生進入美國大學的參考，其實很多本科學校都要求學生必須提供SAT成績。高中畢業生有了SAT以後，就不用再參加GRE考試。TOEFL則是為申請去美國或加拿大等國家上大學或進入研究生院學習的非英語國家學生提供的一種英語水平考試。簡而言之，托福考查的是學生的語言能力，而SAT考查的是學生的邏輯推理能力。

SAT有什麼好？——成績好申請全獎更容易
SAT和GRE功能不同，高中畢業生不用再通過考GRE爭取獎學金，SAT相對於GRE而言更容易，更能體現自己的綜合水平，尤其對中國學生來說，裡面的數學等內容是相當簡單的。SAT成績高，申請獎學金就相對而言更容易了。

以往國內學生，要想到美國去讀本科非常困難，因為GRE的難度，對於高中生來說，很難應付，在申請獎學金時困難重重。對於中國學生只能在本科畢業後申請研究生的項目。而亞洲的其他地區如中國台灣、香港地區及日本等地卻早都在多年前普及了SAT考試。

SAT考什麼？——考試簡介
SAT考試分為兩部分，包括SAT I（推理測驗）和SAT II（專項測驗），對於廣大申請者來說，SAT I成績是必須的，如果還有SAT II成績，更能增加申請者的競爭力。

SAT分為兩部分，一是普通部分，包括數學和英語，被稱為SAT I－推理測驗（Reasoning Test），SAT I的數學和英語各有800分（最低分為200），因此滿分是1600分； SAT I考試 時間三小時，主要測驗考生的語文、數學推理能力。SAT II（Subject Tests）時間一小時，大部分為選擇題，主要考察考生某一專業的知識。SAT II每科滿分為800分。SAT II是單科考試，有數學、物理、化學、生物、外語（包括漢語、日語、德語、法語、西班牙 語）等，根據各專業和學校的要求參加。

SAT I（Reasoning Test）的考察重點：

1．語文能力（verbal questions）：理解及分析句子的能力，領悟句子之間不同部分之間的關系和建立詞彙之間的聯系—遣詞造句。此部分有三種題型：類比：analogies (19 questions)；完成句子：sentence completions (19 questions) ；閱讀：critical reading (40 questions)

2．數學能力（math questions）：算術；代數；幾何。此部分有三種題型：五選一：five-choice multiple-choice (35 questions)；四選一：four-choice quantitative comparison (15 questions)；問答題：student-proced response (10 questions)。

外加一個30分鍾的「同等題目」：有可能是語文，也可能是數學。SAT I考試全部作答時間為三小時。

1995年以前，每年全球參加SAT的考生，只有二三十人得SAT I雙滿分（1600分）；但到了1996年，僅美國就有545人得了SAT I雙滿分。其中申請哈佛的人中有365人是這個分數。

㈡ 關於美國大一的數學難度，以及需要提前學習的知識！

如果你上的大學不是很差 尤其專業跟數學有關 理科什麼的 就好好復習微積分
大學一般都要修CALCULUS （有兩個LEVEL，AB和BC）

把數學專有名字背一背，要是完全沒學過剛開始會很難
我現在高三正在學微積分 我們數學老師說大學會教的很快 所以你一定要確定自己能讀懂題，聽得懂老師，有一定的只基礎
在國內找教材很難啊，我建議你去找找CALCULUS AP（AB+BC）往年的考題，這個是給在高中上大學課程的學生的水平測試，你可以看看大概考了些什麼就知道該學什麼了

給你個網站 裡面有題，要是打不開告訴我 我幫你下載了發過去
http://apcentral.collegeboard.com/apc/members/exam/exam_information/1997.html
http://apcentral.collegeboard.com/apc/members/exam/exam_information/8031.html

㈢ 關於美國大學數學難度的問題

一般情況下不會有問題，大部分學校歷史不要求數學。要求的學校也最多兩節，而且有很多可選擇，一般來說上個代數，上個pre-calculus 就可以的，初中數學基本可以應付了。

㈣ 美國大學代數學什麼

美國大學代數學什麼？
幾何與拓撲： 1、James R. Munkres, Topology：較新的拓撲學的教材適用於本科高年級或研究生一年級； 2、Basic Topology by Armstrong：本科生拓撲學教材； 3、Kelley, General Topology：一般拓撲學的經典教材，不過觀點較老

