雲南大學徐四川教授

⑴ 60年數學發展史

數學是中國古代科學中一門重要的學科，根據中國古代數學發展的特點，可以分為五個時期：萌芽；體系的形成；發展；繁榮和中西方數學的融合。 中國古代數學的萌芽 原始公社末期，私有制和貨物交換產生以後，數與形的概念有了進一步的發展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字元號取代結繩記事了。 西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創造了規、矩、准、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。 商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；與此同時，殷人用十個天乾和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發展為六十四卦，表示64種事物。 公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，並舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環矩可以為圓等例子。《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數的訓練，作為」六藝」之一的數已經開始成為專門的課程。 春秋戰國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上亦有相應的提高。 戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，尤其是對於正名和一些命題的爭論直接與數學有關。名家認為經過抽象以後的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出」矩不方，規不可以為圓」，把」大一」(無窮大)定義為」至大無外」，」小一」(無窮小)定義為」至小無內」。還提出了」一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等命題。 而墨家則認為名來源於物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。 墨家不同意」一尺之棰」的命題，提出一個」非半」的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的」非半」，這個」非半」就是點。 名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論，對中國古代數學理論的發展是很有意義的。 中國古代數學體系的形成 秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發展。中國古代數學體系正是形成於這個時期，它的主要標志是算術已成為一個專門的學科，以及以《九章算術》為代表的數學著作的出現。 《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立並鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。 《九章算術》有幾個顯著的特點：採用按類分章的數學問題集的形式；算式都是從籌算記數法發展起來的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。 這些特點是同當時社會條件與學術思想密切相關的。秦漢時期，一切科學技術都要為當時確立和鞏固封建制度，以及發展社會生產服務，強調數學的應用性。最後成書於東漢初年的《九章算術》，排除了戰國時期在百家爭鳴中出現的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重於與當時生產、生活密切相結合的數學問題及其解法，這與當時社會的發展情況是完全一致的。 《九章算術》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，並成為這些國家當時的數學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數學的發展。 中國古代數學的發展 魏、晉時期出現的玄學，不為漢儒經學束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利於數學從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經》，漢末魏初徐岳撰《九章算術》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術》注、《九章重差圖》都是出現在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。 趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明與推導的最早的數學家之一。他在《周髀算經》書中補充的」勾股圓方圖及注」和」日高圖及注」是十分重要的數學文獻。在」勾股圓方圖及注」中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在」日高圖及注」中，他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創性的，在中國古代數學發展中佔有重要地位。 劉徽約與趙爽同時，他繼承和發展了戰國時期名家和墨家的思想，主張對一些數學名詞特別是重要的數學概念給以嚴格的定義，認為對數學知識必須進行」析理」，才能使數學著作簡明嚴密，利於讀者。他的《九章算術》注不僅是對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且在論述的過程中有很大的發展。劉徽創造割圓術，利用極限的思想證明圓的面積公式，並首次用理論的方法算得圓周率為157/50和3927/1250。 劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恆為2:1，解決了一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓台的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。 東晉以後，中國長期處於戰爭和南北分裂的狀態。祖沖之父子的工作就是經濟文化南移以後，南方數學發展的具有代表性的工作，他們在劉徽注《九章算術》的基礎上，把傳統數學大大向前推進了一步。