北京大學數學教授李忠
① 怎樣才能學好數學
數學,不必我多強調,大家也應明白其重要性了. 要知道,高考的成與敗很大程度上取決於數學成績的高與低。
說經驗,實在不敢當.只是有幾點心得吧,寫出來與大家共勉數學學習是一個完整的過程,要注重每一個環節,缺一不可。
1.課前准備: 進入高三,大部分時間是做習題、講評習題了.所以不存在一個預習新課的問題,但課前准備仍不容忽視, 老師布置的習題作業,一定要獨立完成,出現了疑難,不妨與同學討論一下,有可能就會迸發出思想的火花.但對所有的疑難,都要用顏色的筆劃出,以便上課時作為重點聽講內容.
2.上課時,一定要認真聽老師的講評. 因為老師的方法往往是具代表性,最為合理或簡便的.對於同學上黑板做的方法,也應重視,正所謂"博取百家之長為己用". 對於被叫上去做題目, 不要認為是一件倒霉的事, 因為往往你在黑板上出現的錯誤或書寫上的不規范經老師糾正後,印象會特別深刻. 所以應把老師叫你上去看成是一次鍛煉自己的機會.
3.課後鞏固:對上課所講的,課後一定要鞏固.若還有未掌握的,一定要問老師問同學直到弄懂為止. 不定期地要對做過的習題進行總結,總結出所做過的題目的規律性, 往往許多題的方法其實是一樣的,對每一題盡可能多掌握幾種解題方法, 但切記常規方法,一定要牢記.
4.考場心態:千萬不要有"患得患失"的想法, 考試時要心無雜念,一開始的幾道選擇題往往較易,若一時未能做順,不如放下筆來,閉目養神幾分鍾後再次啟動,若有題卡住後,不應浪費太多的時間,不如放下筆,重新審題,看清題目所給的每一個條件, 看時不妨用筆將一些易疏忽處劃出,若實在做不出,不如放下,待做
完整張卷子後再回頭審題.做題時一定要保證一次性正確率, 要提高一次性正確率,就應保證會做的題一定要做對, 不要做完一題之後反復檢查再做下一題, 高考中時間往往不允許這樣做題.解題要規范,中間過程不要"跳".由於高考採取分步采點計分,所以要盡可能的抓住能得的分.不會做的題可先通過審題列出一個關系式,往往這也能得到一、二分.檢查時,不必所有題都重新做一遍,有些結果往往畫一張草圖即可檢查正確與否. 考試結束後,無論好壞,要放開,不要再去想.最好不要對答案,否則無論結果優劣都會影響到下一場的考試。
數學具有高度抽象性，而應用卻十分廣泛．怎樣學好數學，並且使它能夠為我們所掌握運用，自然不是那麼輕而易舉的事情．如大家所知，在小學里學習算術，主要是結合具體事例，從實際課題出法，達到能夠正確而迅速地運算和能夠直觀地認識一些簡單的平面圖形、立體圖形的要求．進入中學以後．要在小學算術的基礎上對數量關系的知識作進一步的學習，要對空間形式的知識作系統的學習，並且要對形與數相結合的知識進行學習．所以在中學階段里，特別是高中階段里學習數學的任務是比較繁重的，也是非常重要的．數學學得好壞，不僅關系著今天能不能學好其他學科如物理、化學等，而且，更重要的是關系著畢業後能不能解決生產實踐中將遇到的實際問題，也關系著今後在攀登科學高峰的道路上能不能接近和趕上世界先進水平．因此，在中學階段打好數學的基礎，對於把我國建設成為農業現代化、工業現代化、國防現代化和科學技術現代化的強大社會主義國家有重大的意義．
在中學的數學課本里，一些基本的概念是逐步地被引導進來的，要把基本的概念了解清楚，可以說是學好數學的第一個步驟．如果概念還沒有理解清楚，就急急忙忙地去證明定理、做習題，那是沒有不碰壁的．有些同學在課堂里聽了老師的講課以後，回到家裡就拿起筆來做習題，這時大概對以下兩類習題的演算不大會感到困難：一類是用到的基本概念已經正確理解了的習題．由於正確理解了概念，解答所配的習題就比較容易，而通過習題的演算反過來還可以進一步明確概念以及從概念導出來的結論——定理．另一類是同課堂里老師做給大家看過的例題類似的習題．對這類只要「依樣畫葫蘆」的習題，即使基本的概念還沒有理解清楚，也可以做出來，但是如果遇到習題稍有更改，就會感到無從下手．像這種看來似乎能演算而實際是「描紅」的情況，在今天的中學生里並不是罕見的．不少同學對數學競賽的試題感到困難，原因不是別的，就是從來沒有見過這類題目．
正確地理解數學的基本概念之所以重要，是因為它是掌握數學基礎知識的前提．猶如造房屋那樣，基礎打得牢靠些，將來在它的上面造起來的房屋就不會坍毀．因此，正確理解基本概念的好處不僅僅在於能解出幾個習題．打基礎的唯一方法是不厭其煩地反復學習；既不要以為基本的概念很抽象，不易理解，就乾脆把它放過去，又不要以為它很容易懂，而不去深入理解．在高中學習的有些數學內容，由於以前在初中里學過一點，往往就容易忽視它的重要性．沒看到，這些內容外表上好像同初中階段學過的有些內容是重復的，而實際上卻是螺旋式上升的．從有理數的加法發展為整式、分式的加法，又發展為函數的加法，後來在物理學里發展為力、速度(矢量)的加法，這是一個具體的例子．不要怕做這些課程的計算題，不要不耐煩．凡是基礎的東西總不免有些單調，缺乏變化，容易使人感到厭倦，以致產生「現在不去重視它，也沒有什麼關系」的不正確想法．事實恰恰相反，今天基礎打得不好，明天就會發現缺陷．我在1924年當學生的時候，曾經做過一萬道微積分的題目．我為什麼要做這樣多的題目呢？當時我是這樣想的：要真正學到手，只學一遍恐怕太少，一定的重復是很有必要的．有的人念書，念一遍就夠了，我自己往往不是那麼快．怎麼辦呢？那就多看、多念、多想，一直到把它弄懂為止．我過去念一本書或閱讀一本論著，從來沒有念一遍就讓它過去的．要麼不念，要念就念個透，一次、兩次，多到五次、六次，每次念的時候總覺得比前一次有新的體會．這里可以看出，平常所謂「懂了」，中間還有深淺之分，甚至有「真懂」與「假懂」之分．我們對怎樣才算學好了、真懂了，要有一個高的標准．多一分耕耘，就多一分收獲．我們要把基礎知識扎扎實實地學到手，就要捨得下功夫．我念外文總是念懂了才譯出來．我念過的書都有筆記，並且註明某月某日看的．這些筆記我都保存著，有的筆記現在還常常用到．由於念的次數多，又通過手、腦的勞動，所以印象是深刻的．有時學生來問我什麼問題，我往往可以講出來有關這個問題的答案在那一本書、那一卷、那一頁里，並且還可以從書架的某一處立刻拿出來．我不相信，人的腦力有那麼厲害，學了一遍，做了很少習題，很少甚至沒有一點實際形象化的東西，就會都理解透了，鞏固了，一輩子也不會走樣了．求學問，從不知到知，從沒有印象到有印象，而且還要「印」得正確，「印」得清楚，決不是輕而易舉的，一定要經過艱巨的勞動，通過多次反復的鑽研和練習，才能達到這樣的境界．學習數學，寧可多化一些時間，學得精一些、深一些、透一些、學到的知識也就扎實些、牢靠些，「有備無患或少患」，「以防萬一」．對學習中的困難要有足夠的估計，多作一些准備，不要貪眼前的快，學得太多、太粗，而長期下去將造成一生的慢．
科學研究，首先是「實事求是、循序前進」，然後在這個基礎上才能「齊頭並進、迎頭趕上」．沒有基礎，就沒有得以進一步飛躍的土壤，那怎麼能夠開花結果呢？