㈤ 美國大學本科數學專業的必修課及教材都是什麼啊

幾何與拓撲：
1、James R. Munkres, Topology：較新的拓撲學的教材適用於本科高年級或研究生一年級；
2、Basic Topology by Armstrong：本科生拓撲學教材；
3、Kelley, General Topology：一般拓撲學的經典教材，不過觀點較老；
4、Willard, General Topology：一般拓撲學新的經典教材；
5、Glen Bredon, Topology and geometry：研究生一年級的拓撲、幾何教材；
6、Introction to Topological Manifolds by John M. Lee：研究生一年級的拓撲、幾何教材，是一本新書；
7、From calculus to cohomology by Madsen：很好的本科生代數拓撲、微分流形教材。
代數：
1、Abstract Algebra Dummit：最好的本科代數學參考書，標準的研究生一年級代數教材；
2、Algebra Lang：標準的研究生一、二年級代數教材，難度很高，適合作參考書；
3、Algebra Hungerford：標準的研究生一年級代數教材，適合作參考書；
4、Algebra M,Artin：標準的本科生代數教材；
5、Advanced Modern Algebra by Rotman：較新的研究生代數教材，很全面；
6、Algebra：a graate course by Isaacs：較新的研究生代數教材；
7、Basic algebra Vol I&II by Jacobson：經典的代數學全面參考書，適合研究生參考。
分析基礎：
1、Walter Rudin, Principles of mathematical analysis：本科數學分析的標准參考書；
2、Walter Rudin, Real and complex analysis：標準的研究生一年級分析教材；
3、Lars V. Ahlfors, Complex analysis：本科高年級和研究生一年級經典的復分析教材；
4、Functions of One Complex Variable I，J.B.Conway：研究生級別的單變數復分析經典；
5、Lang, Complex analysis：研究生級別的單變數復分析參考書；
6、Complex Analysis by Elias M. Stein：較新的研究生級別的單變數復分析教材；
7、Lang, Real and Functional analysis：研究生級別的分析參考書；
8、Royden, Real analysis：標準的研究生一年級實分析教材；
9、Folland, Real analysis：標準的研究生一年級實分析教材。
第二學年
代數：
1、Commutative ring theory, by H. Matsumura：較新的研究生交換代數標准教材；
2、Commutative Algebra I&II by Oscar Zariski , Pierre Samuel：經典的交換代數參考書；
3、An introction to Commutative Algebra by Atiyah：標準的交換代數入門教材；
4、An introction to homological algebra ,by weibel：較新的研究生二年級同調代數教材；
5、A Course in Homological Algebra by P.J.Hilton,U.Stammbach：經典全面的同調代數參考書；
6、Homological Algebra by Cartan：經典的同調代數參考書；
7、Methods of Homological Algebra by Sergei I. Gelfand, Yuri I. Manin：高級、經典的同調代數參考書；
8、Homology by Saunders Mac Lane：經典的同調代數系統介紹；
9、Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry by Eisenbud：高級的代數幾何、交換代數的參考書，最新的交換代數全面參考。
代數拓撲：
1、Algebraic Topology, A. Hatcher：最新的研究生代數拓撲標准教材；
2、Spaniers 「Algebraic Topology」：經典的代數拓撲參考書；
3、Differential forms in algebraic topology, by Raoul Bott and Loring W. Tu：研究生代數拓撲標准教材；
4、Massey, A basic course in Algebraic topology：經典的研究生代數拓撲教材；
5、Fulton , Algebraic topology：a first course：很好本科生高年級和研究生一年級的代數拓撲參考書；
6、Glen Bredon, Topology and geometry：標準的研究生代數拓撲教材，有相當篇幅講述光滑流形；
7、Algebraic Topology Homology and Homotopy：高級、經典的代數拓撲參考書；
8、A Concise Course in Algebraic Topology by J.P.May：研究生代數拓撲的入門教材，覆蓋范圍較廣；
9、Elements of Homotopy Theory by G.W. Whitehead：高級、經典的代數拓撲參考書。
實分析、泛函分析：
1、Royden, Real analysis：標准研究生分析教材；
2、Walter Rudin, Real and complex analysis：標准研究生分析教材；
3、Halmos，」Measure Theory」：經典的研究生實分析教材，適合作參考書；
4、Walter Rudin, Functional analysis：標準的研究生泛函分析教材；
5、Conway,A course of Functional analysis：標準的研究生泛函分析教材； 6、Folland, Real analysis：標准研究生實分析教材；
7、Functional Analysis by Lax：高級的研究生泛函分析教材；
8、Functional Analysis by Yoshida：高級的研究生泛函分析參考書；
9、Measure Theory, Donald L. Cohn：經典的測度論參考書。
微分拓撲 李群、李代數
1、Hirsch, Differential topology：標準的研究生微分拓撲教材，有相當難度；
2、Lang, Differential and Riemannian manifolds：研究生微分流形的參考書，難度較高；
3、Warner,Foundations of Differentiable manifolds and Lie groups：標准研究生微分流形教材，有相當的篇幅講述李群；
4、Representation theory: a first course, by W. Fulton and J. Harris：李群及其表示論標准教材；
5、Lie groups and algebraic groups, by A. L. Onishchik, E. B. Vinberg：李群的參考書；
6、Lectures on Lie Groups W.Y.Hsiang：李群的參考書；
7、Introction to Smooth Manifolds by John M. Lee：較新的關於光滑流形的標准教材；
8、Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representation by V.S. Varadarajan：最重要的李群、李代數參考書；
9、Humphreys, Introction to Lie Algebras and Representation Theory , SpringerVerlag, GTM9：標準的李代數入門教材。
第三學年
微分幾何：
1、Peter Petersen, Riemannian Geometry：標準的黎曼幾何教材；
2、Riemannian Manifolds: An Introction to Curvature by John M. Lee：最新的黎曼幾何教材；
3、doCarmo, Riemannian Geometry.：標準的黎曼幾何教材；
4、M. Spivak, A Comprehensive Introction to Differential Geometry I—V：全面的微分幾何經典，適合作參考書；
5、Helgason , Differential Geometry,Lie groups,and symmetric spaces：標準的微分幾何教材；
6、Lang, Fundamentals of Differential Geometry：最新的微分幾何教材，很適合作參考書；
7、kobayashi/nomizu, Foundations of Differential Geometry：經典的微分幾何參考書；
8、Boothby,Introction to Differentiable manifolds and Riemannian Geometry：標準的微分幾何入門教材，主要講述微分流形；
9、Riemannian Geometry I.Chavel：經典的黎曼幾何參考書；
10、Dubrovin, Fomenko, Novikov 「Modern geometry-methods and applications」Vol 1—3：經典的現代幾何學參考書。
代數幾何：
1、Harris,Algebraic Geometry: a first course：代數幾何的入門教材；
2、Algebraic Geometry Robin Hartshorne ：經典的代數幾何教材，難度很高；
3、Basic Algebraic Geometry 1&2 2nd ed. I.R.Shafarevich.：非常好的代數幾何入門教材；
4、Principles of Algebraic Geometry by giffiths/harris：全面、經典的代數幾何參考書，偏復代數幾何；
5、Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry by Eisenbud：高級的代數幾何、交換代數的參考書，最新的交換代數全面參考；
6、The Geometry of Schemes by Eisenbud：很好的研究生代數幾何入門教材；
7、The Red Book of Varieties and Schemes by Mumford：標準的研究生代數幾何入門教材；
8、Algebraic Geometry I : Complex Projective Varieties by David Mumford：復代數幾何的經典。
調和分析 偏微分方程
1、An Introction to Harmonic Analysis,Third Edition Yitzhak Katznelson：調和分析的標准教材，很經典；
2、Evans, Partial differential equations：偏微分方程的經典教材；
3、Aleksei.A.Dezin，Partial differential equations，Springer-Verlag：偏微分方程的參考書；
4、L. Hormander 「Linear Partial Differential Operators, 」 I&II：偏微分方程的經典參考書；
5、A Course in Abstract Harmonic Analysis by Folland：高級的研究生調和分析教材；
6、Abstract Harmonic Analysis by Ross Hewitt：抽象調和分析的經典參考書；
7、Harmonic Analysis by Elias M. Stein：標準的研究生調和分析教材；
8、Elliptic Partial Differential Equations of Second Order by David Gilbarg：偏微分方程的經典參考書；
9、Partial Differential Equations ，by Jeffrey Rauch：標準的研究生偏微分方程教材。
復分析 多復分析導論
1、Functions of One Complex Variable II，J.B.Conway：單復變的經典教材，第二卷較深入；
2、Lectures on Riemann Surfaces O.Forster：黎曼曲面的參考書；
3、Compact riemann surfaces Jost：黎曼曲面的參考書；
4、Compact riemann surfaces Narasimhan：黎曼曲面的參考書；
5、Hormander 」 An introction to Complex Analysis in Several Variables」：多復變的標准入門教材；
6、Riemann surfaces , Lang：黎曼曲面的參考書；
7、Riemann Surfaces by Hershel M. Farkas：標準的研究生黎曼曲面教材；
8、Function Theory of Several Complex Variables by Steven G. Krantz：高級的研究生多復變參考書；
9、Complex Analysis: The Geometric Viewpoint by Steven G. Krantz：高級的研究生復分析參考書。
專業方向選修課：
1、多復分析；2、復幾何；3、幾何分析；4、抽象調和分析；5、代數幾何；6、代數數論；7、微分幾何；8、代數群、李代數與量子群；9、泛函分析與運算元代數；10、數學物理；11、概率理論；12、動力系統與遍歷理論；13、泛代數。
數學基礎：
1、halmos ,native set theory；
2、fraenkel ,abstract set theory；
3、ebbinghaus ,mathematical logic；
4、enderton ,a mathematical introction to logic；
5、landau, foundations of analysis；
6、maclane ,categories for working mathematican。應該在核心課程學習的過程中穿插選修

假設本科應有的水平
分析：
Walter Rudin, Principles of mathematical analysis；
Apostol , mathematical analysis；
M.spivak , calculus on manifolds；
Munkres ,analysis on manifolds；
Kolmogorov/fomin , introctory real analysis；
Arnold ,ordinary differential equations。
代數：
linear algebra by Stephen H. Friedberg；
linear algebra by hoffman；
linear algebra done right by Axler；
advanced linear algebra by Roman；
algebra ,artin；
a first course in abstract algebra by rotman。
幾何：
do carmo, differential geometry of curves and surfaces；
Differential topology by Pollack；
Hilbert ,foundations of geometry；
James R. Munkres, Topology。