他們的數學工作主要有：計算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖(日恆)原理；提出二次與三次方程的解法等。 據推測，祖沖之在劉徽割圓術的基礎上，算出圓內接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這個結果。他又用新的方法得到圓周率兩個分數值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在圓周率計算方面，比西方領先約一千年之久； 祖沖之之子祖(日恆)總結了劉徽的有關工作，提出」冪勢既同則積不容異」，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖(日恆)公理。祖(日恆)應用這個公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。 隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通的《緝古算經》，主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數學的情況。王孝通在不用數學符號的情況下，立出數字三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為後來天元術的建立打下基礎。此外，對傳統的勾股形解法，王孝通也是用數字三次方程解決的。 唐初封建統治者繼承隋制，656年在國子監設立算學館，設有算學博士和助教，學生30人。由太史令李淳風等編纂注釋《算經十書》，作為算學館學生用的課本，明算科考試亦以這些算書為准。李淳風等編纂的《算經十書》，對保存數學經典著作、為數學研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經》、《九章算術》以及《海島算經》所作的註解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由於歷法的需要，天算學家創立了二次函數的內插法，豐富了中國古代數學的內容。 算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優點，但也存在布籌佔用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術上是重要的改革。尤其是」珠算」，它繼承了籌算五升十進與位值制的優點，又克服了籌算縱橫記數與置籌不便的缺點，優越性十分明顯。但由於當時乘除演算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應用。 唐中期以後，商業繁榮，數字計算增多，迫切要求改革計算方法，從《新唐書》等文獻留下來的算書書目，可以看出這次演算法改革主要是簡化乘、除演算法，唐代的演算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算，它既適用於籌算，也適用於珠算。 中國古代數學的繁榮 960年，北宋王朝的建立結束了五代十國割據的局面。北宋的農業、手工業、商業空前繁榮，科學技術突飛猛進，火葯、指南針、印刷術三大發明就是在這種經濟高漲的情況下得到廣泛應用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經十書》，1213年鮑擀之又進行翻刻。這些都為數學發展創造了良好的條件。 從11～14世紀約300年期間，出現了一批著名的數學家和數學著作，如賈憲的《黃帝九章演算法細草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章演算法》《日用演算法》和《楊輝演算法》，朱世傑的《算學啟蒙》《四元玉鑒》等，很多領域都達到古代數學的高峰，其中一些成就也是當時世界數學的高峰。 從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章演算法纂類》中載有賈憲」增乘開平方法」、」增乘開立方法」；在《詳解九章演算法》中載有賈憲的」開方作法本源」圖、」增乘方法求廉草」和用增乘開方法開四次方的例子。根據這些記錄可以確定賈憲已發現二項系數表，創造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數學發生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。 把增乘開方法推廣到數字高次方程(包括系數為負的情形)解法的是劉益。《楊輝演算法》中」田畝比類乘除捷法」卷，介紹了原書中22個二次方程和1個四次方程，後者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。 秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數為10)的問題。為了適應增乘開方法的計算程序，奏九韶把常數項規定為負數，把高次方程解法分成各種類型。當方程的根為非整數時，秦九韶採取繼續求根的小數，或用減根變換方程各次冪的系數之和為分母，常數為分子來表示根的非整數部分，這是《九章算術》和劉徽注處理無理數方法的發展。在求根的第二位數時，秦九韶還提出以一次項系數除常數項為根的第二位數的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多年。 元代天文學家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數的內插值問題。秦九韶在」綴術推星」題、朱世傑在《四元玉鑒》」如象招數」題都提到內插法(他們稱為招差術)，朱世傑得到一個四次函數的內插公式。 用天元(相當於x)作為未知數符號，立出高次方程，古代稱為天元術，這是中國數學史上首次引入符號，並用符號運算來解決建立高次方程的問題。現存最早的天元術著作是李冶的《測圓海鏡》。 從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組，是宋元數學家的又一項傑出的創造。留傳至今，並對這一傑出創造進行系統論述的是朱世傑的《四元玉鑒》。 朱世傑的四元高次聯立方程組表示法是在天元術的基礎上發展起來的，他把常數放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世傑的最大貢獻是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數，其他元組成的多項式作為這未知數的系數，列成若干個一元高次方程式，然後應用互乘相消法逐步消去這一未知數。