這樣說，並不反對同學們在完成自己的作業的前提下閱讀課外讀物；不但不反對，而且還要鼓勵．只是要注意，即使在這種情況下也不要貪多冒進，囫圇吞棗，食而不化．想看這本課外讀物，又想找另一本，這容易引起閱讀不精，概念模糊，思路混亂等毛病．原來想看一點課外讀物來幫助提高業務水平，而結果可能恰恰相反．所以我們大學里擔任一年級教學的老師經常說：「補基礎，炒夾生飯，不好辦．」從這一點看來，我從前在中學里念書時看不到一本數學課外讀物，或許倒是一件好事！我希望成績比較優秀的同學，在可能的條件下選定一本程度恰當的數學書籍，精讀細算，踏踏實實做好、做完習題，然後考慮第二本．在閱讀課外讀物的時候，要練手——多做習題，又要練腦——多加思索．因為，要認識數學里的基本概念和推導得來的定理，必須經過實際演算，否則也就不可能獲得念好這本書的經驗；但是，如果念了書、做了習題不想一想，只滿足於做過算數，這同樣也不可能積累經驗，提高認識和掌握數學的本質．要學好數學，要善於使用思想器官，必須提倡思索，學會分析事物的方法，養成分析的習慣．數學，特別是高等數學，包括越來越多的抽象概念，盡管對一個一個的概念一讀就覺得「懂了」，如果對概念的發展以及概念之間的聯系不加思索和分析，往往在念完一本書或學完一門分支，回顧一下，會覺得局部是「明了」的，可是整體上不大懂，甚至莫名其妙．這樣，將來把這分支的知識應用到另一理論上或建設事業的實際問題中，就會發生毛病了．總之，要學好數學，方法不外是打好基礎、多做習題、多加思索和分析等．學習數學除了書本知識以外，還需要同實際聯系，也只有這樣，才能生根壯大，發揮作用．
數學是中小學里一門重要工具學科，許多同學由於沒有正確掌握數學學習方法，有的雖然知道其重要性但不得學習要領，有的則誤入題海，茫茫然不知所措，導致數學成績不如人意。因此在學習數學的時候，我們有必要學會如何掌握數學知識，掌握數學技能，培養數學能力，以及鍛煉成良好的數學心理品質，把握好關鍵學習階段，最終掌握數學學習方法進而形成綜合學習的能力。
下面來探討一下數學學習中主要注意的一些問題：
1、正確理解和掌握數學的一些基本概念、法則、公式、定理，把握他們之間的內在聯系。
由於數學是一門知識的連貫性和邏輯性都很強的學科，正確掌握我們學過的每一個概念、法則、公式、定理可以為以後的學習打下良好的基礎，如果在學習某一內容或解某一題時碰到了困難，那麼很有可能就是因為與其有關的、以前的一些基本知識沒有掌握好所造成的，因此要注意查缺補漏，找到問題並及時解決之，努力做到發現一個問題及時解決一個問題。只有基礎扎實，我們成績才會提高。
2、培養數學運算能力，養成良好的學習習慣。
每次考完試後，我們常會聽到一些同學說：這次考試我又粗心了。而粗心最多的一種現象就是由於跳步驟產生的錯誤，並且屢錯不改。（特別是對於初一的學生，這種現象出現的多一些。）這實際上是不良的學習習慣、求快心理造成的數學運算技能的不過關。要知道數學題的每一步都是運用一定的法則來完成的，如果在解題過程中忽視了某一步，那麼就會發生這一步的法則沒有正確的運用，進而產生錯解。
因此，運算能力的提高從根本上說是要弄懂「算理」，不僅知道怎樣算，而且知道為什麼這樣算，這就是我們常說的既要知其然又要知其所以然，從而把握運算的方向、途徑和程序，一步一步仔細完成，使得運算能力一步一步地得到提高。同學們要注意，如果你有上述類似跳步的現象應及時改正，否則，久而久知，你會有一種恐懼心理，還沒有開始解題就已經擔心自己會做錯，結果這樣就會錯得越多。
3、重視知識的獲取過程，培養抽象、概括分析、綜合、推理證明能力。
老師上課在講解公式、定理、概念時，一般都揭示它們的形成過程，而這個過程卻又是同學們最容易忽視的，有的同學認為：我只需聽懂這個定理本身到時會用就行了，不需要知道他們是怎麼得出的。這樣的想法是不對的。因為老師在講解知識的形成，發生的過程中，講解的就是問題的一個思維過程，揭示的是問題解決的一種思想和方法，其中包含了抽象、概括分析、綜合、推理等能力。如果我們不重視的話，實際就失去了一次從中吸取經驗，鍛煉和發展邏輯思維能力的機會。
4.把握好學期初始階段的學習。
學習貴在持之以恆，鍥而不舍的精神，但同時我們注意到新學期初的學習很重要，它起到一個承上啟下的重要作用。假期已經結束，新學期開始了，同學們又要投入到了新的學習生活。時間不算短的假期，同學們一定感到輕鬆了很多。剛開學，大家可能感到還不那麼緊張，然而我們的學習卻更需要從學期初抓起，抓緊期初學習很重要。
學期之初，所學內容少，作業量小，同學們常有一種輕松之感。然而此時正是我們學習的好時機。一方面知識前後是有聯系的，孔子曾說：「溫故而知新」，我們可以利用這段時間將以前所學相關內容溫習一下，以便於更好地學習新知識。另一方面，基礎稍微差一點的同學，也可以利用這段時間彌補過去學習上的不足之處，這種彌補對新知識的學習也是較為有益的。
學期之初，我們所學內容盡管少，但要真正全部消化並不容易。那我們就必須花時間去鞏固，直至把所學內容全部理解為止。如此看來，盡管是學期之初，我們仍然鬆懈不得。
有一個良好的開端才會有一個良好的結果。
數學成績的提高，數學方法的掌握都和同學們良好的學習習慣分不開的，因此在最後我們再一起探討一下數學的學習習慣。
良好的數學學習習慣包括：聽講、閱讀、探究、作業。
聽講：應抓住聽課中的主要矛盾和問題，在聽講時盡可能與老師的講解同步思考，必要時做好筆記。每堂課結束以後應深思一下進行歸納，做到一課一得。
閱讀：閱讀時應仔細推敲，弄懂弄通每一個概念、定理和法則，對於例題應與同類參考書聯系起來一同學習，博採眾長，增長知識，發展思維。
探究：要學會思考，在問題解決之後再探求一些新的方法，學會從不同角度去思考問題，甚至改變條件或結論去發現新問題，經過一段學習，應當將自己的思路整理一下，以形成自己的思維規律。
作業：要先復習後作業，先思考再動筆，做會一類題領會一大片，作業要認真、書寫要規范，只有這樣腳踏實地，一步一個腳印，才能學好數學。
總之，在學習數學的過程中，我們要認識到數學的重要性，充分發揮自己的主觀能動性，從小的細節注意起，養成良好的數學學習習慣，進而培養思考問題、分析問題和解決問題的能力，最終把數學學好。
和初中數學相比，高中數學的內容多，抽象性、理論性強，因為不少同學進入高中之後很不適應,特別是高一年級，進校後，代數里首先遇到的是理論性很強的函數，再加上立體幾何，空間概念、空間想像能力又不可能一下子就建立起來，這就使一些初中數學學得還不錯的同學不能很快地適應而感到困難，以下就怎樣學好高中數學談幾點意見和建議。
一、首先要改變觀念。
初中階段，特別是初中三年級，通過大量的練習，可使你的成績有明顯的提高，這是因為初中數學知識相對比較淺顯，更易於掌握，通過反復練習，提高了熟練程度，即可提高成績，既使是這樣，對有些問題理解得不夠深刻甚至是不理解的。例如在初中問|a|=2時，a等於什麼，在中考中錯的人極少，然而進入高中後，老師問，如果|a|＝2,且a＜0，那麼a等於什麼，既使是重點學校的學生也會有一些同學毫不思索地回答：a=2。就是以說明了這個問題。
又如，前幾年北京四中高一年級的一個同學在高一上學期期中考試以後，曾向老師提出「抗議」說：「你們平時的作業也不多，測驗也很少，我不會學」，這也正說明了改變觀念的重要性。
高中數學的理論性、抽象性強，就需要在對知識的理解上下功夫，要多思考，多研究。
二、提高聽課的效率是關鍵。
學生學習期間，在課堂的時間佔了一大部分。因此聽課的效率如何，決定著學習的基本狀況，提高聽課效率應注意以下幾個方面：
1、課前預習能提高聽課的針對性。