㈥ 世界十大數學題

世界近代三大數學難題之一四色猜想
四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：「看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。」這個結論能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯研究一直沒有進展。
1852年10月，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數學家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，於是寫信向自己的好友、著名數學家哈密爾頓爵士請教。直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。
11年後，即1890年，數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目, 實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。
20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎上引進了一些新技巧，美國數學家富蘭克林於1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨後又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成為數學史上一系列新思維的起點。不過也有不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。
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世界近代三大數學難題之一 費馬最後定理
費馬是十七世紀最卓越的數學家之一，他在數學許多領域中都有極大的貢獻，本行是專業的律師，為了表彰他的數學造詣，世人冠以「業余王子」之美稱，在三百六十多年前的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘數學家戴奧芬多斯的數學書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理這個定理的內容是有關一個方程式 x2 + y2 =z2的正整數解的問題，當n=2時就是我們所熟知的畢氏定理（中國古代又稱勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之兩股，也就是一個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個方程式當然有整數解（其實有很多）。
費馬聲稱當n>2時，就找不到滿足xn +yn = zn的整數解，例如：方程式x3 +y3=z3就無法
找到整數解。當時費馬並沒有說明原因，他只是留下這個敘述並且也說他已經發現這個定理的證明妙法，只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費馬也因此留下了千古的難題，三百多年來無數的數學家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀難題的費馬最後定理也就成了數學界的心頭大患，極欲解之而後快。
十九世紀時法國的法蘭西斯數學院曾經在一八一五年和一八六0年兩度懸賞金質獎章和三百法郎給任何解決此一難題的人，可惜都沒有人能夠領到獎賞。德國的數學家佛爾夫斯克爾（P?Wolfskehl）在1908年提供十萬馬克，給能夠證明費馬最後定理是正確的人，有效期間為100年。其間由於經濟大蕭條的原因，此筆獎額已貶值至七千五百馬克，雖然如此仍然吸引不少的「數學痴」。二十世紀電腦發展以後，許多數學家用電腦計算可以證明這個定理當n為很大時是成立的，1983年電腦專家斯洛文斯基藉助電腦運行5782秒證明當n為286243-1時費馬定理是正確的（注286243-1為一天文數字，大約為25960位數）。
雖然如此，數學家還沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數學懸案終於解決了，這個數學難題是由英國的數學家威利斯（Andrew Wiles）所解決。其實威利斯是利用二十世紀過去三十年來抽象數學發展的結果加以證明。五十年代日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲現的猜想，後來由另一位數學家志村五郎加以發揚光大，當時沒有人認為這個猜想與費馬定理有任何關聯。在八十年代德國數學家佛列將谷山豐的猜想與費馬定理扯在一起，而威利斯所做的正是根據這個關聯論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的，進而推出費馬最後定理也是正確的。這個結論由威利斯在1993年的6月於美國劍橋大學牛頓數學研究所的研討會正式發表，這個報告馬上震驚整個數學界，就是數學門牆外的社會大眾也寄以無限的關注。不過威利斯的證明馬上被檢驗出有少許的瑕疵，於是威利斯與他的學生又花了十四個月的時間再加以修正。1994年9月他們終於交出完整無瑕的解答，數學界的夢魘終於結束。1997年6月，威利斯在德國哥庭根大學領取了佛爾夫斯克爾獎。當年的十萬法克約為兩百萬美金，不過威利斯領到時，只值五萬美金左右，但威利斯已經名列青史，永垂不朽了。
要證明費馬最後定理是正確的（即xn + yn = zn 對n33 均無正整數解只需證 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P為奇質數)，都沒有整數解。
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世界近代三大數學難題之一 哥德巴赫猜想
哥德巴赫是德國一位中學教師，也是一位著名的數學家，生於1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小於6的偶數都是兩個素數(只能被和它本身整除的數)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。1742年6月，哥德巴赫寫信將這個問題告訴給義大利大數學家歐拉，並請他幫助作出證明。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數學家的注意。他們對一個個偶數開始進行驗算，一直算到3.3億，都表明猜想是正確的。但是對於更大的數目，猜想也應是對的，然而不能作出證明。歐拉一直到死也沒有對此作出證明。從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的「明珠」。到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。1920年、挪威數學家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比大的偶數都可以表示為(99)。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們於是從(9十9)開始，逐步減少每個數里所含質數因子的個數，直到最後使每個數里都是一個質數為止，這樣就證明了「哥德巴赫」。 1924年，數學家拉德馬哈爾證明了(7＋7)；1932年，數學家愛斯爾曼證明了(6＋6)；1938年，數學家布赫斯塔勃證明了(5十5)，1940年，他又證明了(4＋4)；1956年，數學家維諾格拉多夫證明了(3＋3)；1958年，我國數學家王元證明了(2十3)。隨後，我國年輕的數學家陳景潤也投入到對哥德巴赫猜想的研究之中，經過10年的刻苦鑽研，終於在前人研究的基礎上取得重大的突破，率先證明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最後一步(1＋1)了。陳景潤的論文於1973年發表在中國科學院的《科學通報》第17期上，這一成果受到國際數學界的重視，從而使中國的數論研究躍居世界領先地位，陳景潤的有關理論被稱為「陳氏定理」。1996年3月下旬，當陳景潤即將摘下數學王冠上的這顆明珠，「在距離哥德巴赫猜想(1＋1)的光輝頂峰只有颶尺之遙時，他卻體力不支倒下去了……」在他身後，將會有更多的人去攀登這座高峰。
幾個未解的題。
1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=? 更一般地：
當k為奇數時 求(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=?
歐拉已求出：
(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6
並且當k為偶數時的表達式。
2、e+π的超越性
此題為希爾伯特第7問題中的一個特例。
已經證明了e^π的超越性，卻至今未有人證明e+π的超越性。
3、素數問題。
證明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … (s屬於復數域)
所定義的函數ζ(s)的零點，除負整實數外，全都具有實部1/2。此即黎曼猜想。也就是希爾伯特第8問題。美國數學家用計算機算了ζ(s)函數前300萬個零點確實符合猜想。希爾伯特認為黎曼猜想的解決能夠使我們嚴格地去解決歌德巴赫猜想（任一偶數可以分解為兩素數之和）和孿生素數猜想（存在無窮多相差為2的素數）。
引申的問題是：素數的表達公式？素數的本質是什麼？
4、 存在奇完全數嗎？
所謂完全數，就是等於其因子的和的數。
前三個完全數是：
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
目前已知的32個完全數全部是偶數。
1973年得到的結論是如果n為奇完全數，則：
n>10^50
5、 除了8=2^3,9=3^2外，再沒有兩個連續的整數可表為其他正整數的方冪了嗎？
這是卡塔蘭猜想（1842）。1962年我國數學家柯召獨立證明了不存在連續三個整數可表為其它正整數的方冪。1976年，荷蘭數學家證明了大於某個數的任何兩個正整數冪都不連續。因此只要檢查小於這個數的任意正整數冪是否有連續的就行了。但是，由於這個數太大，有500多位，已超出計算機的計算范圍。所以，這個猜想幾乎是正確的，但是至今無人能夠證實。
6、 任給一個正整數n，如果n為偶數，就將它變為n/2,如果除後變為奇數，則將它乘3加1（即3n+1）。不斷重復這樣的運算，經過有限步後，一定可以得到1嗎？
這角古猜想（1930）。人們通過大量的驗算，從來沒有發現反例，但沒有人能證明。
三 希爾伯特23問題里尚未解決的問題。
1、問題1連續統假設。全體正整數（被稱為可數集）的基數 和實數集合（被稱為連續統）的基數c之間沒有其它基數。
1938年奧地利數學家哥德爾證明此假設在集合論公理系統，即策莫羅-佛朗克爾公理系統里，不可證偽。1963年美國數學家柯恩證明在該公理系統，不能證明此假設是對的。所以，至今未有人知道，此假設到底是對還是錯。
2、問題2 算術公理相容性。
哥德爾證明了算術系統的不完備，使希爾伯特的用元數學證明算術公理系統的無矛盾性的想法破滅。
3、 問題7 某些數的無理性和超越性。 見上面 二 的 2
5、 問題 8 素數問題。見上面 二 的 3
6、 問題 11 系數為任意代數數的二次型。
德國和法國數學家在60年代曾取得重大進展。
7、 問題 12 阿貝爾域上的克羅內克定理在任意代數有理域上的推廣。
此問題只有些零散的結果，離徹底解決還十分遙遠。
8、 問題13 僅用二元函數解一般7次代數方程的不可能性。
1957蘇聯數學家解決了連續函數情形。如要求是解析函數則此問題尚未完全解決。
9、 問題15 舒伯特計數演算的嚴格基礎。
代數簌交點的個數問題。和代數幾何學有關。
10、 問題 16 代數曲線和曲面的拓撲。
要求代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。和微分方程的極限環的最多個數和相對位置。
11、 問題 18 用全等多面體來構造空間。
無限個相等的給定形式的多面體最緊密的排列問題，現在仍未解決。
12、 問題 20 一般邊值問題。
偏微分方程的邊值問題，正在蓬勃發展。
13、 問題 23 變分法的進一步發展。