重復這一步驟便可消去其他未知數，最後用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發展，比西方同類方法早400多年。 勾股形解法在宋元時期有新的發展，朱世傑在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內容。 已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經余弧，求赤經余弧和赤緯度數，是一個解球面直角三角形的問題，傳統歷法都是用內插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統的勾股形解法、沈括用會圓術和天元術解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式，結果不夠精確。但他們的整個推算步驟是正確無誤的，從數學意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。 中國古代計算技術改革的高潮也是出現在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術書目，其數量遠比唐代為多，改革的主要內容仍是乘除法。與演算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現。但如果把現代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的演算法和口訣，那麼應該說它最後完成於元代。 宋元數學的繁榮，是社會經濟發展和科學技術發展的必然結果，是傳統數學發展的必然結果。此外，數學家們的科學思想與數學思想也是十分重要的。宋元數學家都在不同程度上反對理學家的象數神秘主義。秦九韶雖曾主張數學與道學同出一源，但他後來認識到，」通神明」的數學是不存在的，只有」經世務類萬物」的數學；莫若在《四元玉鑒》序文中提出的」用假象真，以虛問實」則代表了高度抽象思維的思想方法；楊輝對縱橫圖結構進行研究，揭示出洛書的本質，有力地批判了象數神秘主義。所有這些，無疑是促進數學發展的重要因素。 中西方數學的融合 中國從明代開始進入了封建社會的晚期，封建統治者實行極權統治，宣傳唯心主義哲學，施行八股考試制度。在這種情況下，除珠算外，數學發展逐漸衰落。 16世紀末以後，西方初等數學陸續傳入中國，使中國數學研究出現一個中西融合貫通的局面；鴉片戰爭以後，近代數學開始傳入中國，中國數學便轉入一個以學習西方數學為主的時期；到19世紀末20世紀初，近代數學研究才真正開始。 從明初到明中葉，商品經濟有所發展，和這種商業發展相適應的是珠算的普及。明初《魁本對相四言雜字》和《魯班木經》的出現，說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本，後者把算盤作為家庭必需用品列入一般的木器傢具手冊中。 隨著珠算的普及，珠算演算法和口訣也逐漸趨於完善。例如王文素和程大位增加並改善撞歸、起一口訣；徐心魯和程大位增添加、減口訣並在除法中廣泛應用歸除，從而實現了珠算四則運算的全部口訣化；朱載墒和程大位把籌算開平方和開立方的方法應用到珠算，程大位用珠算解數字二次、三次方程等等。程大位的著作在國內外流傳很廣，影響很大。 1582年，義大利傳教士利瑪竇到中國，1607年以後，他先後與徐光啟翻譯了《幾何原本》前六卷、《測量法義》一卷，與李之藻編譯《圜容較義》和《同文算指》。1629年，徐光啟被禮部任命督修歷法，在他主持下，編譯《崇禎歷書》137卷。《崇禎歷書》主要是介紹歐洲天文學家第谷的地心學說。作為這一學說的數學基礎，希臘的幾何學，歐洲玉山若乾的三角學，以及納皮爾算籌、伽利略比例規等計算工具也同時介紹進來。 在傳入的數學中，影響最大的是《幾何原本》。《幾何原本》是中國第一部數學翻譯著作，絕大部分數學名詞都是首創，其中許多至今仍在沿用。徐光啟認為對它」不必疑」、」不必改」，」舉世無一人不當學」。《幾何原本》是明清兩代數學家必讀的數學書，對他們的研究工作頗有影響。 其次應用最廣的是三角學，介紹西方三角學的著作有《大測》《割圓八線表》和《測量全義》。《大測》主要說明三角八線(正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢、余矢)的性質，造表方法和用表方法。《測量全義》除增加一些《大測》所缺的平面三角外，比較重要的是積化和差公式和球面三角。所有這些，在當時歷法工作中都是隨譯隨用的。 1646年，波蘭傳教士穆尼閣來華，跟隨他學習西方科學的有薛鳳柞、方中通等。穆尼閣去世後，薛鳳柞據其所學，編成《歷學會通》，想把中法西法融會貫通起來。《歷學會通》中的數學內容主要有比例對數表》《比例四線新表》和《三角演算法》。前兩書是介紹英國數學家納皮爾和布里格斯發明增修的對數。後一書除《崇禎歷書》介紹的球面三角外，尚有半形公式、半弧公式、德氏比例式、納氏比例式等。方中通所著《數度衍》對對數理論進行解釋。對數的傳入是十分重要，它在歷法計算中立即就得到應用。 清初學者研究中西數學有心得而著書傳世的很多，影響較大的有王錫闡《圖解》、梅文鼎《梅氏叢書輯要》(其中數學著作13種共40卷)、年希堯《視學》等。梅文鼎是集中西數學之大成者。他對傳統數學中的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進行整理和研究，使瀕於枯萎的明代數學出現了生機。年希堯的《視學》是中國第一部介紹西方透視學的著作。 清康熙皇帝十分重視西方科學，他除了親自學習天文數學外，還培養了一些人才和翻譯了一些著作。1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙養齋匯編官，會同陳厚耀、何國宗、明安圖、楊道聲等編纂天文演算法書。1721年完成《律歷淵源》100卷，以康熙」御定」的名義於1723年出版。其中《數理精蘊》主要由梅彀成負責，分上下兩編，上編包括《幾何原本》、《演算法原本》，均譯自法文著作；下編包括算術、代數、平面幾何平面三角、立體幾何等初等數學，附有素數表、對數表和三角函數表。由於它是一部比較全面的初等數學網路全書，並有康熙」御定」的名義，因此對當時數學研究有一定影響。 綜上述可以看到，清代數學家對西方數學做了大量的會通工作，並取得許多獨創性的成果。這些成果，如和傳統數學比較，是有進步的，但和同時代的西方比較則明顯落後了。 雍正即位以後，對外閉關自守，導致西方科學停止輸入中國，對內實行高壓政策，致使一般學者既不能接觸西方數學，又不敢過問經世致用之學，因而埋頭於究治古籍。乾嘉年間逐漸形成一個以考據學為主的乾嘉學派。 隨著《算經十書》與宋元數學著作的收集與注釋，出現了一個研究傳統數學的高潮。其中能突破舊有框框並有發明創造的有焦循、汪萊、李銳、李善蘭等。