湖南大學張晗教授
A. 不等式的發展史及一些發展狀況可以去哪裡看 急急急
不等式理論簡史及離散型Hilbert不等式
[論文摘要]本文首先介紹了不等式理論發展的歷史，然後引入了離散型Hilbert不等式，介紹了Hilbert不等式的一個初等證明，最後對Hilbert不等式的推廣形式作了簡要的總結。
[關鍵詞]不等式理論 Hilbert不等式初等證明 權函數
[Abstract]In this passage,we introce the history of inequality theory first.Then we introce the Hilbert』s inequality with a primary prof.At the end,we make a summary of a series forms of Hilbert』s inequality.
[Keywords]Theory of inequality Primary proof of Hilbert』s inequality Weight function
1 引 言
1.1 選題背景
眾所周知，不等式理論在數學理論中佔有重要地位，它滲透到數學的各個領域，因而有必要對不等式理論的發展歷史有一個清晰的認識。
Hilbert不等式提出以來，眾多數學家給出了各種證明，本文介紹了一個初等證明。同時，總結了Hilbert不等式的各種推廣形式。
1.2本文的主要內容
本文的工作主要有三個方面：
（1）、介紹不等式理論的發展歷史
（2）、介紹Hilbert不等式並給出了一個初等證明
（3）、總結Hilbert的各種推廣形式
2 不等式理論簡史和Hilbert不等式
2.1 不等式理論簡史
數學不等式的研究首先從歐洲國家興起, 東歐國家有一個較大的研究群體, 特別是原南斯拉夫國家。目前,對不等式理論感興趣的數學工作者遍布世界各個國家。
在數學不等式理論發展史上有兩個具有分水嶺意義的事件,分別是: Chebycheff 在 1882 年發表的論文和 1928 年Hardy任倫敦數學會主席屆滿時的演講；Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中對不等式的哲學 (philosophy) 給出了有見地的見解: 一般來講初等的不等式應該有初等的證明, 證明應該是「內在的」,而且應該給出等號成立的證明。A. M.Fink認為, 人們應該盡量陳述和證明不能推廣的不等式. Hardy認為, 基本的不等式是初等的.自從著名數學家 G. H. Hardy,J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press於1934年出版以來, 數學不等式理論及其應用的研究正式粉墨登場, 成為一門新興的數學學科, 從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合, 它已發展成為一套系統的科學理論。
20 世紀 70 年代以來 , 國際上每四年在德國召開一次一般不等式 ( General Inequalities) 國際學術會議 , 並出版專門的會議論文集。不等式理論也是 2000 年在義大利召開的第三屆世界非線性分析學家大會 (「The ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s」 ( WCNA - 2000) )的主題之一。2000 年和 2001 年在韓國召開的第六屆和第七屆非線性泛函分析和應用國際會議 ( InternationalConference on Nonlinear Functional Analysis andApplications) 與 2000 年在我國大連理工大學召開的ISAAC都將數學不等式理論作為主要的議題安排在會議日程之中。2001 年的不等式國際會議 IN EQUAL IT IES於 2001 年 7 月 9 日至 14 日在羅馬尼亞 University of t heWest 召開。
歷史上 , 華人數學家在不等式領域做出過重要貢獻 ,包括華羅庚、樊畿、林東坡、徐利治、王忠烈、王興華等老一代數學家。最近幾年我國有許多數學工作者始終活躍在國際數學不等式理論及其應用的領域 , 他們在相關方面做出了獨特的貢獻 , 引起國內外同行的注意和重視。例如王挽瀾教授、石煥南教授、楊必成教授、高明哲教授、張晗方教授、楊國勝教授等。