四 千禧七大難題
2000年美國克雷數學促進研究所提出。為了紀念百年前希爾伯特提出的23問題。每一道題的賞金均為百萬美金。
1、 黎曼猜想。 見 二 的 3
透過此猜想，數學家認為可以解決素數分布之謎。這個問題是希爾伯特23個問題中還沒有解決的問題。透過研究黎曼猜想數學家們認為除了能解開質數分布之謎外，對於解析數論、函數理論、橢圓函數論、群論、質數檢驗等都將會有實質的影響。
2、楊-密爾斯理論與質量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass GapHypothesis)
西元1954 年楊振寧與密爾斯提出楊-密爾斯規范理論，楊振寧由數學開始，提出一個具有規范性的理論架構，後來逐漸發展成為量子物理之重要理論，也使得他成為近代物理奠基的重要人物。楊振寧與密爾斯提出的理論中會產生傳送作用力的粒子，而他們碰到的困難是這個粒子的質量的問題。他們從數學上所推導的結果是，這個粒子具有電荷但沒有質量。然而，困難的是如果這一有電荷的粒子是沒有質量的，那麼為什麼沒有任何實驗證據呢？而如果假定該粒子有質量，規范對稱性就會被破壞。一般物理學家是相信有質量，因此如何填補這個漏洞就是相當具挑戰性的數學問題。
3、P 問題對NP 問題(The P Versus NP Problems)
隨著計算尺寸的增大，計算時間會以多項式方式增加的型式的問題叫做「P 問題」。P 問題的P 是Polynomial Time(多項式時間)的頭一個字母。已知尺寸為n，如果能決定計算時間在cnd (c 、d 為正實數) 時間以下就可以或不行時，我們就稱之為「多項式時間決定法」。而能用這個演算法解的問題就是P 問題。反之若有其他因素，例如第六感參與進來的演算法就叫做「非決定性演算法」，這類的問題就是「NP 問題」，NP 是Non deterministic Polynomial time (非決定性多項式時間)的縮寫。由定義來說，P 問題是NP 問題的一部份。但是否NP 問題裡面有些不屬於P 問題等級的東西呢？或者NP 問題終究也成為P 問題？這就是相當著名的PNP 問題。
4、.納維爾–史托克方程（Navier–Stokes Equations）
因為尤拉方程太過簡化所以尋求作修正，在修正的過程中產生了新的結果。法國工程師納維爾及英國數學家史托克經過了嚴格的數學推導，將黏性項也考慮進去得到的就是納維爾–史托克方程。自從西元1943 年法國數學家勒雷（Leray）證明了納維爾–史托克方程的全時間弱解(global weak solution)之後，人們一直想知道的是此解是否唯一？得到的結果是：如果事先假設納維爾–史托克方程的解是強解(strong solution)，則解是唯一。所以此問題變成:弱解與強解之間的差距有多大，有沒有可能弱解會等於強解？換句話說，是不是能得到納維爾–史托克方程的全時間平滑解？再者就是證明其解在有限時間內會爆掉(blow up in finite time)。解決此問題不僅對數學還有對物理與航太工程有貢獻，特別是亂流(turbulence)都會有決定性的影響，另外納維爾–史托克方程與奧地利偉大物理學家波茲曼的波茲曼方程也有密切的關系，研究納維爾–史托克（尤拉）方程與波茲曼方程（Boltzmann Equations）兩者之關系的學問叫做流體極限(hydrodynamics limit)，由此可見納維爾–史托克方程本身有非常豐富之內涵。
5.龐加萊臆測(Poincare Conjecture)
龐加萊臆測是拓樸學的大問題。用數學界的行話來說：單連通的三維閉流形與三維球面同胚。從數學的意義上說這是一個看似簡單卻又非常困難的問題，自龐加萊在西元1904 年提出之後，吸引許多優秀的數學家投入這個研究主題。龐加萊（圖4）臆測提出不久，數學們自然的將之推廣到高維空間(n4)，我們稱之為廣義龐加萊臆測：單連通的≥n(n4)維閉流形，如果與n ≥ 維球面有相同的基本群(fundamental group)則必與n維球面同胚。經過近60 年後，西元1961 年，美國數學家斯麥爾（Smale）以巧妙的方法，他忽略三維、四維的困難，直接證明五維(n5)以上的≥廣義龐加萊臆測，他因此獲得西元1966 年的費爾茲獎。經過20年之後，另一個美國數學家佛瑞曼（Freedman）則證明了四維的龐加萊臆測，並於西元1986年因為這個成就獲得費爾茲獎。但是對於我們真正居住的三維空間(n3)，在當時仍然是一個未解之謎。一直到西元2003 年4 月，俄羅斯數學家斐雷曼（Perelman）於麻省理工學院做了三場演講，在會中他回答了許多數學家的疑問，許多跡象顯示斐雷曼可能已經破解龐加萊臆測。數天後「紐約時報」首次以「俄國人解決了著名的數學問題」為題向公眾披露此一消息。同日深具影響力的數學網站MathWorld 刊出的頭條文章為「龐加萊臆測被證明了，這次是真的！」[14]。數學家們的審查將到2005年才能完成，到目前為止，尚未發現斐雷曼無法領取克雷數學研究所之百萬美金的漏洞。
6.白之與斯溫納頓-戴爾臆測（Birch and Swinnerton-DyerConjecture）一般的橢圓曲線方程式 y^2=x^3+ax+b ，在計算橢圓之弧長時就會遇見這種曲線。自50 年代以來，數學家便發現橢圓曲線與數論、幾何、密碼學等有著密切的關系。例如：懷爾斯（Wiles）證明費馬最後定理，其中一個關鍵步驟就是用到橢圓曲線與模形式(molarform)之關系－即谷山-志村猜想，白之與斯溫納頓-戴爾臆測就是與橢圓曲線有關。
60年代英國劍橋大學的白之與斯溫納頓-戴爾利用電腦計算一些多項式方程式的有理數解。通常會有無窮多解，然而要如何計算無限呢？其解法是先分類，典型的數學方法是同餘(congruence)這個觀念並藉此得同餘類(congruence class)即被一個數除之後的余數，無窮多個數不可能每個都要。數學家自然的選擇了質數，所以這個問題與黎曼猜想之Zeta 函數有關。經由長時間大量的計算與資料收集，他們觀察出一些規律與模式，因而提出這個猜測。他們從電腦計算之結果斷言：橢圓曲線會有無窮多個有理點，若且唯若附於曲線上面的 Zeta 函數ζ (s) = 時取值為0，即ζ (1)；當s1= 0
7.霍奇臆測(Hodge Conjecture)
「任意在非奇異投影代數曲體上的調和微分形式，都是代數圓之上同調類的有理組合。」最後的這個難題，雖不是千禧七大難題中最困難的問題，但卻可能是最不容易被一般人所了解的。因為其中有太多高深專業而且抽象參考資料：《數學的100個基本問題》《數學與文化》《希爾伯特23個數學問題回顧》