他們的工作，和宋元時代的代數學比較是青出於藍而勝於藍的；和西方代數學比較，在時間上晚了一些，但這些成果是在沒有受到西方近代數學的影響下獨立得到的。 與傳統數學研究出現高潮的同時，阮元與李銳等編寫了一部天文數學家傳記-《疇人傳》，收集了從黃帝時期到嘉慶四年已故的天文學家和數學家270餘人(其中有數學著作傳世的不足50人)，和明末以來介紹西方天文數學的傳教士41人。這部著作全由」掇拾史書，荃萃群籍，甄而錄之」而成，收集的完全是第一手的原始資料，在學術界頗有影響。 1840年鴉片戰爭以後，西方近代數學開始傳入中國。首先是英人在上海設立墨海書館，介紹西方數學。第二次鴉片戰爭後，曾國藩、李鴻章等官僚集團開展」洋務運動」，也主張介紹和學習西方數學，組織翻譯了一批近代數學著作。 其中較重要的有李善蘭與偉烈亞力翻譯的《代數學》《代微積拾級》；華蘅芳與英人傅蘭雅合譯的《代數術》《微積溯源》《決疑數學》；鄒立文與狄考文編譯的《形學備旨》《代數備旨》《筆算數學》；謝洪賚與潘慎文合譯的《代形合參》《八線備旨》等等。 《代微積拾級》是中國第一部微積分學譯本；《代數學》是英國數學家德·摩根所著的符號代數學譯本；《決疑數學》是第一部概率論譯本。在這些譯著中，創造了許多數學名詞和術語，至今還在應用，但所用數學符號一般已被淘汰了。戊戌變法以後，各地興辦新法學校，上述一些著作便成為主要教科書。 在翻譯西方數學著作的同時，中國學者也進行一些研究，寫出一些著作，較重要的有李善蘭的《《尖錐變法解》《考數根法》；夏彎翔的《洞方術圖解》《致曲術》《致曲圖解》等等，都是會通中西學術思想的研究成果。 由於輸入的近代數學需要一個消化吸收的過程，加上清末統治者十分腐敗，在太平天國運動的沖擊下，在帝國主義列強的掠奪下，焦頭爛額，無暇顧及數學研究。直到1919年五四運動以後，中國近代數學的研究才真正開始。 近現代數學發展時期 這一時期是從20世紀初至今的一段時間，常以1949年新中國成立為標志劃分為兩個階段。 中國近3年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來(1915年轉留法)，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家，為中國近現代數學發展做出重要貢獻。其中胡明復1917年取得美國哈佛大學博士學位，成為第一位獲得博士學位的中國數學家。隨著留學人員的回國，各地大學的數學教育有了起色。最初只有北京大學1912年成立時建立的數學系，1920年姜立夫在天津南開大學創建數學系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學(今南京大學)和清華大學建立數學系，不久武漢大學、齊魯大學、浙江大學、中山大學陸續設立了數學系，到1932年各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年熊慶來在清華大學首創數學研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。三十年代出國學習數學的還有江澤涵(1927)、陳省身(1934)、華羅庚(1936)、許寶騄(1936)等人，他們都成為中國現代數學發展的骨幹力量。同時外國數學家也有來華講學的，例如英國的羅素(1920)，美國的伯克霍夫(1934)、奧斯古德(1934)、維納(1935)，法國的阿達馬(1936)等人。1935年中國數學會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。1936年《中國數學會學報》和《數學雜志》相繼問世，這些標志著中國現代數學研究的進一步發展。 解放以前的數學研究集中在純數學領域，在國內外共發表論著600餘種。在分析學方面，陳建功的三角級數論，熊慶來的亞純函數與整函數論研究是代表作，另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數論與代數方面，華羅庚等人的解析數論、幾何數論和代數數論以及近世代數研究取得令世人矚目的成果；在幾何與拓撲學方面，蘇步青的微分幾何學，江澤涵的代數拓撲學，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創性的工作：在概率論與數理統計方面，許寶騄在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴密證明。此外，李儼和錢寶琮開創了中國數學史的研究，他們在古算史料的注釋整理和考證分析方面做了許多奠基性的工作，使我國的民族文化遺產重放光彩。 1949年11月即成立中國科學院。1951年3月《中國數學學報》復刊(1952年改為《數學學報》)，1951年10月《中國數學雜志》復刊(1953年改為《數學通報》)。1951年8月中國數學會召開建國後第一次全國代表大會，討論了數學發展方向和各類學校數學教學改革問題。 建國後的數學研究取現代數學開始於清末民初的留學活動。較早出國學習數學的有：190得長足進步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素數論》(1953)、蘇步青的《射影曲線概論》(1954)、陳建功的《直角函數級數的和》(1954)和李儼的《中算史論叢》(5輯，1954-1955)等專著，到1966年，共發表各種數學論文約2萬余篇。除了在數論、代數、幾何、拓撲、函數論、概率論與數理統計、數學史等學科繼續取得新成果外，還在微分方程、計算技術、運籌學、數理邏輯與數學基礎等分支有所突破，有許多論著達到世界先進水平，同時培養和成長起一大批優秀數學家。 60年代後期，中國的數學研究基本停止，教育癱瘓、人員喪失、對外交流中斷，後經多方努力狀況略有改變。1970年《數學學報》恢復出版，並創刊《數學的實踐與認識》。1973年陳景潤在《中國科學》上發表《大偶數表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數學家在函數論、馬爾可夫過程、概率應用、運籌學、優選法等方面也有一定創見。 1978年11月中國數學會召開第三次代表大會，標志著中國數學的復甦。1978年恢復全國數學競賽，1985年中國開始參加國際數學奧林匹克數學競賽。1981年陳景潤等數學家獲國家自然科學獎勵。1983年國家首批授於18名中青年學者以博士學位，其中數學工作者佔2/3。1986年中國第一次派代表參加國際數學家大會，加入國際數學聯合會，吳文俊應邀作了關於中國古代數學史的45分鍾演講。近十幾年來數學研究碩果累累，發表論文專著的數量成倍增長，質量不斷上升。1985年慶祝中國數學會成立50周年年會上，已確定中國數學發展的長遠目標。代表們立志要不懈地努力，爭取使中國在世界上早日成為新的數學大國。