預習中發現的難點，就是聽課的重點；對預習中遇到的沒有掌握好的有關的舊知識，可進行補缺，以減少聽課過程中的困難；有助於提高思維能力，預習後把自己理解了的東西與老師的講解進行比較、分析即可提高自己思維水平；預習還可以培養自己的自學能力。
2、聽課過程中的科學。
首先應做好課前的物質准備和精神准備，以使得上課時不至於出現書、本等物丟三落四的現象；上課前也不應做過於激烈的體育運動或看小書、下棋、打牌、激烈爭論等。以免上課後還喘噓噓，或不能平靜下來。
其次就是聽課要全神貫注。
全神貫注就是全身心地投入課堂學習，耳到、眼到、心到、口到、手到。
耳到：就是專心聽講，聽老師如何講課，如何分析，如何歸納總結，另外，還要聽同學們的答問，看是否對自己有所啟發。
眼到：就是在聽講的同時看課本和板書，看老師講課的表情，手勢和演示實驗的動作，生動而深刻的接受老師所要表達的思想。
心到：就是用心思考，跟上老師的數學思路，分析老師是如何抓住重點，解決疑難的。
口到：就是在老師的指導下，主動回答問題或參加討論。
手到：就是在聽、看、想、說的基礎上劃出課文的重點，記下講課的要點以及自己的感受或有創新思維的見解。
若能做到上述「五到」，精力便會高度集中，課堂所學的一切重要內容便會在自己頭腦中留下深刻的印象。
3、特別注意老師講課的開頭和結尾。
老師講課開頭，一般是概括前節課的要點指出本節課要講的內容，是把舊知識和新知識聯系起來的環節，結尾常常是對一節課所講知識的歸納總結，具有高度的概括性，是在理解的基礎上掌握本節知識方法的綱要。
4、要認真把握好思維邏輯，分析問題的思路和解決問題的思想方法，堅持下去，就一定能舉一反三，提高思維和解決問題的能力。
此外還要特別注意老師講課中的提示。
老師講課中常常對一些重點難點會作出某些語言、語氣、甚至是某種動作的提示。
最後一點就是作好筆記，筆記不是記錄而是將上述聽課中的要點，思維方法等作出簡單扼要的記錄，以便復習，消化，思考。
三、做好復習和總結工作。
1、做好及時的復習。
課完課的當天，必須做好當天的復習。
復習的有效方法不是一遍遍地看書或筆記，而是採取回憶式的復習：先把書，筆記合起來回憶上課老師講的內容，例題：分析問題的思路、方法等（也可邊想邊在草稿本上寫一寫）盡量想得完整些。然後打開筆記與書本，對照一下還有哪些沒記清的，把它補起來，就使得當天上課內容鞏固下來，同時也就檢查了當天課堂聽課的效果如何，也為改進聽課方法及提高聽課效果提出必要的改進措施。
2、做好單元復習。
學習一個單元後應進行階段復習，復習方法也同及時復習一樣，採取回憶式復習，而後與書、筆記相對照，使其內容完善，而後應做好單元小節。
3、做好單元小結。
單元小結內容應包括以下部分。
（1）本單元（章）的知識網路；
（2）本章的基本思想與方法（應以典型例題形式將其表達出來）；
（3）自我體會：對本章內，自己做錯的典型問題應有記載，分析其原因及正確答案，應記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今後將其補上。
四、關於做練習題量的問題
有不少同學把提高數學成績的希望寄託在大量做題上。我認為這是不妥當的，我認為，「不要以做題多少論英雄」，重要的不在做題多，而在於做題的效益要高。做題的目的在於檢查你學的知識，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不準，甚至有偏差，那麼多做題的結果，反而鞏固了你的缺欠，因此，要在准確地把握住基本知識和方法的基礎上做一定量的練習是必要的。而對於中檔題，尢其要講究做題的效益，即做題後有多大收獲，這就需要在做題後進行一定的「反思」，思考一下本題所用的基礎知識，數學思想方法是什麼，為什麼要這樣想，是否還有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問題時，是否也用到過，把它們聯系起來，你就會得到更多的經驗和教訓，更重要的是養成善於思考的好習慣，這將大大有利於你今後的學習。當然沒有一定量（老師布置的作業量）的練習就不能形成技能，也是不行的。
另外，就是無論是作業還是測驗，都應把准確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，也是學好數學的重要問題。
最後想說的是：「興趣」和信心是學好數學的最好的老師。這里說的「興趣」沒有將來去研究數學，做數學家的意思，而主要指的是不煩感，不要當做負擔。「偉大的動力產生於偉大的理想」。只要明白學習數學的重要，你就會有無窮的力量，並逐步對數學感到興趣。有了一定的興趣，隨之信心就會增強，也就不會因為某次考試的成績不理想而泄氣，在不斷總結經驗和教訓的過程中，你的信心就會不斷地增強，你也就會越來越認識到「興趣」和信心是你學習中的最好的老師。
學好數學的訣竅：想得清楚說得明白
「數學不止是會寫，還要會說，會回答各種問題。」著名數學家、中國科學院院士張景中在國際數學家大會少年數學論壇上，向近千名少年數學愛好者講述學好數學的訣竅。
在很多人看來，數學工作就是數學家有自己的想法，經過一番埋頭苦算後證實這一想法，它是一門單兵作戰的科學。而在這次論壇上，不論是數學家還是一線教師，都不約而同地否定了這一看法。
著名數學家丁偉岳院士現身說法。他讀中學時，老師講授開平方的方法，他不滿足，乾脆按照這種方法類推，居然找出開立方的方法。「不要等著老師提問，在日常學習中我們可以給自己提問題。」他說。
張景中院士有同樣的體會。上世紀50年代，他在北大讀書。一個班分成幾個小組，經常展開各種討論。討論中各種思想交叉碰撞，不經意間迸出智慧的火花。
在學習數學中，經常會碰到這樣一種狀況：想得清楚的一些問題，卻說不清楚。張院士說，美國的學生如果想學明白哪門課程，教授就會建議他申請教這門課程。「能給別人講明白，自己也就明白了。」
上世紀50年代的北大數學系考試採取口試的方法，與美國教授的建議頗有類似之處。張景中院士回憶，老師會准備許多題目，讓同學們抽簽，每人有45分鍾的准備時間。學生在黑板上把題目講解清楚，聽眾就是老師，同時也是評委。
北京市教育科學研究所、特級教師周沛耕贊同兩位院士的教學方法。「學數學有兩個層次：聽懂別人的話是第一層次，而悟出，即能讓別人聽懂自己講是第二個層次。」
悟出，可以讓數學愛好者更上一層樓：學會獨立思考的樂趣。
周沛耕老師曾經教過這樣一個女學生：讀初二時成績一般，那年暑假，她認真閱讀了一本數學書。結果開學後不久，她在市裡的比賽中獲了獎。這樣一路努力下來，她摘取了一項國際大賽的金牌。
這位女同學在總結經驗時說：「我不屬於聰明型的，有時別人聽明白老師的課，我就不明白。但是我一定要自己搞清楚，盡量不問人。我讀的書也並不多，可只要讀書，我就一定要讀懂。」
北京大學教授、北京數學理事會理事長李忠認同這位女同學的做法：「學會獨立思考，不要輕易問別人怎樣做題，試著享受自己得出答案的快感。」
李忠教授曾經向一位國外數學家請教他成功的竅門。這位數學家回答——「耐心」。
② 學數學：想得清楚說得明白
中國著名數學家、中國科學院院士張景中在國際數學家大會少年數學論壇上，向近千名少年數學愛好者講述學好數學的訣竅：「數學不止是會寫，還要會說，會回答各種問題。」下面是我給大家帶來的學數學：想得清楚說得明白，供大家參考!