㈦ 美國高考的試題類型都是什麼樣的

美國的高考有2種，SAT和ACT。

一套SAT有多少題

考試內容的順序

閱讀部分
數學部分
寫作部分

SAT分成三個部分：閱讀（通常華人將這一部分稱之為英文）、數學、及寫作；每一部分的成績是200至800分。在每次考試中都會有一個25分鍾的不計成績部分（unscored section）。不計成績部分是為了設計未來的試題等目的。不計成績部分可能是三部分的任何一部分。

科目
最低分
最高分
時間（分鍾）

英文
200
800
70

數學
200
800
70

寫作
200
800
60

附加題
25

在美國每年SAT有七次考試，在其它許多國家每年有六次考試。考試時間、考試地點、考試費用、及注冊方法，或請查詢英文網站http://www.collegeboard.com。

一套SAT考試多少題

根據大學板（College Board）出的所謂官方題，我們得出的數據如下：

Critical Reading
Sentence Completions
19
67

Passages Critical Reading
48

Writing
Identifying Sentence Errors
18
49

Improving Sentences
25

Improving Paragraphs
6

Student-written Essay
1
1

Math
Multiple-choices
44
54

如上表所示，閱讀部分共67道題：其中完成句子有19道，段落閱讀有48道。寫作共49道題和一個短文：其中有18道句子找錯，25道改句，6道改段落，和一個短文。數學部分有54道題，其中多選題44道，填空題10道。共170道題及一個短文。

這里沒有計算那個考生恨之入骨的附加部分。附加部分，不計成績；無法與其它正常部分區分；時間長度是25分鍾。附加部分可以是除寫作和10分鍾的多選題之外的任意其它部分中的一項。附加部分是您對ETS的免費貢獻。您可千萬別太小氣。據說，最好不要猜測哪一部分是不計成績的附加部分。因為，ETS會把附加部分和正常的部分設計得沒有區別，一旦猜錯，那可是倒失一把米的差事。

考試內容的順序

SAT分為十個部分（Sections）：第一部分總是25分鍾的寫作。最後一部分總是10分鍾的多選寫作題。其它6個25分鍾和2個20分鍾部分出現的前後順序每張考卷可能各不相同。出題單位的用意是避免考生相互幫助，或窺視。

閱讀部分

閱讀部分總共是70分鍾，由2個25分鍾和一個20分鍾部分組成。分數是200分到800分。最低分是200分，最高分是800分。美國人太慷慨了，全部答錯，還給200分；而在中國全部答對，才給100分。考試的內容是詞彙閱讀理解，整句的閱讀理解，及段落的閱讀理解。

數學部分

數學部分總共是70分鍾，由2個25分鍾和一個20分鍾部分組成。分數是200分到800分。最低分是200分，最高分是800分。考試的內容涵蓋：數字及其運算、代數與函數、幾何、統計、概率、和數據分析。考試題目的方式是多選題（Five-choice，multiple-choice questions and student-proced responses）。

寫作部分

寫作部分總共是60分鍾，由35分鍾的多選題和25分鍾短文部分組成。分數是200分到800分。最低分是200分，最高分是800分。35分鍾是多選題；25分鍾是學生短文的寫作。考試的內容是語法、慣用法、及詞彙的選擇。

ACT：ACT考試與SAT考試均被稱為「美國高考」，它們既是美國大學的入學條件之一，又是大學發放獎學金的主要依據之一及對學生綜合能力的測試標准。ACT考試和SAT類似，它的全稱是（American College Test）。這個考試也被很多美國大學承認，但其中中部和西部的院校居多。和SAT不同，ACT考試更像一種學科考試，它更強調考生對課程知識的掌握，同時也考慮到了對考生獨立思考和判斷能力的測試。從難度上看，ACT考試比SAT更容易一些，尤其對中國的考生來說，選擇ACT考試可能更容易在短期內獲得相對滿意的成績。ACT考試不分I和II。它包括四個部分：數學、英語、閱讀、科學推理。這里值得一提的是科學推理，這部分整合高中物理，化學，生物等學科，綜合在一張卷子上，以推理題目的形式出現。出題方式比較靈活，考驗對高中知識的掌握和邏輯能力。
考試時間: 英語 75問題/45分鍾. 數學 60問題/60分鍾. 閱讀 40問題/35分鍾. 科學 40問題/35分鍾. 還有一個寫作(選做). 全部是選擇題,題目簡單,關鍵是時間不夠,但對於中國學生,數學應該很簡單.
ACT考試每年舉行5次，具體時間分別是2月中、4月中、6月初、10月底和12月初。據ACT考試的主辦方負責人透露，為了在中國進行ACT考試的推廣，ACT方面已經在中國的一些大城市設置了教學考試中心。並將在年內在國內的北京、上海、成都、廣州等城市設置相關的考場，為考生參加ACT考試提供更大的便利。
2008年~2009年年度ACT考試時間：據美國大學考試委員會ACT通知，ACT-GAC預科學生2008年~2009年可選的考試時間已經排定，具體考試時間如下：2008年10月25日、12月13日；2009年2月7日、4月4日、6月13日。其中2008年10月25日，12月13日，2009年4月4日可以選考寫作。
ACT現狀：全世界每年有近250萬人次參加ACT考試，ACT考試不僅考察學生對英語的掌握能力，還要考查數學、科學等多個方面，是一項能力的測試。在中國內地，目前還沒有專門的ACT考試中心為學生提供考試服務(學生只能到香港進行報名考試)，但GAC國際大學預科課程內容與美國ACT考試要求非常一致，學生完成GAC預科學習的同時，即可在該中心參加ACT考試。