⑵ 自主招生的條件和結果

2019年高校自主招生條件常見問題解答，競賽生看過來！不看後悔
1.什麼是自主招生？
自主招生又稱自主選拔，是由高校拿出一定比例的招生名額，在高考的基礎上通過院校的綜合評價體系（筆試、面試考核），選拔出具有學科特長和創新潛質的優秀學生。最終獲得擬錄取資格的考生在高考成績達到院校標准時可在高考錄取中享有一定的投檔及專業錄取優惠。
在此說明，自主招生是正常高考的輔助手段，是對高考制度的重要補充，並不是高考的另外招生.自招生源比例一般為高校的5%左右。

2.哪些學校有自主招生？

根據教育部政策規定，全國有95所高校具有自主招生資格。但2015年-2018年，只有90所高校進行自主招生，其中有77所院校針對全國進行招生，13所院校只針對本省進行招生。
3.為什麼要參加自主招生？

自主招生的實質是選擇具有學科特長創新潛質的優秀學生，是對現行高考制度的補充和完善。最主要的作用就是可以低分進入名校。
如：2018年北大在某個省份的錄取分數線為690分，考生A高考672分，但他在北大自主招生考試中表現優秀，獲得30分加分（降分錄取），加分後為702分，高於北大的統招分數線，即可順利進入北京大學。可以這樣理解：

a.一本成績，上211院校；
成績在一本線附近，通過自招降分可進入211學校；

b、重本成績，進985院校；
成績在一本線上40-60分，通過自招加分可進入985名校；
c、985成績，進頂尖院校；
成績在一本線上100分以上，通過自招加分進入北大、清華等國內頂尖名
4.作為理科生，為什麼要參加學科競賽？

根據歷年高校招生簡章，具體招生條件上主要分為：五大學科競賽類、人文社科特長類、科技研究創新類、論文專著發表、專利發明、綜合/單科成績優秀、以及具有其他創新潛質和特長的考生。根據2019年的自主新政趨勢分析，論文專利將會受到很大的限制，而含金量十足的五大學科競賽的獎項將會進一步升值，成為高校選優的首選。
5.怎樣才能在學科競賽中拿到好成績？
安徽的競賽條件對比全國來說，一方面家長和學生的意識不夠強，一方面師資力量也相對較弱，另外，學校的重視程度也無法和其他強省比如浙江山東湖南相比。所以，很多家長為了追好的競賽老師和團隊，帶著孩子遠赴外地求學。事實上，在合肥就有這樣一支神秘的競賽師資隊伍，他們秉承踏實的辦學風格，雖然極少對外宣傳，但卻堪稱：安徽數理化三科競賽師資的頂尖力量。多年以來，正是佳恩特一直在幕後默默的付出，才維護住了安徽學子的些許尊嚴。
為了讓安徽由教育大省轉為教育強省，在此呼籲有更多優秀學子加入佳恩特，實為安徽的幸事。
6.在數學物理化學生物信息這幾科競賽中如何選擇？
會出現一些孩子同時學幾門競賽，不知道如何取捨的情況。即使學有餘力，也建議最多選擇兩門競賽，但是如果綜合成績下滑厲害，就要考慮只保留一門或者全部放棄競賽。競賽成績特別優秀著除外。
7.如何平衡日常學習和競賽之間的關系，比如時間安排、重要性排序等等？
高二結束之前可以在不太影響學校正常文化課學習的情況下，參加一門競賽為佳。進入高三就不建議再參加競賽了。
8.我已經在學校學習競賽，還需要參加佳恩特的訓練營嗎？