20世紀80年代以來在中國大地上出現了持續高漲的不等式研究熱潮。 20世紀80年代楊路等教授對幾何不等式研究的一系列開創性工作，將我國幾何不等式的研究推向高潮；在代數不等式方面，王挽瀾教授對Fan ky不等式的深人研究達到國際領先水平。祁鋒教授及其所領導的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統的前沿研究成果；對分析不等式，胡克教授於1981年發表在《中國科學》上的論文《一個不等式及其若干應用》[5]，針對Holder不等式的缺陷提出一個全新的不等式，被美國數學評論稱之為"一個傑出的非凡的新的不等式"，現在稱之為胡克(HK)不等式。胡克教授對這個不等式及其應用作了系統而深刻的研究。
目前我國關於數學不等式理論及其應用的研究也有較豐富的成果。例如匡繼昌先生的專著《常用不等式》一書由於供不應求 , 在短短的幾年內已經出版了第二版 ,重印過多次。對於數學專著來講 , 這是少有的現象。第二本較有影響的專著是王松桂和賈忠貞合著的《矩陣論中不等式》。另外 , 國內還有一個不等式研究小組比較活躍 , 主辦一個《不等式研究通訊》的內部交流刊物 , 數學家楊路先生任顧問。
對Hilbert不等式，是由Hilbert 在他的積分方程的講座中提出。 此後，許多著名數學家如Feier(1921)，Framcis，Littlewood (1928)，Hardy (1920)，Hardy-Littlewood-Polya(1926)，Mulhoand(1928，1931)，Owen(1930)，Polya和Szegb，Schur(1911)，F. Wiener (1910)等都做出過貢獻。為此，Hardy等在文獻「1」中的第9x章中專門討論Hilbert不等式及其類似情形和推廣。 20世紀90年代以來，我國一大批學者如徐利治，楊必成教授等對Hilbert不等式及其類似情形和推廣的研究取得了舉世矚目的成果。由於這些結果在理論和實際運用方面都有重要意義，引起一系列廣泛研究，當中取得各式各樣的進展，成果在眾多報刊雜志上被發表。
綜上所述 , 數學不等式理論充滿蓬勃生機、興旺發達。
2.2 Hilbert不等式的初等證明
命題1 （Hilbert 不等式）如果 、 是平方可和實數列，則二重級數 是收斂的，且
（1）
不等式嚴格成立，等式成立當且僅當 、 恆為零，（1）式中 是最優的。
命題一的證明須應用兩個引理。
引理一 對每一個正數m，有
<
證明 設點（0，0），（0， ），（ ， ）分別用C，Y， （n＝0，1，2，•••）表示，S表示圓心在點C半徑為 的從點 到Y 圓的面積， 是直線C 與過點 的豎線的交點（n＝1，2，3，•••）。此外，設 表示扇形 C 的面積（如下 圖1）
用 表示 的面積，於是，得到
＝S＝ >
＝
＝ •
=
>
因此， < .
現在可以證明Hilbert不等式了。記
＝
應用Schwarz不等式，得
。
以上應用了引理1，顯然，最後不等式嚴格成立當且僅當序列 、 恆為零。
往證 不能被比它小的常數代替。
引理2 對每一個自然數m>1，有
> － 。
證明 設 表示直線 和直線 （n＝0，1，2，•••，m－1）的交點， 表示扇形 的面積（如下圖2），
則顯然有
＝ <
＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋
因此， > －
下證Hilbert不等式中的 是最優常數，考慮序列： ＝ ＝ ，當 時， ＝ ＝0，當 > 時，這里k是自然數，則
＋ ＋
（由引理2）
－（ ）
因此
－
因此， 是Hilbert不等式中的最優常數。至此完成了Hilbert不等式的初等證明。
2.3 Hilbert不等式的推廣
Hilbert提出不等式
（1）
（2）
後，Hardy把這些結果擴展，他得出了如下不等式
（3）
（4）
在這里， ， 0， ＋ ＝1，且p q>1。不等式（3）（4）被成為Hardy－Hilbert重級數不等式，且等號成立當且僅當 、 恆為零。
多年以來，很多數學家對Hilbert不等式進行了研究，得到了一系列的成果。下面簡單回顧一下這些研究的歷程。先介紹在Hilbert最原始的不等式基礎上取得的成果，然後再展示在Hardy-Hilbert不等式上的一系列成就。
1990年，L.C.Hsu et al仔細分析Hardy最初的方法技術，引入一個權函數w(n)= ，得到了改進後的不等式:
(5)
不久，Hsu和王把權函數精簡為 ，尋找能使式(5)成立θ的最大可能值的問題被提及。稍後，L.C Hsu和高明哲使用不同方法得出θ的下確界，θ=1.281+接著得到了θ的上確界λ(λ=1.4603545+)，從而使問題得到解開。