ACT考試全稱為美國大學入學考試（American College Test），ACT成績被全美包括哈佛大學、普林斯頓大學、耶魯大學、麻省理工大學、斯坦福大學等常青藤名校在內的3000多所大學接受為本科入學標准。同時，ACT成績被北美、英國、澳洲包括多倫多大學、英屬哥倫比亞大學、格拉斯哥大學、新南威爾士大學等世界名校接受為本科入學標准。

ACT考試涵蓋英語閱讀、語法、數學和科學等幾個方面，GAC課程為學生提供完全覆蓋ACT考試內容的課程教學，在為學生做好銜接教育的同時，還可幫助學生在ACT考試中取得理想的成績。

在中國，目前還沒有專門的ACT考試中心對外為學生提供該考試服務，只有就讀GAC預科課程的學生可以在其就讀的學校進行ACT考試，獲得ACT考試成績後，結合預科證書，學生在有資格申請100多所協議大學的同時，還有資格申請接受ACT考試成績的大學，學生的選擇面將會更寬。

㈧ SAT數學主要考點有哪些

SAT數學考試內容

1、第一部分25分鍾，包括15個選擇題，5個網格題，不允許使用計算器。

2、第二部分55分鍾，30道選擇題，8道網格題，本部分可以使用計算器。

考試知識點

1、代數基礎

19個問題，包括：解方程和方程組、創建表達式、方程和不等式來表示量之間的關系和解決問題、重新排列和解釋公式。

2、問題解決和數據分析

17個問題，包括：使用比率、比例、百分比
和單位創建和分析關系；描述圖形顯示的關系；總結定性和定量數據。

3、高等數學入門

16個問題，包括：使用表達式的結構重寫表達式；創建、分析和求解二次和高階方程；使用多項式來解決問題。

4、數學附加題

6個問題，包括：面積和體積計算；用定理研究線、角、三角形和圓；三角函數等。

解題技巧

1、認真閱讀題目

如果考生僅僅粗略閱讀了題目就急忙進行解題，不僅無法體會題目的具體難度和最佳解題路徑，而且很有可能會落入題干圈套，做出錯誤的回答。

2、思考最快捷的解題方法

• 在SAT的數學題的解答中，所需要的全部信息都提供給了每個考生。因此，考生在仔細閱讀題目以後所需要做的就是思考解題的最佳方法。
  

• 每一道SAT數學題都可能有一種乃至多種解題技巧，但考生還是要盡量尋找最為便捷的途徑，節省考場上寶貴的時間。

3、跳過一時難以解決的題目

盡管SAT數學題中絕大多數題目難度都不大，而在一些貌似簡單的數學題目中，考生也往往會遭遇到各種各樣的陷阱。

㈨ 美國大學入學考試都考什麼

全稱「American College Testing」，中文名稱為「美國大學入學考試」。它是美國大學本科的入學條件之一，也是獎學金發放的重要依據之一，由ACT INC主辦。
ACT考試包括五個部分：英語、數學、閱讀、科學、以及作文(選考)。ACT考試是美國唯一包括科學科目的大學入學考試。每一道ACT考題都經歷了12個步驟的研發和命題過程，確保測量的准確性和可靠性。
ACT考試科目介紹：共215道。總分36分，考試時間共175分鍾
ACT的分數有科學和精確的換算標准。由於ACT寫作是選考部分，通常只有在常春藤名校和很多排名前五十的高校，會要求ACT寫作成績，否則不強制要求寫作成績。
而分數對應的申請要求分別是：
美國高校ACT入學標准(滿分 36 分) ：
27-31 分 可以被Highly Selective級別高校錄取(通常為頂尖高校)
22-27 分 可以被Selective級別高校錄取(通常為重點高校，排名在top100 內)
20-23 分 可以被Traditional級別高校錄取(美國排名中間的高校)
18-21 分 可以被Liberal 級別高校錄取(一般的高校)
17 分以上 可以被高校錄取 18 分以上將有機會申請獎學金
27 分以上將很有可能拿到全額獎學金。
ACT考試每年舉行6次，具體時間分別是2月、4月、6月、9月、10月和12月;其中2月考試只在北美地區舉行，目前ACT方面已經在中國的一些大城市設置了教學考試中心。分別是北京、上海、沈陽、青島、大連、成都、廣州，哈爾濱，西安等城市，具體報名和考試日期以當地考試中心公布為准。
同一個考生最多隻能參加12次的ACT考試。
ACT官網按照美國考生和國際考生來分別展示考試費用。美國考生不含寫作的ACT考試費為50.5美元，國際考生的考試費則為150美元，其中99.5美元為過去的國際考試費。

㈩ 求一道世界未解數學題

世界近代三大數學難題之一四色猜想

四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：「看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。」這個結論能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。

1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數學家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，於是寫信向自己的好友、著名數學家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信後，對四色問題進行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。

1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色 猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰 。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。

11年後，即1890年，數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。後來，越來越多的數學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目, 實是一個可與費馬猜想相媲美的難題：先輩數學大師們的努力，為後世的數學家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。

進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎上引進了一些新技巧，美國數學家富蘭克林於1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨後又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成為數學史上一系列新思維的起點。不過也有不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。
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世界近代三大數學難題之一 費馬最後定理

被公認執世界報紙牛耳地位地位的紐約時報於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有
關數學難題得以解決的消息，那則消息的標題是「在陳年數學困局中，終於有人呼叫『
我找到了』」。時報一版的開始文章中還附了一張留著長發、穿著中古世紀歐洲學袍的
男人照片。這個古意盎然的男人，就是法國的數學家費馬（Pierre de Fermat）（費馬
小傳請參考附錄）。費馬是十七世紀最卓越的數學家之一，他在數學許多領域中都有極
大的貢獻，因為他的本行是專業的律師，為了表彰他的數學造詣，世人冠以「業余王子
」之美稱，在三百六十多年前的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘數學家戴奧芬多斯的
數學書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理這個定理的內
容是有關一個方程式 x2 + y2 =z2的正整數解的問題，當n=2時就是我們所熟知的畢氏定
理（中國古代又稱勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之
兩股，也就是一個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個方程式當然有
整數解（其實有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13…
等等。

費馬聲稱當n>2時，就找不到滿足xn +yn = zn的整數解，例如：方程式x3 +y3=z3就無法
找到整數解。

當時費馬並沒有說明原因，他只是留下這個敘述並且也說他已經發現這個定理的證明妙
法，只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費馬也因此留下了千古的難題，三百
多年來無數的數學家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀難題的費馬最
後定理也就成了數學界的心頭大患，極欲解之而後快。

十九世紀時法國的法蘭西斯數學院曾經在一八一五年和一八六0年兩度懸賞金質獎章和
三百法郎給任何解決此一難題的人，可惜都沒有人能夠領到獎賞。德國的數學家佛爾夫
斯克爾（P?Wolfskehl）在1908年提供十萬馬克，給能夠證明費馬最後定理是正確的人，
有效期間為100年。其間由於經濟大蕭條的原因，此筆獎額已貶值至七千五百馬克，雖然
如此仍然吸引不少的「數學痴」。

二十世紀電腦發展以後，許多數學家用電腦計算可以證明這個定理當n為很大時是成立的
，1983年電腦專家斯洛文斯基藉助電腦運行5782秒證明當n為286243-1時費馬定理是正確
的（注286243-1為一天文數字，大約為25960位數）。