佳恩特的老師是邀請的奧賽國家集訓隊的前金牌教練，歷屆競賽題目的出題或者審題人團隊。對競賽的出題規則或者知識點非常熟悉。你懂的
9.我已經報了別的機構的競賽課，我為什麼要選擇佳恩特？

選擇跟第一名的團隊學習，節省時間，避免翻車。佳恩特關注的是成績，課程設置是雙師制度。以物理競賽為例，在北大教授講物理競賽知識的同時，配備物理競賽必須學習的數學知識，而我們的數學講師是麻省理工的博士，並且同步刷題。等於報一門學兩門。既為家長節省了金錢，更為孩子節省了時間。
10.迄今為止，佳恩特取得了哪些成績，我也能取得這么好的成績嗎？報名的話，佳恩特的學習計劃是怎麼樣的？

以物理競賽為例，
第34屆中學生物理競賽：
共計31人榮獲安徽省一等獎，其中陳沖霄、王傑、劉國定等同學在理論中榮獲200分以上的好成績。
劉國定、王凌瀟、范弘傑、周暢、馬世育、陳沖霄等6人榮獲安徽省前十名，進入省隊。劉國定、馬世育同學榮獲國家銀牌；
81人榮獲安徽省二等獎，丁衛宇、陳軼汀、孟秋實、汪漢卿、甘溯源、張清源等；
6人榮獲安徽省三等獎，孫禹辰、趙世豪等；
袁超毅同學獲得了滿分80分的實驗考試成績，周暢、馬世育、周海琦等十幾位同學也獲得了78分以上的優異成績
第35屆中學生物理競賽：
安徽省一等獎共計59位同學，其中我們學員53人，
王海宇、賈啟翔、李維一、黃至晗、魯琦琨5名同學進入省隊，代表安徽進入國家決賽，
黃至晗同學榮獲國家金牌，李維一、賈啟翔同學榮獲國家銀牌；
張子羲、周子涵、姚宇軒、邱明宇、王川等人獲得省一等獎；
省二等獎共計424位同學，其中佳恩特學員158人，王文琦、徐錦文、夏宇陽、汪欣然等；
劉雋喆同學獲得了滿分80分的實驗考試成績，李維一、張子羲、徐文蔚等十幾位同學也獲得了70分以上的優異成績。深圳中學黃昊等7人進入國家決賽；
上海中學徐澤安、張天宇等8人進入國家決賽。其中徐澤安同學獲得國家金牌，並進入國家集訓隊；
杭州二中陳冠成、周榆清等3人進入國家決賽。
佳恩特教育往期高校自主招生培訓獲得的成績：
共計54人通過競賽取得高校自主招生考試資格，
其中來自合肥一中的張洋同學通過自招考試進入中國科大；
蕪湖一中的葉之帆同學通過自招考試進入復旦大學；
合肥壽春中學的張清源同學通過自招考試進入武漢大學等。
蕪湖一中的姚宇軒同學已獲得2019年清華大學降一本線的優惠政策
為什麼選擇佳恩特？
1.安徽絕對的拿獎導師團隊。不必舍近求遠到外地找名師，佳恩特的老師是從奧賽國家集訓隊請的，歷屆奧賽出題人，審題人。
程稼夫：中國科大物理學院教授，國際物理學奧林匹克競賽原國家集訓隊教練
鄭永令：復旦大學物理系教授，國際物理學奧林匹克競賽原國家隊領隊、主教練
方教授：復旦大學物理系教授，國際物理學奧林匹克競賽原國家集訓隊教練
王教授：北京大學物理學院教授，國際物理學奧林匹克競賽國家隊領隊、教練
穆教授：北京大學物理學院教授，國際物理學奧林匹克競賽國家隊領隊、教練
宋教授：南開大學物理學院教授，國際物理學奧林匹克競賽原國家隊領隊、主教練李教授：北京大學物理學院教授，物理奧林匹克競賽輔導專家

張教授：中國科大物理學院教授，國際物理學奧林匹克競賽原國家集訓隊教練周教授：武漢大學物理學院教授，物理奧林匹克競賽輔導專家蘇教授：廈門大學物理學院教授，物理奧林匹克競賽輔導專家
楊教授：中國科大物理學院教授，博士生導師，物理奧林匹克競賽輔導專家
崔教授：中國科大物理學院教授，物理奧林匹克競賽輔導專家
潘教授：中國科大物理學院教授，物理奧林匹克競賽輔導專家