至於不等式(2)，高明哲作了改進,
w(n)= (n)>0(n=1,2,…)。
然後高應用了Euler公式對權函數w作出估計:
w(n)≤ ,θ=17/20
類似地，在Hardy-Hilbert不等式上得到一些新結果。
在研究Hardy-Hilbert不等式(3)的過程中，含參數n的求和式的值被估算，如
同是1990年,Hsu和Guo率先引入權函數:
不等式(3)拓展為
然後，權函數被Hsu和高明哲改進為 ，兩年以後，高再給出權函數的精確形式:
再不久，楊和高得到 的一個下界，也就意味著，在權函數方面取得一個更好的結果：
c是Euler常數，而(1-c)被證明為使不等式成立的最佳常數，高明哲證明了 的一個上界是:
ρ(t)=t-[t]-1/2
而 被估計為
若 > ，不等式不再成立，問題得到完全解開。
有關不等式(4)，楊必成得到如下較好的結果:
，r=p,q,c是常數。
1998年，楊必成和Debnath給出了另一形式的帶權函數的Hardy-Hilbert不等式：
除了上面所述以外，楊還有以下結果:
若把s(n,r)在上述表達式變為 ，會得到另一些結果.
21世紀初，譚立通過引入一個形如 的權系數改進了不等式(3)，
若，
那麼，
當中=ln2-13/48+/1920(0<<1)，它是與r無關的最佳常數。
並得到下面推論：
設
，
當q充分大時，有
當中
引進適當的參數會使學習和研究對象更具概括性，也是常用的一種方法。在此部分，總結一下具廣義性的含參數形式的Hilbert不等式.
最近，就關於離散形式的Hilbert不等式，楊必成先引入參數A,B及λ從而不等式(1)得以拓展，他建立了如下新的不等式：
<
A,B>0,0<λ≤2,B(p,q)是beta函數而常數 是最佳，楊更得到如下結果：
<
A,B,C>0, ,0<λ≤2， 也被證明為最佳。
對不等式(4)，楊和Debnath給出一個推廣：
< ,
常數 = 為最佳,其中，2－min(p,q)< 2,B(m,n)是beta函數。
最近，匡繼昌和Debnath給出一般形式的Hardy-Hilbert不等式:
,
p>1,1/p+1/q=1,1/2<min(p,q),
K(x,y)是非負次數為-t(t>0)的齊次函數。若在(0,+∞)上有四階連續微商，當n=1,2,3,4, ，當m=0,1,y+
<+ ＝p，q
那麼
< ,
其中
＝ >0,
r=p,q。
更新的是，考慮不等式(3)和(4)，楊和Debnath建立了含參數A,B,λ的新不等式：
常數因子3 為最佳。特別的，
(1) λ=1,A,B>0
(2) λ=2,A,B>0
(3) 2-min{p,q}<λ≤2,A=B=1,
以上的常數因子都是最佳。
以另外方式引入參數λ，楊得出以下結果:
常數因子π/(λsinπ/p)為最佳。特別地，
(1) λ=1,
(2) p=q=λ=2,
以上不等式的常數因子都是最佳。
再新，匡繼昌建立一個新的Hilbert不等式的一般形式
1/p+1/q=1,對每個正整數N<+∞,N=+∞,
定義：
若1<p<+∞，則
若0<p<1，不等式就反置。
基於以上結論，得到一些重要的推論：
推論1 假設如上述，則
推論2 假設如上述，
類似定義，若1<p<+∞，則
若0<p<1，不等式就反置
推論3，
定義：
如果0<λ<1, 被 替代，則不等式反號。
特別的，當 ，以下不等式成立：
有關應用新不等式再推廣：
1992年，胡克建立一個形式美觀的不等式:
此為Hilbert不等式理論的一個新延拓。
胡克利用一些他得到的基本的不等式再得出一些好的結論，例如
證明了
A是一個實數
1996年，胡克得出帶參數λ的一般性的結論。特別的，當λ=1/2，有
當λ=1，有
若λ≠0且λ為非負整數，胡給出以下結果：
這同時是Hilbert不等式和Ingham不等式的推廣。
當λ是正整數，胡給出
當λ≠0,±1,±2,…,，胡最近證明了
這為Polya-Szego不等式的一個推廣
1999年，高明哲利用正定矩陣得到新的不等式：
再利用此不等式得到一個更強的新不等式：
不久，他又用此式證明了下面的不等式：
函數s(x)定義為
21世紀初，姚金斌利用了改進後的Cauchy不等式，對楊必成給出的一個結果：
作了改進。
為了方便，先作以下的符號假設：
w(n)=-(n)
是單位向量且具有以下性質：
,,線性無關
他有以下結果：
若
則，
定義函數為
=1 當m=n=1,
=0 當m,nN,mn
同是21世紀初，楊喬順利用改進了的Holder不等式和權函數的方法，給不等式(4)一個新的推廣，