雖然如此，數學家還沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數學懸案終於解
決了，這個數學難題是由英國的數學家威利斯（Andrew Wiles）所解決。其實威利斯是
利用二十世紀過去三十年來抽象數學發展的結果加以證明。

五0年代日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲現的猜想，後來由另一位數學家志
村五郎加以發揚光大，當時沒有人認為這個猜想與費馬定理有任何關聯。在八0年代德
國數學家佛列將谷山豐的猜想與費馬定理扯在一起，而威利斯所做的正是根據這個關聯
論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的，進而推出費馬最後定理也是正確的。這個結論
由威利斯在1993年的6月21日於美國劍橋大學牛頓數學研究所的研討會正式發表，這個報
告馬上震驚整個數學界，就是數學門牆外的社會大眾也寄以無限的關注。不過威利斯的
證明馬上被檢驗出有少許的瑕疵，於是威利斯與他的學生又花了十四個月的時間再加以
修正。1994年9月19日他們終於交出完整無瑕的解答，數學界的夢魘終於結束。1997年6
月，威利斯在德國哥庭根大學領取了佛爾夫斯克爾獎。當年的十萬法克約為兩百萬美金
，不過威利斯領到時，只值五萬美金左右，但威利斯已經名列青史，永垂不朽了。
要證明費馬最後定理是正確的
（即xn + yn = zn 對n33 均無正整數解）
只需證 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P為奇質數)，都沒有整數解。
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世界近代三大數學難題之一 哥德巴赫猜想

哥德巴赫是德國一位中學教師，也是一位著名的數學家，生於1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小於6的偶數都是兩個素數(只能被和它本身整除的數)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 1742年6月7日，哥德巴赫寫信將這個問題告訴給義大利大數學家歐拉，並請他幫助作出證明。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數學家的注意。他們對一個個偶數開始進行驗算，一直算到3．3億，都表明猜想是正確的。但是對於更大的數目，猜想也應是對的，然而不能作出證明。歐拉一直到死也沒有對此作出證明。從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的「明珠」。到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。1920年、挪威數學家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比大的偶數都可以表示為(99)。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們於是從(9十9)開始，逐步減少每個數里所含質數因子的個數，直到最後使每個數里都是一個質數為止，這樣就證明了「哥德巴赫」。 1924年，數學家拉德馬哈爾證明了(7＋7)；1932年，數學家愛斯爾曼證明了(6＋6)；1938年，數學家布赫斯塔勃證明了(5十5)，1940年，他又證明了(4＋4)；1956年，數學家維諾格拉多夫證明了(3＋3)；1958年，我國數學家王元證明了(2十3)。隨後，我國年輕的數學家陳景潤也投入到對哥德巴赫猜想的研究之中，經過10年的刻苦鑽研，終於在前人研究的基礎上取得重大的突破，率先證明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最後一步(1＋1)了。陳景潤的論文於1973年發表在中國科學院的《科學通報》第17期上，這一成果受到國際數學界的重視，從而使中國的數論研究躍居世界領先地位，陳景潤的有關理論被稱為「陳氏定理」。1996年3月下旬，當陳景潤即將摘下數學王冠上的這顆明珠，「在距離哥德巴赫猜想(1＋1)的光輝頂峰只有颶尺之遙時，他卻體力不支倒下去了……」在他身後，將會有更多的人去攀登這座高峰。

一 數學基礎問題。
1、 數是什麼？
2、 四則運算是什麼？
3、 加法和乘法為什麼符合交換律，結合律，分配律？
4、 幾何圖形是什麼？

二 幾個未解的題。
1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=?
更一般地：
當k為奇數時 求
(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=?
背景：
歐拉求出：
(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6

並且當k為偶數時的表達式。
2、e+π的超越性
背景
此題為希爾伯特第7問題中的一個特例。
已經證明了e^π的超越性，卻至今未有人證明e+π的超越性。

3、素數問題。
證明：
ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + …

(s屬於復數域)
所定義的函數ζ(s)的零點，除負整實數外，全都具有實部1/2。

背景：
此即黎曼猜想。也就是希爾伯特第8問題。
美國數學家用計算機算了ζ(s)函數前300萬個零點確實符合猜想。
希爾伯特認為黎曼猜想的解決能夠使我們嚴格地去解決歌德巴赫猜想（任一偶數可以分解為兩素數之和）和孿生素數猜想（存在無窮多相差為2的素數）。

引申的問題是：素數的表達公式？素數的本質是什麼？

4、 存在奇完全數嗎？

背景：
所謂完全數，就是等於其因子的和的數。
前三個完全數是：
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
目前已知的32個完全數全部是偶數。
1973年得到的結論是如果n為奇完全數，則：
n>10^50

5、 除了8=2^3,9=3^2外，再沒有兩個連續的整數可表為其他正整數的方冪了嗎？

背景：
這是卡塔蘭猜想（1842）。
1962年我國數學家柯召獨立證明了不存在連續三個整數可表為其它正整數的方冪。
1976年，荷蘭數學家證明了大於某個數的任何兩個正整數冪都不連續。因此只要檢查小於這個數的任意正整數冪是否有連續的就行了。
但是，由於這個數太大，有500多位，已超出計算機的計算范圍。
所以，這個猜想幾乎是正確的，但是至今無人能夠證實。

6、 任給一個正整數n，如果n為偶數，就將它變為n/2,如果除後變為奇數，則將它乘3加1（即3n+1）。不斷重復這樣的運算，經過有限步後，一定可以得到1嗎？

背景：
這角古猜想（1930）。
人們通過大量的驗算，從來沒有發現反例，但沒有人能證明。

三 希爾伯特23問題里尚未解決的問題。
1、問題1連續統假設。
全體正整數（被稱為可數集）的基數 和實數集合（被稱為連續統）的基數c之間沒有其它基數。
背景：1938年奧地利數學家哥德爾證明此假設在集合論公理系統，即策莫羅-佛朗克爾公理系統里，不可證偽。
1963年美國數學家柯恩證明在該公理系統，不能證明此假設是對的。
所以，至今未有人知道，此假設到底是對還是錯。
2、問題2 算術公理相容性。
背景：哥德爾證明了算術系統的不完備，使希爾伯特的用元數學證明算術公理系統的無矛盾性的想法破滅。
3、 問題7 某些數的無理性和超越性。
見上面 二 的 2
5、 問題 8 素數問題。
見上面 二 的 3
6、 問題 11 系數為任意代數數的二次型。
背景：德國和法國數學家在60年代曾取得重大進展。
7、 問題 12 阿貝爾域上的克羅內克定理在任意代數有理域上的推廣。
背景：此問題只有些零散的結果，離徹底解決還十分遙遠。
8、 問題13 僅用二元函數解一般7次代數方程的不可能性。
背景：1957蘇聯數學家解決了連續函數情形。如要求是解析函數則此問題尚未完全解決。
9、 問題15 舒伯特計數演算的嚴格基礎。
背景： 代數簌交點的個數問題。和代數幾何學有關。
10、 問題 16 代數曲線和曲面的拓撲。
要求代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。和微分方程的極限環的最多個數和相對位置。
11、 問題 18 用全等多面體來構造空間。
無限個相等的給定形式的多面體最緊密的排列問題，現在仍未解決。
12、 問題 20 一般邊值問題。
偏微分方程的邊值問題，正在蓬勃發展。
13、 問題 23 變分法的進一步發展。