學數學：想得清楚說得明白
許多人看來，數學工作就是數學家有自己的想法，經過一番埋頭苦算後證實這一想法，它是一門單兵作戰的科學。而在這次論壇上，不論是數學家還是一線教師，都不約而同地否定了這一看法。
著名數學家丁偉岳院士現身說法。他讀中學時，老師講授開平方的方法，他不滿足，乾脆按照這種方法類推，居然找出開立方的方法。「不要等著老師提問，在日常學習中我們可以給自己提問題。」他說。
張景中液山院士有同樣的體會。上世紀50年代，他在北大讀書。一個班分成幾個小組，經常展開各種討論。討論中各種思想交叉碰撞，不經意間迸出智慧的火花。
在學習數學中，經常會碰到這樣一種狀況：想得清楚的鬧並中一些問題，卻說不清楚。張院士說，美國的學生如果想學明白哪門課程，教授就會建議他申請教這門課程。「能給別人講明白，自己也就明白了。」
上世紀50年代的北大數學系考試採取口試的方法，與美國教授的建議頗有類似之處。張景中院士回憶，老師會准備許多題目，讓同學們抽簽，每人有45分鍾的准備時間。學生在黑板上把題目講解清楚，聽眾就是老師，同時也是評委。
北京市教育科學研究所、特級教師周沛耕贊同兩位院士的教學方法。「學數學有兩個層次：聽懂別人的話是第一層次，而悟出，即能讓別人聽懂自己講是第二個層次。」
悟出，可以讓數學愛好者更上一層樓：學會獨立思考的樂趣。
周沛耕老師曾經教過這樣一個女學生：讀初二時成績一般，那年暑假，她認真閱讀了一本數學書。結果開學後不久，她在市裡的比賽中獲了獎。這樣蔽粗一路努力下來，她摘取了一項國際大賽的金牌。
這位女同學在總結經驗時說：「我不屬於聰明型的，有時別人聽明白老師的課，我就不明白。但是我一定要自己搞清楚，盡量不問人。我讀的書也並不多，可只要讀書，我就一定要讀懂。」
北京大學教授、北京數學理事會理事長李忠認同這位女同學的做法：「學會獨立思考，不要輕易問別人怎樣做題，試著享受自己得出答案的快感。」
李忠教授曾經向一位國外數學家請教他成功的竅門。這位數學家回答——「耐心」。
學好高中數學也需閱讀積累
有人認為，語文閱讀課外資料很重要，而數學則不需要。其實，數學同樣需要大量地閱讀並且要學會積累。
閱讀，在語文中要抓住精煉的或生動形象的詞與句，而在數學中，則應抓住關鍵的詞語。比如在初二課本第一學期第21章第五節反比例函數性質的第一條：「當k>0時，函數圖像的兩個分支分別在第一、三象限內，在每個象限內，自變數x逐漸增大時，y的值則隨著逐漸減小。」這句話中，關鍵詞語是「在每個象限內」，反比例函數的圖像為雙曲線，而這個性質是對於其中某一分支而言，並不是對整個函數來說的。所以在做題時，應注意到這一點。從這一實例來看，我們不難發現閱讀時抓住關鍵詞語的重要性。
③ 高中數學教材_數學教材
著名物理學家、數學家卡爾・弗里德里希・高斯說過:「數學,科學的女皇;數論,數學的女皇。」我國著名數學家華羅庚指出,「宇宙之大,粒子之微,火箭之速,地球之變,生物之迷,日用之繁」,無一能離開數學。從航空到家庭,從宇宙到原子,從大型工程到工商管理,無一不受惠於數學科學技術。數學給予人們的不僅是知識,更重要的是能力,這種能力包括觀察實驗、收集信息、歸納類比、直覺判斷、邏輯推理、建立模型和精確計算。這些能力的培養,將使人終身受益。未來的世界是現代化、科學化的世界,而未來的科學是數學化的科學。數學是打開科學大門的「鑰匙」。本期幾位專家、學生、編輯對相關教材的評點將帶領你更好認識這把「鑰匙」……
關於高等數學課程內容體系改革的理念與實踐
評《高等數學》(第二版)
李忠
《高等數學》(第二版)一書的前身是1998年出版的《高等櫻租數學簡明教程》(全三冊)。1996年秋至1998年春,我們在為北京大學物理系、無線電電子學系及技術物理系講授高等數學課期間,在課程內容體繫上作了一些嘗試,出版了《高等數學簡明教程》(全三冊),並獲2002年全國普通高等學校優秀教材一等獎。2004年,對該書作了第一次全面修訂,作為「十五」國家級規劃教材,在內容上作了一定的調整,由三冊改為兩冊,並更名為《高等數學》。
本書的主要讀者是高等院校中物理類專業的學生。高等數學課(或者簡單地說,微積分學)對於這些專業而言,其重要性是不言而喻的。然而,這個課對一部分學生說來,往往又是難學的,甚至是讓人「望而生畏」的。本書編寫的主要指導思想就是希望通過調整某些傳統講法,使微積分學的講授,能夠返璞歸真,平實自然,有趣有用。
在這次修訂中,我們刪去了若干定理的證明,其中包括閉區間上連續函數有界性定理、介值定理、最大最小值定理、隱函數存在性定理等定理的證明。這種刪改並不表示教脊兆兆學基本要求的改變,而是恰恰相反。這些定理的證明在原書中,或者以附錄的形式出現,或者明確註明超出教學大綱的要求,不必在課堂講授。盡管如此,把它們寫在書中,畢竟有可能對教師或學生產生誤導,模糊了教學的基本要求,並增加了教師與學生不必要的心理負擔,不如乾脆去掉為好。因此,這樣做是為了使本書更明確地體現教學的基本要求。
這套教材在內容處理上還有以下幾點說明,與同行商榷:
一、與傳統的教材相比,教材在講授內容的次序上作了一定的調整。
目前國內多數高等數學教材是先講微分學,後講積分學,這樣做的好處是數學理論體系清晰,其缺點則是積分概念出來過晚,使初學者對微分概念與積分概念有割裂之感。另外,由於積分概念出現過晚而使數學課在與其他課程,如力學與普通物理等課的配合上出現了嚴重脫節現象。
在本教材中,我們把微積分的基本概念及計算放在一起先講,在講完微積分基本定理及積分的計算之後,才開始講微分中值定理與泰勒公式。這樣調整的主要目的是為了讓初學者盡可能早地了解與把握微積分的基本思想,掌握它最核心、最有用、最生動的部分。同時,這樣的調整也緩解了與其他課程在配合上的矛盾。因此,我們認為這種調整或許是解決物理類專業在大學一年級數學課與其他基礎課脫節問題的途徑之一。
微積分就其原始的核心思想與形式來講是樸素的、自然的,容易被人理解與接受。隨著歷史的發展,邏輯基礎的加固和各種研究的深化,它已經變成了一個猜租「龐然大物」,讓初學者望而生畏。現在,如何選取其中要緊的東西以及用怎樣的方式將它們在較短的時間內展示給學生,不能說不是一個問題,值得我們思考與探索。
二、關於極限概念的處理。
關於極限概念和有關實數理論的處理歷來是微積分教學改革中爭論的焦點之一。我們認為,極限的嚴格定義,即「ε-δ」與「ε-N」的說法是應該講的,並且要認真講,因為它在處理一些復雜極限過程,特別是涉及函數項級數一致收斂性等問題時,是必不可少的。物理類專業的學生可能還要學許多更高深的數學,不掌握極限的嚴格定義也是不行的。
但是,我們也不贊成在一開頭就花很大力氣去反復訓練「ε-δ」,而形成一種「大頭極限論」。我們希望隨著課程的深入,讓學生在反復使用中逐漸熟悉它,掌握它。在現在的教材中沒有出現大量的用「ε-δ」求證具體函數極限的練習,更沒有做十分困難的極限習題,因為做過多的這類練習意義不大。極限的概念在這套教材中既是嚴謹的,又保留其樸素、直觀、自然的品格。
與極限概念密切聯系在一起的是關於實數域完備性的幾個定理。我們採用了分散處理的辦法。在全書的一開頭就把單調有界序列有極限作為實數完備性的一種數學描述加以介紹。有了它,在有關極限的許多討論中已足夠了。閉區間上連續函數的性質在第一章中只敘述而不加證明,其證明只作為附錄,供有興趣的讀者自行閱讀。在討論級數之前再次涉及實數域的完備性,這時才介紹柯西收斂原理,以滿足級數討論的需要。這種分散處理的辦法,不僅分散了難點,而且使初學者更容易看清這些基礎性定理在所涉及問題中的意義。
三、本書堅持了傳統教材中的基本內容與基本訓練不變,但拓寬了內容範圍。