徐教授：中國科大物理學院教授，物理奧林匹克競賽輔 導專家
實驗師資：中國科大、合肥工大多位具有物理競賽實驗培訓或競賽評審經驗的物理名師專家團隊還包括多位中學國際物理金牌教練，中國科大在讀博士。
2.我們實行雙師制，比如學物理競賽，講課的是奧賽國家集訓的領隊，刷題的是麻省理工博士，同時帶上數學知識。這是安徽獨一無二的師資力量。花一門課的時間和金錢，得到三倍的收獲。
3.一、六、八中及168中學常年官方合作單位，值得學校和家長信賴。
4.佳恩特的成績：
以物理為例
第34屆中學生物理競賽：
共計31人榮獲安徽省一等獎，其中陳沖霄、王傑、劉國定等同學在理論中榮獲200分以上的好成績。
劉國定、王凌瀟、范弘傑、周暢、馬世育、陳沖霄等6人榮獲安徽省前十名，進入省隊。劉國定、馬世育同學榮獲國家銀牌；
81人榮獲安徽省二等獎，丁衛宇、陳軼汀、孟秋實、汪漢卿、甘溯源、張清源等；
6人榮獲安徽省三等獎，孫禹辰、趙世豪等；
袁超毅同學獲得了滿分80分的實驗考試成績，周暢、馬世育、周海琦等十幾位同學也獲得了78分以上的優異成績
第35屆中學生物理競賽：
安徽省一等獎共計59位同學，其中我們學員53人，
王海宇、賈啟翔、李維一、黃至晗、魯琦琨5名同學進入省隊，代表安徽進入國家決賽，
黃至晗同學榮獲國家金牌，李維一、賈啟翔同學榮獲國家銀牌；
張子羲、周子涵、姚宇軒、邱明宇、王川等人獲得省一等獎；
省二等獎共計424位同學，其中佳恩特學員158人，王文琦、徐錦文、夏宇陽、汪欣然等；
劉雋喆同學獲得了滿分80分的實驗考試成績，李維一、張子羲、徐文蔚等十幾位同學也獲得了70分以上的優異成績。深圳中學黃昊等7人進入國家決賽；
上海中學徐澤安、張天宇等8人進入國家決賽。其中徐澤安同學獲得國家金牌，並進入國家集訓隊；
杭州二中陳冠成、周榆清等3人進入國家決賽。
佳恩特教育往期高校自主招生培訓獲得的成績：
共計54人通過競賽取得高校自主招生考試資格，
其中來自合肥一中的張洋同學通過自招考試進入中國科大；
蕪湖一中的葉之帆同學通過自招考試進入復旦大學；
合肥壽春中學的張清源同學通過自招考試進入武漢大學等。
蕪湖一中的姚宇軒同學已獲得2019年清華大學降一本線的優惠政策。
佳恩特為什麼會有這么高的拿獎率？
對每個學生精細化管理，採用定製的方案，根據每個孩子的成績量身定製方案，保底省二起步，沖擊國獎和國際金牌。
1.清北目標班：
2.自招班，
3.C9目標班
4.985目標班
5.211目標班