四 千禧七大難題
2000年美國克雷數學促進研究所提出。為了紀念百年前希爾伯特提出的23問題。每一道題的賞金均為百萬美金。

1、 黎曼猜想。
見 二 的 3
透過此猜想，數學家認為可以解決素數分布之謎。
這個問題是希爾伯特23個問題中還沒有解決的問題。透過研究黎曼猜想數
學家們認為除了能解開質數分布之謎外，對於解析數論、函數理論、
橢圓函數論、群論、質數檢驗等都將會有實質的影響。

2、楊-密爾斯理論與質量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap
Hypothesis)
西元1954 年楊振寧與密爾斯提出楊-密爾斯規范理論，楊振寧由
數學開始，提出一個具有規范性的理論架構，後來逐漸發展成為量子
物理之重要理論，也使得他成為近代物理奠基的重要人物。

楊振寧與密爾斯提出的理論中會產生傳送作用力的粒子，而他們
碰到的困難是這個粒子的質量的問題。他們從數學上所推導的結果
是，這個粒子具有電荷但沒有質量。然而，困難的是如果這一有電荷
的粒子是沒有質量的，那麼為什麼沒有任何實驗證據呢？而如果假定
該粒子有質量，規范對稱性就會被破壞。一般物理學家是相信有質
量，因此如何填補這個漏洞就是相當具挑戰性的數學問題。

3、P 問題對NP 問題(The P Versus NP Problems)
隨著計算尺寸的增大，計算時間會以多項式方式增加的型式的問題叫做「P 問題」。

P 問題的P 是Polynomial Time(多項式時間)的頭一個字母。已
知尺寸為n，如果能決定計算時間在cnd (c 、d 為正實數) 時間以下
就可以或不行時，我們就稱之為「多項式時間決定法」。而能用這個
演算法解的問題就是P 問題。反之若有其他因素，例如第六感參與進來
的演算法就叫做「非決定性演算法」，這類的問題就是「NP 問題」，NP 是
Non deterministic Polynomial time (非決定性多項式時間)的縮寫。

由定義來說，P 問題是NP 問題的一部份。但是否NP 問題裡面有
些不屬於P 問題等級的東西呢？或者NP 問題終究也成為P 問題？這
就是相當著名的PNP 問題。

4、.納維爾–史托克方程（Navier–Stokes Equations）
因為尤拉方程太過簡化所以尋求作修正，在修正的過程中產生了
新的結果。法國工程師納維爾及英國數學家史托克經過了嚴格的數學
推導，將黏性項也考慮進去得到的就是納維爾–史托克方程。

自從西元1943 年法國數學家勒雷（Leray）證明了納維爾–史托
克方程的全時間弱解(global weak solution)之後，人們一直想知道
的是此解是否唯一？得到的結果是：如果事先假設納維爾–史托克方
程的解是強解(strong solution)，則解是唯一。所以此問題變成:弱解與強解之間的差距有多大，有沒有可能弱解會等於強解？換句話說，是不是能得到納維爾–史托克方程的全時間平滑解？再者就是證
明其解在有限時間內會爆掉(blow up in finite time)。

解決此問題不僅對數學還有對物理與航太工程有貢獻，特別是亂
流(turbulence)都會有決定性的影響，另外納維爾–史托克方程與奧
地利偉大物理學家波茲曼的波茲曼方程也有密切的關系，研究納維
爾–史托克（尤拉）方程與波茲曼方程（Boltzmann Equations）兩
者之關系的學問叫做流體極限(hydrodynamics limit)，由此可見納
維爾–史托克方程本身有非常豐富之內涵。

5.龐加萊臆測(Poincare Conjecture)
龐加萊臆測是拓樸學的大問題。用數學界的行話來說：單連通的
三維閉流形與三維球面同胚。
從數學的意義上說這是一個看似簡單卻又非
常困難的問題，自龐加萊在西元1904 年提出之
後，吸引許多優秀的數學家投入這個研究主題。
龐加萊（圖4）臆測提出不久，數學們自然的將
之推廣到高維空間(n4)，我們稱之為廣義龐加萊臆測：單連通的

≥

n(n4)維閉流形，如果與n

≥ 維球面有相同的基本群(fundamental group)則必與n維球面同胚。

經過近60 年後，西元1961 年，美國數學家斯麥爾（Smale）以
巧妙的方法，他忽略三維、四維的困難，直接證明五維(n5)以上的

≥
廣義龐加萊臆測，他因此獲得西元1966 年的費爾茲獎。經過20年之
後，另一個美國數學家佛瑞曼（Freedman）則證明了四維的龐加萊臆
測，並於西元1986年因為這個成就獲得費爾茲獎。但是對於我們真
正居住的三維空間(n3)，在當時仍然是一個未解之謎。

=

一直到西元2003 年4 月，俄羅斯數學家斐雷曼（Perelman）於
麻省理工學院做了三場演講，在會中他回答了許多數學家的疑問，許
多跡象顯示斐雷曼可能已經破解龐加萊臆測。數天後「紐約時報」首
次以「俄國人解決了著名的數學問題」為題向公眾披露此一消息。同
日深具影響力的數學網站MathWorld 刊出的頭條文章為「龐加萊臆測

被證明了，這次是真的！」[14]。

數學家們的審查將到2005年才能完成，到目前為止，尚未發現
斐雷曼無法領取克雷數學研究所之百萬美金的漏洞。

6.白之與斯溫納頓-戴爾臆測（Birch and Swinnerton-Dyer
Conjecture）
一般的橢圓曲線方程式 y^2=x^3+ax+b ，在計算橢圓之弧長時
就會遇見這種曲線。自50 年代以來，數學家便發現橢圓曲線與數論、

幾何、密碼學等有著密切的關系。例如：懷爾斯（Wiles）證明費馬
最後定理，其中一個關鍵步驟就是用到橢圓曲線與模形式(molarform)之關系－即谷山-志村猜想，白之與斯溫納頓-戴爾臆測就是與
橢圓曲線有關。

60年代英國劍橋大學的白之與斯溫納頓-戴爾利用電腦計算一些
多項式方程式的有理數解。通常會有無窮多解，然而要如何計算無限
呢？其解法是先分類，典型的數學方法是同餘(congruence)這個觀念
並藉此得同餘類(congruence class)即被一個數除之後的余數，無窮
多個數不可能每個都要。數學家自然的選擇了質數，所以這個問題與
黎曼猜想之Zeta 函數有關。經由長時間大量的計算與資料收集，他
們觀察出一些規律與模式，因而提出這個猜測。他們從電腦計算之結
果斷言：橢圓曲線會有無窮多個有理點，若且唯若附於曲線上面的

Zeta 函數ζ (s) = 時取值為0，即ζ (1)

；當s1= 0

7.霍奇臆測(Hodge Conjecture)
「任意在非奇異投影代數曲體上的調和微分形式，都是代數圓之
上同調類的有理組合。」
最後的這個難題，雖不是千禧七大難題中最困難的問題，但卻可
能是最不容易被一般人所了解的。因為其中有太多高深專業而且抽象
參考資料：《數學的100個基本問題》《數學與文化》《希爾伯特23個數學問題回顧》