為方便起見，介紹一些符號：
如果
那麼
當中
定義函數
=1,當, m=n=0
=0,當 ,m,n不同時為0
也可以由此得出下面推論：
若
那麼
當中
值得特別注意的是胡克的推廣，
二十幾年前，胡克建立一重要的不等式：
最近，他再得到一個新的不等式：
令
若有
則有
當中，
特別的，如果 ，則
當p=2，上面就為Holder不等式的推廣。顯然，用這些結論去對不等式(1)-(4)進行估計會得到一些新的結果。我們相信將來更多Hilbert不等式的推廣延拓將繼續出現。
3 總 結
本文主要介紹了不等式理論發展歷史和Hilbert不等式，完成了以下工作：
第一， 本文回顧了不等式理論發展的歷史，並介紹了中外數學家在不等式理論發展中進行的研究和貢獻。
第二， 本文介紹了Hilbert不等式的形式並給出了一個初等證明。
第三， 本文總結了中外數學家對Hilbert不等式進行的推廣。
參考文獻:
[1] J. KUANG，常用不等式，Applied inequalities. Second edition. 1993.
[2]HARDY G H,LITILEWOOD J E,POL YA G..Inequalities[M].Cambridge,UK:Cambridge Univ.Press,1952
[3]HE Le-ping,GAO Ming-zhe,WEI Shang-rong.A Note on Hilbert』s Inequality,Mathematical Inequalities &Applications[J].CroaTia,2003,6(2)
[4]YANG Bi-cheng.A New Inequality Similar to Hilbert』s Inequalities in Pure and Applied Mathematics,2002,3(5)
[5]GAO Ming-zhe,WEI Shang-rong,HE Le-ping,On the Hilbert Inequality with Weights[J].Zeitschrift fur Analysis Und ihre Anwenngen,2002,21(1)
[6]GREUB W H.Linear Algrbra[M].Berlin:Springer Velag Press,1963.
[7]ZHANG Nan—yue.Euler-Maclaurin Summation Formula and Its Application[J].Math.in Practice and Theory,1985
[8]HE Le-ping,GAO Ming-zhe JIA Wei-jian.On the Improvement of the Hardy-Hilbert』s Integral Inequality with parameters[J].Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics,2003,4(5)
[9]GAO Mingzhe.On Hilbert』s inequality and its applications[J].Math Anal Appl,1997,212(1)
[10] GAO Mingzhe.On Hilbert inequality[J].Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwenngen,1999,18(4)
[11]GAO Mingzhe. On Extended Hilbert』s Inequality[J].Proceedings of AMS,1998,(3)
[12]Journal of Jishou University(Natural Science Edition),2005(26)
[13]祁鋒《淺談數學不等式理論及其應用》焦作大學學報2003/02
[14] 李兆祺 《離散型Hilbert不等式》
[15] Natural Science Journal of Xiangtan University Vol.22 No.3,2000
[16]JOURNAL OF MATHEMATICAL RESEARCH ,2005
[17]《Hilbert不等式的一個初等證明》山東濟寧教育學院朱道勛譯自The American Mathematical Monthly(100)1993.3
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