在內容的取捨上,我們採取了相當慎重的態度。近來對高等數學課的內容現代化改革呼聲很高,但是,作為一門數學基礎課似乎不宜簡單地以現代化作為其改革的主要目標。數學學科中概念的連貫性使得它不可能像電子器件一樣去「更新換代」和「以新棄舊」,而且現在看來掌握好微積分的基本概念、基本理論與基本訓練,對於一個理工科大學生而言依然是必不可少的。當然,計算機的廣泛使用以及數學軟體功能的日益提高,正促使我們思考在高等數學課中簡化或減少某些計算的內容。然而就目前的情況,我們尚難於下定決心取消某些內容。為了慎重從事,這次改革試驗中,我們保留了傳統教材中的基本內容與基本訓練。
我們認為目前對高等數學課而言重要的不是去更新內容,而是避免教學中煩瑣主義的傾向,不要在一些枝節問題上大做文章。那樣做既歪曲了數學,又使學生苦不堪言。
國際著名數學家柯朗曾經尖銳地批評過數學教育。他指出:「2000年以來,掌握一定的數學知識已被視為每個受教育者必須具備的智力。數學在教育中的這種特殊地位,今天正在出現嚴重危機。不幸的是,數學教育工作者對此應負其責。數學的教學逐漸流於無意義的單純演算習題的訓練,固然這可以發展形式演算能力,但卻無助於對數學的真正理解,無助於提高獨立思考能力……」
柯朗的話是對的。數學教育需要改革,我們任重道遠。
(本文作者為北京大學數學學院的教授)
《高等數學》(第二版),李忠、周建瑩編著,北京大學出版社,定價:58.00元(上下)
起點低 時代感強
評《數學建模簡明教程》
郜言
20世紀90年代以來,「數學模型」一詞在中學數學教育界漸漸普及開來。這是一件值得慶幸的大事。事實上,「數學模型」進入數學教學,不僅僅是增加一點教學內容,更重要的是涉及數學觀的變化,在整體上促進了數學教育的進步。
多年以來,中國的數學教育存在著忽視「數學模型」教學的傾向。數學等同於「邏輯推理」、「難題求解」等看法,凸顯了數學理性思維的一面,卻把數學應用、建立數學模型斥之為「實用主義」和「短視行為」,結果不可避免地走向片面。如果任憑這種錯誤的數學觀繼續下去,將使數學和現實失去聯系。
幸運的是,這種忽視應用的數學觀正在得以迅速改變。在數學教育上,數學建模已作為國家數學課程標准中的有機組成部分,數學建模競賽、數學應用競賽吸引了大批青少年關注數學應用問題。
華東師范大學數學系的袁震東等教授,為了促進中學數學建模教學的發展,結合多年的教學和研究經驗,編寫了《數學建模簡明教程》一書。本書的起點較低,坡度較小,卻涵蓋了數學建模的主要內容,尤其著眼於數學建模思想的闡述以及計算機的應用,具有很強的時代感。期望這些努力能幫助學生學會如何從實際中抽象出數學問題,如何收集整體數據,如何正確使用已學的數學知識和方法進行再創造和創新,利用計算機獲取與問題要求相符合的數學模型。
《數學建模簡明教程》,袁震東等編著,華東師范大學出版社2002年2月,定價:18.00元
內容簡練經典
評《數學分析簡明教程》
郭松柏
《數學分析簡明教程》從描述實數連續統開始建立嚴格的極限概念,從而建立微積分的運算體系和理論並講述一些最基本的應用。從過去學過的離散量的運算體系過渡到連續量的運算體系,提供了一套連續量的運算體系及其數學理論,因而是嶄新的。
該書的內容都是建立在實數繫上,實數系對四則運算封閉,本身又是連續,於是它就成為了數學分析活動的舞台。學習該書的過程中,也要注意物理、力學的背景模型(實物),幾何的形象直觀(形象),抽象的演算推理(數量)三者結合,把它們融為一體,腦海中能形成典型的例子,演算要熟練准確。該書也是一門學習數學、自然科學、近代科學技術的最基礎課程。
本書內容簡練經典,配套一些經典的習題,某些題也是有難度的,也涉及了一些考研升學的題目,對於學習數學專業的人來說是不錯的書。
不過該書也有一些疏忽導致的謬誤之處。例如下冊第15頁例4～5中,本來應該是un+1,而書中卻是uu+1。
就其總體來說,本書編寫得不錯,是值得數學愛好者學習的。
《數學分析簡明教程》(上下),鄧東皋、尹小玲著,高等教育出版社1999年6月,定價:27.40元 13096
④ 學好數學首先需學會獨立思考
摘要：上世紀50年代的北大數學系考試採取口試的方法，與美國教授的建議頗有類似之處。張景中院士回憶，老師會准備許多題目，讓同學們抽簽，每人有45分鍾的准備時間。學生在黑板上把題目講解清楚，聽……
「數學不止是會寫，還要會說，會回答各種問題。」數學家、中國科學院院士張景中在國際數學家大會少年數學論壇上，向近千名少年數學愛好者講述學好數學的訣竅。 在很多人看來，數學工作就是數學家有自己的想法，經過一番埋頭苦算後證實這一想法，它是一門單兵作戰的科學。
而在這次論壇上，不論是數學家還是一線教師，都不約而同地否定了這一看法。
數學家丁偉岳院士現身說法。他讀中學時，老師講授開平方的方法，他不滿足，乾脆按照這種方法類推，居然找出開立方的方法。「不要等著老師提問，在日常學習中我們可以給自己提問題。」他說。
張景中院士有同樣的體會。上世紀50年代，他在北大讀書。一個班分成幾個小組，經常展開各種討論。討論中各種思想交叉碰撞，不經意間迸出智慧的火花。
在學習數學中，經常會碰到這樣一種狀況：臘首想得清楚的一些問題，卻並卜說不清楚。張院士說，美國的學生如果想學明白哪門課程，教授就會建議他申請教這門課程。「能給別人講明白，自己也就明白了。」
上世紀50年代的北大數學系考試採取口試的方法，與美國教授的建議頗有類似之處。張景中院士回憶，老師會准備許多題目，讓同學們抽簽，每人有45分鍾的准備時間。學生在黑板上把題目講解清楚，聽眾就是老師，同時也是評委。
北京市教育科學研究所、特級教師周沛耕贊同兩位院士的教學方法。「學數學有兩個層次：聽懂別人的話是第一層次，而悟出，即能讓別人聽懂自己講是第二個層次。」
悟出，可以讓數學愛好者更上一層樓：學會獨立思考的樂趣。
周沛耕老師曾經教過這樣一個女學生：讀初二時成績一般，那年暑假，她認真閱讀了一本數學書。結果開學後不久，她在市裡的比賽中獲了獎。這樣一路努力下來，她摘取了一項國際大賽的金牌。
這位女同學在總結經驗時說：「我不屬於聰明型的，有時別人聽明白老師的課，我就不明白。但是我一定要自己搞清楚，盡量不問人。我讀的書也並不多，可只要讀書，我就一定要讀懂。」
北京大學教授、北京數學理事會理事長李忠認同這位女同學的做法：「學會獨立思考，不要輕易問別人怎樣做題，試著享受自己得出答案的快感。」
李忠教授曾經向一位國外數學家請教他成功的竅門。這位數學家回答——「耐心」。
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⑤ 學好數學的方法訣竅
初高中的數學，我覺得還是最有效的還是練習，熟能生巧，簡單的題目多信橘做幾遍就會很熟悉了，難得見到了就好好做下去，並且把用到的知識查清楚記下了。時間長了就能掌握梁坦腔了，當然這需要很長的時間。數學本來就要靠積累，這只是我自己的橡衫想打。祝你好運！
⑥ 怎樣學好初一數學
數學要學得好，都說是要多做，但我認為還要不僅多做，還要學會理解，在
理解的基礎上，你才能在做其他題目時得於運用。初一的幾何其實不難學，看
你勤不勤啦。這是基礎部分，你就把老師上課講的搞懂，課後，先回顧一下，
再做作業，要學會運用老師說的。從簡單的題目開始做。先做課本每小結後的
習題練習。再做其他學習資料的作業。不懂的還要多問，問同學老師都可以。
不可以聽得一知半解，聽完後要自己「消化」一下，還有不懂的再問，直到
徹底理解。做習題不懂時要多思考，實在不懂得在問哦。
以上是我的個人經驗。以下是其他人的：