⑶ 南都丨中紀委發「紅色通緝令」 哪些人上榜

楊秀珠 浙江省建設廳副廳長
李華波 江西省鄱陽縣財政局經濟建設股股長
喬建軍（別名：李峰） 中儲糧河南周口直屬庫主任
黃玉榮 河南省高速公路發展有限公司副董事長
閆永明（別名：劉陽）通化金馬葯業集團有限公司董事長
肖建明 雲南錫業集團黨委書記、董事長
李向東 四川移動公司數據部總經理、無線音樂運營中心總經理
劉昌明 交通銀行廣州分行黨委書記、行長
胡玉興 山西省太原市住房制度改革辦公室主任
裴健強 中企國際合作有限責任公司進出口部負責人
蔣雷 中國國際貿易促進委員會汽車行業分會常務副會長、法人代表
劉勖 北京市通州區社會保險基金管理中心
徐進 湖北省武漢市發改委主任
劉湘建 湖南省岳陽市公安局出入境管理科科長
陳禕娟 中國移動通信集團終端公司湖南分公司綜合部員工
孫新 北京市新聞出版局計劃財務處出納
楊湘洪 浙江省溫州市委常委、鹿城區委書記
陳興銘 中國電力財務有限公司總經理
劉常凱 北京京劇院梨園駕校校長
方翠英 中國石化集團北京燕山石油化工有限公司財務部高級主管
胡奉憲 四川韻律實業發展公司總經理、董事長
袁梅 中國工商銀行四川省分行營業部信貸員
肖斌 齊齊哈爾信用擔保公司
朱振宇 中國工商銀行四川省分行
姚耿 雲南省五礦化工進出口（集團）公司a上海浦東分公司經理
周靜華 雲南銅業集團房地產開發有限公司泰國項目部負責人
郭欣 雲南大學歷史系副教授
李文革 雲南省昆明市盤龍區國稅局工會主席
張大偉 雲南雲電同方科技有限公司總經理
徐維銘 上海安徽裕安實業總公司董事長兼總經理
楊立虎 安徽瑞泰葯業有限公司法人代表
白靜 中國農業銀行金融市場部投資處處長
黃艷蘭 桂林市依蘭發展有限公司（原桂林地區物資發展總公司）法定代表人
郭廖武 武漢鋼鐵集團礦業有限責任公司副總經理
石陽 遼寧省委宣傳部辦公室出納
唐東玫 福建省工藝品進出口公司會計
詹再生 福建永升實業有限公司
黃水木 龍岩市天成房地產開發公司董事長
付耀波 遼寧省本溪市勞動和社會保障監察支隊案件審理科科長
王佳哲 遼寧日報社
張清曌 遼寧省本溪市勞動和社會保障監察支隊出納
周世勤 沈陽鐵路局大連鐵路房產生活段財務室主任
徐聰榮 福建省福州市政法委副書記、市公安局局長
宣秀英 南方證券公司廣州分公司珠海景蓮營業部主任
吳權深 廣東省增城市新塘鎮大敦村黨支部書記
孔廣生 勝利油田青島石油實業有限公司、臨沂中孚天然氣開發利用有限公司總經理
徐偉 深圳石油技術開發進出口公司業務部經理
郭潔芳 廣東省廣州市交警支隊民警
常征 深圳市中油器材進出口有限公司副總經理
張勇光 廣東省深圳市公安局南山分局高新技術園區派出所民警
姓名 原工作單位及職務
劉寶鳳 華泰證券公司深圳營業部總經理
賴明敏中國銀行江門分行行長
黃偉亮 中國銀行開平支行辦公室主任
韓建鵬 河北宇海文匯投資有限公司法定代表人
吉東升 河南省中原證券鄭州緯五路第一營業部經理
程三昌 河南省政府駐香港豫港集團有限公司董事長
曾子恆 河南省交通基本建設質量檢測監督站副總工程師
王黎明 中國銀行海南省分行行長
雲健（別名：方健） 海南省海口市地方稅務局龍華分局副局長
牛麗英 太原迎憲焦化開發有限公司法人代表
洪巍 中國技術進出口總公司上海進出口公司副總經理兼鞋業部經理
顧震芳 上海海事局吳涇海事處出納
張麗萍 上海倍福來集團有限公司
朱海平 深圳玉威實業公司總經理
蔣謙 湖北省武漢市城市排水發展有限公司拆遷協調部部長
劉芳 中國人保湖北分公司副處長
王誠建 上海黃石航運部財務人員
賀儉 秦皇島港方大房地產開發有限責任公司經理
程慕陽 北方國際廣告公司北京分公司經理、香港佳達利投資有限公司董事長
賀業軍 河北省玉田縣豪門集團公司總經理、黨委書記
黃紅（別名：黃利） 河北省玉田縣豪門集團駐京辦事處會計
虞泰年 天津新技術產業園區規劃處處長
邱耿敏 浙江昌大進出口有限公司經理
楊進軍 溫州市明和集團公司法人代表兼總經理
李世喬 寧波遠望技工貿公司副總經理、寧波華遠房地產有限公司總經理
周建華 建橋建設集團有限公司法定代表人
莫佩芬 浙江省杭州市西湖區公安分局
周驥陽 浙江省委黨史研究室
儲士林 青島安華實業有限公司董事長
崔學文 山東省臨沂市經濟貿易委員會主任、黨組書記
邱渤海 濟寧硅元件廠廠長
劉慎湘 上海山東齊魯實業總公司總經理
趙汝恆 惠民縣魯潔紡織有限公司董事長、法定代表人
王清偉 中國輕騎集團對外貿易有限公司會計
巴連孝 大連春鳴國際貿易有限公司法人代表
李遠壽 中國石油天然氣集團公司吉林延邊銷售分公司圖們經營處經理
孫峰 中國農業銀行江陰要塞支行行長
孫燕 中國工商銀行南京新街口支行工作人員
劉全洲 江蘇省交通廳職工
戴學民 中國經濟開發信託投資公司上海營業部總經理
徐雪偉 江陰市升昌科技有限公司總經理