數學一直是人類從事實踐活動 的重要工具，是基礎教育中最基本的課程之一。每個學生都希望能掌握好數學知識，培養和提高自己的計算能力、邏輯思維能力、空間想像能力、創新能力以及對於數學的初步應用。然而對於一個剛從小學進入初中的初一學生來說，怎樣才能學好數學呢？我覺得可以從抓各種學習習慣入手。從小學進入初中是學習階段的一個重大轉折。根據人的生理和心理發展規律，初中學生正是處在各種習慣形成的關鍵階段，如不及時抓住這一有利時機，形成各種良好的學習習慣，就很容易染上許多不良的學習習慣，嚴重地影響智力和能力的發展。而良好的學習習慣是激發思維、開發能力、發展個性的重要心理要素，是取得良好的教學效果的基礎，所以培養良好的學習習慣是學好數學的關鍵。下面從四個方面談一談如何培養和塑造良好的學習習慣。
一、 看書習慣
這是自學能力的基本功。根據美國和前蘇聯對幾十所名牌大學的調查表明，那些卓有成就的科學家有20%~25%的知識是來自學校，而75%~80%的知識是靠他們離校後通過工作、自學和科研來獲得的。根據心理規律，初中學生已經具備閱讀能力，但由於在小學受直觀模仿習慣的影響，使眾多學生誤把數學課本當作習題集。所以從初一開始就應重視糾正自己的錯誤學習習慣，樹立數學課本同樣需要閱讀的正確思想，並注意總結如何閱讀數學課本的方法。
1. 每一節課前都務必養成預習的習慣，努力在預習中發現自己不懂的問題，以便能帶著問題聽講。課堂上注意老師如何閱讀課文，從中培養自己掌握如何分析定義、定理中的關鍵字、詞、句以及與舊知識的聯系。
2. 經常歸納總結學過的知識，培養復習習慣。剛開始時，可跟著老師總結一節課或一個單元的內容，一個階段後可根據老師提出的復習提綱，自己帶著問題去鑽研課文，最後過渡到由自己歸納，促使自己反復閱讀課文，及時復習，溫故知新。
二、 筆記習慣
「好記性不如爛筆頭」。中學數學內容豐富，課堂容量一般比較大，為系統學好數學，從初中時期就必須重視培養做課堂筆記的習慣，課上做筆記還可約束精力分散，提高聽課效率。一般，課堂筆記除記下講課綱目外，主要是記老師講課中交代的關鍵、思路、方法及內容概括。特別注意隨時記下聽課中的點滴體會舉畢及疑問。在「聽」與「記」兩個方面，聽是基礎，切莫只顧「記」而影響「聽」。
為了使課堂筆記逐步提高質量，同學間應進行適當的交流，相互取長補短。
三、 動手實踐、合作交流習慣
「實踐出真知」。動手實踐能集中注意力，提高學習興趣，能加深對學習對象的印象和理解。在動手實踐中，能把書上的知識與實際事物聯系起來，能形成正確深刻的概念。在動手實踐中，能手腦並用，用實際活動逐步形成和發展自己的認知結構，能形成技能，發展能力。在動手實踐中養成「做前猜想-----動手實驗-----操作結果-----歸納總結」的習慣。
「三人同行念答早，必有我師」。同學間相互交流學習結果，各抒己見，取長補短。能達到動腦、動口、動手、激發思維、活躍氣氛、調動積極性的作用。
四、 作業習慣
數學作業是鞏固數學知識、激發學習興趣、訓練數學能力的重要環節。有些同學視作業為負擔，課後只憑著課堂上的印象匆忙作答，往往解法單一；有的還字跡潦草、馬虎粗心、格式不規范、甚至抄襲。這就錯失仔雀了訓練良機，嚴重地響了學習效果。應該正確認識做作業的目的性，培養良好的作業習慣。良好的作業習慣應包括：
1. 要養成作業前看書的習慣。做作業前要認真閱讀復習課文、觀察例題的解題格式、步驟和方法。這正是「磨刀不誤砍柴功」。
2. 要養成審題的習慣。讀題後，先弄清題目是什麼題型、它有什麼條件、有哪些特點等。
3. 要養成獨立作業的習慣。若有特殊情況，不能如期完成，可向老師說明情況：如遇到難題不會做時，可向老師或同學請教，弄懂以後獨立完成。切不可為了應付任務而去抄襲。
4. 要養成對已做作業進行再思考的習慣。不少同學不重視對已做作業進行再看、再思考，從而導致錯誤做法在頭腦中形成定勢。有的題目做錯，老師訂正過了，你還錯，就是這個原因。常此下去，在新知識和做新作業中會出現更大的錯誤，為了鞏固作業的成果，同學們在每次做新的作業之前，務必對前一天的作業進行反饋。反饋內容包括：（1）題目類型；（2）解題思路與方法；（3）出錯問題的原因；（4）訂正出錯問題；（5）收集出錯問題（就是將自己出錯的問題專門收集在一個地方，標注出以上四項內容，以便將來復習時糾錯）。
五、 思維習慣
科學的思維方法和良好的思維習慣是開發智力、發展能力的鑰匙。心理學告訴我們，初一階段是學生從形象思維向抽象思維轉變的重要時期，所以這時候一定要重視良好的思維習慣的培養。根據初中數學內容的特點，良好的思維習慣包括邏輯性、周密性、發散性、收斂性、逆向性。
1. 邏輯性。這是要求學生「答必有據」切忌想當然。在推理演算過程中，能夠懂得其中每一步的依據，不懂之處就不寫，設法弄懂之後再繼續推理演算。
2. 周密性。這是要求學生全面的考慮問題。如：已知點C在直線AB上，線段AB=8cm，線段BC=3cm，求線段AC的長。全面考慮問題就要分點C在線段AB上和點C在線段AB的延長線上兩類進行討論：當點C在線段AB上時，AC=AB-BC=8-3=5cm；當點C在線段AB的延長線上時，AC=AB+BC=8+3=11cm。培養這種習慣，應特別注意老師在課堂上指出的「易出錯或想不全」的情形與原因。
3. 發散性。這是要求學生運用多種辦法解決一個問題。培養這個習慣，要特別注意老師在講一題多解時的思考方法、問題推廣延拓時的分析，在數學學習過程中努力養成尋求一題多解，一題多變的習慣。
4. 收斂性。這是在發散思維的基礎上進行歸納總結，以達到多題一解、舉一反三。發散與收斂兩種思維綜合運用可相得益彰。
5. 逆向性。這是要求學生把某些公式、法則、定理的順序顛倒過來考慮。如計算：
（-0.38）×4.58-0.62×4.58，可以逆向運用乘法分配律，就得到簡便計算的方法。
六、 質疑習慣
我國古代大教育家孔子一貫主張學習要知其然，更要知其所以然。就是對事物不但要問「是什麼」，更要問「為什麼」。
心理學家告訴我們，人們在接受一個新的問題時，普遍有一種弄個究竟的慾望。初中學生生處在思維活躍、好奇心強的時候，應該有刨根問底的心理要求。但由於受到陳舊的社會心理所束縛，不敢大膽的對所遇到的問題「亂想」、「亂說」，課堂上是這樣，課外也是這樣，使他們的個性受到嚴重扼殺，不利於健康的成長。要扭轉這種局面，要求學生在課堂上要大膽發言、積極討論、動手實踐，課後勤思多問，努力創造培養出喜歡質疑的良好習慣，同學們要知道老師其實最喜歡勤思多問的學生，要養成對知識刨根究底的習慣，養成隨時對疑問進行質疑的習慣。
培養學習習慣是一項系統工程。它需要同學們有決心、恆心、耐心。達爾文說：「最有價值的知識是關於方法的知識」。久而久之的方法便成為自然的習慣，所以培養良好的學習習慣是掌握一把打開知識寶庫的鑰匙，它所釋放出的能量將是無可比擬的。
學生從小學進入初一，生理、心理和環境等的改變，使初一學生存在著一定的特殊性，比如科目增多，作業量變大，需要理解的成份增多；以前都是小學老師面面俱到地幫助學生學，學生對老師的依賴性大；而到初中讓學生自己學，課後學生自己完成作業、支配課余時間。這使小學一些懶惰、毅力較差的學生會產生厭學和無所適從的感覺。因此，這就要求我們老師對他們的學習習慣和方法加以指導。
1、學習方法的重要性。
啟發學生認識到科學的學習方法是提高學習成績的重要因素，並把這一思想貫穿於整個教學過程之中．可以通過講述數學名人的故事，激勵學生，我結合《數軸》一課的內容，在班上講述笛卡爾在病床上發現數軸，最終開創了用數軸表示有理數的故事。讓孩子懂得了獲得數學知識，學習數學的方法才是關鍵。班級中，讓學習成績優秀的同學介紹經驗，講述自己的學習方法，以供其他同學參考。
2、學生學習的積極性
初一學生好奇心強烈，但學習的持久性不長，如果在教學中具有積極的非智力因素基礎，可以使學生學習的積極性長盛不衰．首先激發學習動機，即激勵學生主體的內部心理機制，調動其全部心理活動的積極性。比如在學習《概率初步認識》一課中，教學引入時，我根據學生喜歡玩撲克牌的愛好，和他們來講撲克游戲，引發學生的興趣，使學生產生強烈的求知慾。有的課教師還可以運用形象生動、貼近學生、幽默風趣的語言來感染學生．其次是鍛煉學習數學的意志．俗話說：人在經受挫折、克服困難中發展，困難是培養學生意志力的「磨刀石」．我認為應該以練習為主，在初一的數學練習中，要經常給學生安排適當難度的練習題，讓他們付出一定的努力，在獨立思考中解決問題，但注意難度必須適當，因為若太難會挫傷學生的信心，太易又不能鍛煉學生的意志. 再次，養成良好的數學學習習慣．有的孩子習慣「悶」題目，盲目的以為多做題就是學好數學的方法，這個不良的學習習慣，在平時的教學中老師一定要注意糾正。
3、指導學習的方法。
在教學中要挖掘教材內容中的學法因素，把學法指導滲透到教學過程中。例如我在進行《完全平方公式》教學時，很多孩子老是漏掉系數2乘以首尾兩項，於是我就給他們編了首順口溜，「頭平方，尾平方，頭尾組合2拉走」，這樣選取生動、有趣的記憶法來指導學生學習，有利於突破知識的難點。②隨機點撥。無論是在授課階段還是在學生練習階段，教師要有強烈的學法指導意識，抓住最佳契機，畫龍點睛地點撥學習方法． ③及時總結。在傳授知識、訓練技能時，教師要根據教學實際，及時引導學生把所學的知識加以總結。我在完成一個單元的學習之後都讓孩子們養成自己總結的習慣，使單元重點系統化，並找出規律性的東西． ④遷移訓練．總結所學內容，進行學法的理性反思，強化並進行遷移運用，在訓練中掌握學法．
最後，初一是學生奠定基礎的關鍵時期，在課堂上我們盡量讓學生進行獨立思考，並與同學之間進行交流，鼓勵發表自己的意見，形成自主學習、合作交流的良好學習氛圍，同時老師對他們的學習方法加以指導，只有讓學生掌握正確的學習方法和養成良好的學習習慣，才能為以後學習數學打好堅實基礎。
「數學不止是會寫，還要會說，會回答各種問題。」著名數學家、中國科學院院士張景中在國際數學家大會少年數學論壇上，向近千名少年數學愛好者講述學好數學的訣竅。
在很多人看來，數學工作就是數學家有自己的想法，經過一番埋頭苦算後證實這一想法，它是一門單兵作戰的科學。而在這次論壇上，不論是數學家還是一線教師，都不約而同地否定了這一看法。
著名數學家丁偉岳院士現身說法。他讀中學時，老師講授開平方的方法，他不滿足，乾脆按照這種方法類推，居然找出開立方的方法。「不要等著老師提問，在日常學習中我們可以給自己提問題。」他說。
張景中院士有同樣的體會。上世紀50年代，他在北大讀書。一個班分成幾個小組，經常展開各種討論。討論中各種思想交叉碰撞，不經意間迸出智慧的火花。
在學習數學中，經常會碰到這樣一種狀況：想得清楚的一些問題，卻說不清楚。張院士說，美國的學生如果想學明白哪門課程，教授就會建議他申請教這門課程。「能給別人講明白，自己也就明白了。」
上世紀50年代的北大數學系考試採取口試的方法，與美國教授的建議頗有類似之處。張景中院士回憶，老師會准備許多題目，讓同學們抽簽，每人有45分鍾的准備時間。學生在黑板上把題目講解清楚，聽眾就是老師，同時也是評委。
北京市教育科學研究所、特級教師周沛耕贊同兩位院士的教學方法。「學數學有兩個層次：聽懂別人的話是第一層次，而悟出，即能讓別人聽懂自己講是第二個層次。」
悟出，可以讓數學愛好者更上一層樓：學會獨立思考的樂趣。
周沛耕老師曾經教過這樣一個女學生：讀初二時成績一般，那年暑假，她認真閱讀了一本數學書。結果開學後不久，她在市裡的比賽中獲了獎。這樣一路努力下來，她摘取了一項國際大賽的金牌。
這位女同學在總結經驗時說：「我不屬於聰明型的，有時別人聽明白老師的課，我就不明白。但是我一定要自己搞清楚，盡量不問人。我讀的書也並不多，可只要讀書，我就一定要讀懂。」
北京大學教授、北京數學理事會理事長李忠認同這位女同學的做法：「學會獨立思考，不要輕易問別人怎樣做題，試著享受自己得出答案的快感。」
李忠教授曾經向一位國外數學家請教他成功的竅門。這位數學家回答——「耐心」。
著名社會活動家，聯合國教科文組織總幹事埃德加•富爾在其所著《學會生存》一書中指出：未來的文盲不單是指那些不識字的人，而是更廣泛地指那些不會學習的人，微軟公司總裁比爾•蓋茨也說：在未來的世界，財富將首先依賴於人們的學習與創新能力，……對於那些擁有學習與創新能力的人來說，新時代是一個充滿機遇與希望的世界，這兩位著名人物的話告訴我們，隨著二十一世紀信息時代的降臨，學習與創新能力將成為人們賴以生存和發展的最重要條件，現在的中學生，將要在二十一世紀大顯身手，為了迎接二十一世紀的挑戰，我們既要不斷提高自己的科學知識水平，又要逐步學會學習和研究的方法，提高學習和創新的能力。
數學是中學課程中的最重要學科之一。學好數學是廣大同學十分關心的問題。那麼究竟怎樣才能學好數學呢？
首先要有學習數學的興趣。兩千多年前的孔子就說過：「知之者不如好之者，好之者不如樂之者。」這里的「好」與「樂」就是願意學、喜歡學，就是學習興趣，世界知名的偉大科學家、相對論學說的創立者愛因斯坦也說過：「在學校里和生活中，工作的最重要動機是工作中的樂趣。」學習的樂趣是學習的主動性和積極性，我們經常看到一些同學，為了弄清一個數學概念長時間埋頭閱讀和思考；為了解答一道數學習題而廢寢忘食。這首先是因為他們對數學學習和研究感興趣，很難想像，對數學毫無興趣，見了數學題就頭痛的人能夠學好數學，要培養學習數學的興趣首先要認識學習數學的重要性，數學被稱為科學的皇後，它是學習科學知識和應用科學知識必 的工具。可以說，沒有數學，也就不可能學好其他學科；其次必須有鑽研的精神，有非學好不可的韌勁，在深入鑽研的過程中，就可以 略到數學的奧妙，體會到學習數學獲取成功的喜悅。長久下去，自然會對數學產生濃厚的興趣，並激發出學好數學的高度自覺性和積極性。
有了學習數學的興趣和積極性，要學好數學，還要注意學習方法並養成良好的學習習慣。
知識是能力的基礎，要切實抓好基礎知識的學習。數學基礎知識學習包括概念學習，定理公式學習以及解題學習三個方面。學習數學概念，要善於抓住它的本質屬性，也就是區別於這個概念和其他概念的屬性；學習定理公式，要緊緊抓住定理方向的內在聯系，抓住定理公式適用的范圍及題型，做到得心應手地應用這些定理公式，數學解題實№上是在熟練掌握概念與定理公式的基礎上解決矛盾，完成從「未知」向「已知」的轉化。要著重學習各種轉化方式，培養轉化的能力。總而言之，在學習數學基礎知識中，要注意把握知識的整體精髓， 悟其中的規律和實質，形成一個緊密聯系的整體認識體系，以促進各種形式間的相互遷移和轉化。同時，還要注意知識形成過程無處不隱含著人們在教學活動中解決問題的途徑、手段和策略，無處不以數學思想、方法為指南，而這也是我們學習知識時最希望要學到的東西。
數學思想方法是知識、技能轉化為能力的橋粱，是數學結構中強有力的支柱，在中學數學課本里滲透了函數的思想，方程的思想，數形結合的思想，邏輯劃分的思想，等價轉化的思想，類比歸納的思想，介紹了配方法、消元法、換元法、待定系數法、反證法、數學歸納法等，在學好數學知識的同時，要下大力氣理解這些思想和方法的原理和依據，並通過大量的練習，掌握運用這些思想和方法解決數學問題的步驟和技巧。
在數學學習中，要特別重視運用數學知識解決實№問題能力的培養。數學社會化的趨勢，使得「大眾數學」的口號席捲整個世界，有人認為未來的工作崗位是為已作好數學准備的人才提供的，這里所說的「已作好了數學准備」並不僅指懂得了數學理論，更重要的是學會了數學思想，學會了將數學知識靈活運用於解決現實問題中。培養數學應用能力，首先要養成將實№問題數學化的習慣；其次，要掌握將實№問題數學化的一般方法，即建立數學模型的方法，同時，還要加強數學與其他學科的聯系，除與傳統學科如物理、化學聯系外，可適當了解數學在經濟學、管理學、工業等方面的應用。
如果我們在數學學習中，既扎扎實實地學好了數學知識和技能，又牢固地掌握了數學思想和方法，而且能靈活應用數學知識和技能解決實№問題，那麼，我們就走在了一條數學學習成功的大道上。
我一直都認為數學不是靠做題做出來的，方法永遠比單純做題更重要。如果僅僅記住了一道題，而不仔細思考它的每一步是怎樣想出來的話，做再多的題也沒用，反而會浪費很多的時間。我的習慣做法是，首先上課認真聽，並不要求把老師講的每道題都記下來(這樣復習時要花很多時間)，只要是自己已經懂、解題思路也與老師一樣的題目就大可不必再記。關鍵要記那些自己不懂或自己已懂但老師的方法更簡便的題目。記的時候也要注意方法，最好不要在老師講的時候同時記，這樣老師講的一些沒法寫出來的思路就有可能被漏掉。教我數學的唐江津老師特別強調我們要掌握數學的解題思路，他不提倡我們隨便地做些繁雜的課外習題，只要求我們把他布置的題目做好就行。上課時，他常常會在講完一道題目時再留出一段時間讓我們記筆記，使我們聽記兩不誤。這樣，不僅使我們節省了不少時間，還掌握了許多有效的解題方法。�
接下來是課後。數學不像別的科目，一天不練就會生疏一些。當天的內容一定要當天復習，否則時間一長就容易忘記，要想再趕上就會比較吃力。復習主要靠做練習來鞏固，也不必漫無邊際地做，主要是老師布置的練習一定要完成。如果學有餘力的話，再去找課外題來做，否則就不必強求。做不出的題第二天老師講時一定要做好筆記，理清思路，並且當天就要把它掌握，隔幾天再復習幾遍，直到記牢為止。到考前那幾天，數學還是以看題為主。關鍵是看自己平時做錯或者不會做的題目(平時就應注意把這類題用紅筆標出)，記住解題方法。如果要做題的話，就做最近各地的模擬試題，那些題一般針對性更強些。總之還是三個字——不要斷。堅持每天都花一點時間在數學上，肯定會有提高。�
對於文科生來說，數學是一個比較大的挑戰。但我總覺得，大部分人還是心理上的問題比較多。因為以前數學不好，就對數學失去了信心。如果是這樣的話，不妨養成每天做一點題的習慣，多熟悉一些題型，培養數學的思維方式。更重要的是，要常常對自己說：「付出總會有回報。我已經把大部分時間都花在數學上了，我的付出一定會和我的所得呈正比的。」
數學,不必我多強調,大家也應明白其重要性了. 要知道,高考的成與敗很大程度上取決於數學成績的高與低。
說經驗,實在不敢當.只是有幾點心得吧,寫出來與大家共勉數學學習是一個完整的過程,要注重每一個環節,缺一不可。
1.課前准備: 進入高三,大部分時間是做習題、講評習題了.所以不存在一個預習新課的問題,但課前准備仍不容忽視, 老師布置的習題作業,一定要獨立完成,出現了疑難,不妨與同學討論一下,有可能就會迸發出思想的火花.但對所有的疑難,都要用顏色的筆劃出,以便上課時作為重點聽講內容.
2.上課時,一定要認真聽老師的講評. 因為老師的方法往往是具代表性,最為合理或簡便的.對於同學上黑板做的方法,也應重視,正所謂"博取百家之長為己用". 對於被叫上去做題目, 不要認為是一件倒霉的事, 因為往往你在黑板上出現的錯誤或書寫上的不規范經老師糾正後,印象會特別深刻. 所以應把老師叫你上去看成是一次鍛煉自己的機會.
3.課後鞏固:對上課所講的,課後一定要鞏固.若還有未掌握的,一定要問老師問同學直到弄懂為止. 不定期地要對做過的習題進行總結,總結出所做過的題目的規律性, 往往許多題的方法其實是一樣的,對每一題盡可能多掌握幾種解題方法, 但切記常規方法,一定要牢記.
4.考場心態:千萬不要有"患得患失"的想法, 考試時要心無雜念,一開始的幾道選擇題往往較易,若一時未能做順,不如放下筆來,閉目養神幾分鍾後再次啟動,若有題卡住後,不應浪費太多的時間,不如放下筆,重新審題,看清題目所給的每一個條件, 看時不妨用筆將一些易疏忽處劃出,若實在做不出,不如放下,待做
完整張卷子後再回頭審題.做題時一定要保證一次性正確率, 要提高一次性正確率,就應保證會做的題一定要做對, 不要做完一題之後反復檢查再做下一題, 高考中時間往往不允許這樣做題.解題要規范,中間過程不要"跳".由於高考採取分步采點計分,所以要盡可能的抓住能得的分.不會做的題可先通過審題列出一個關系式,往往這也能得到一、二分.檢查時,不必所有題都重新做一遍,有些結果往往畫一張草圖即可檢查正確與否. 考試結束後,無論好壞,要放開,不要再去想.最好不要對答案,否則無論結果優劣都會影響到下一場的考試.
⑦ 怎樣學習好數學,有什麼好方法(請有經驗的人告訴我)
指導中學生如何學習數學，是數學教師必須完成的重要任務。作為一個數學教師，必須精通7個方面的學習方法，廣覽各種學習方法的精要所在，然後有計劃、有步驟、分階段、分層次、有針對性地指導學生掌握各種學習方法。使我們的學生能夠主動地、獨立地學習，達到新課程要求標准。
還有其它的學習方法，根據不同的學習情境，將學習過程分為四步、五步等，學生可以據自己所學內容的特點進行選擇，甚至還可以自己進行創造，提出適合自己的學習步驟：如讀、聽、寫、練四字學習法，再如瀏覽、發問、閱讀、復述、復習五步學習法等。三讓學生明確怎樣學習才算真正地掌握了知識。把數學知識看成是一個系統，那麼數學知識結構具有四大要素，即事實、事理、事用、事體。具體來講這四大要素據不同層次的知識結構，可對應地羅列如下：
四事、事實、事理、事用、事體、問題、題目、題理、題法、題路、提問、是什麼、為什麼、怎麼用、有何啟發、概念、名稱、定義、判斷、關系、定理、條件結論證明、應用、方法、公式、行巧表達式、推、計算、聯系、法則、法則、內容、具體化、思維方法。
我們認為，不論學習任何層次的知識都應掌握相應的四大要素，只知「是什麼」，不知「為什麼」，是無法理解結論的原理的，只懂得理論知識，不知「怎樣用」，便成為無用的知識，各種知識點如果沒有清晰的思路，聯系不緊密而零零散散，這樣的知識不牢固，基礎也不扎實，再學習新的知識時很難有創新，並表現出較弱的學習能力。因而四大要素缺一不可，學習者一方面務必要分成四個步驟，有意識地全面掌握每一節知識的四個要素，這四個步驟就是：感知、理解、應用、系統化。具體來講即就是：
⑴感知（事實）：對一般結論有一個初步的了解，對概念、定理、公式等所反映的各種屬性有一個整體的反應。感知是數學學習的開始、是基礎，一切數學學習活動只有知道了「是什麼」，才能進一步地探索「為什麼？」從而才能理解和應用知識。
⑵理解（事理）：為了對一個數學結論能夠理解，必須明確它的原理，它的來龍去脈。理解是人們逐步認識事物的各種聯系，弄清其本質規律的一種思維過程。可見，只有通過理解，才會使對事物的感性認識上升到理性認識。數學概念的內涵和外延，定理的證明，公式的推導，結論的解釋等，都要弄懂搞明白，才算真正掌握了數學事實的原理。
⑶應用（事用）：應用是學習的繼續和深入，在感知、理解的基礎上，學生已掌握了數學知識，但還應將知識應用在問題的解決和分析當中，才能加深所學知識的理解，使學習更有實效，並且通過實踐訓練掌握技能技巧，提高思維能力。數學教材當中，對例題的總結，練習題的解答，及課外作業的完成過程，都是「事用」掌握的過程。
⑷系統化（事體）：「渣戚事體」指的就是「知識體系」。數學學習材料之間具有種種聯系，如果學生了解新舊知識間的聯系，就能達到由此及彼的作用。掌握「事體」有以下幾個作用：知識結構嚴密化，記憶牢固，思維靈活多樣，為學習新知識奠定基礎，容易產生新的聯想。因此通過總結，使知識系統化是十分重要的。
四讓學生明確學習一個數學概念、定理、公式應從哪幾個方面入手。學習數學過程中，總是遇到大量的概念、定理和公式，怎樣才算真正地掌握了它們，老師應該明確指出需要怎樣的一個過程，應達到什麼要求，一般應從哪些方面去理解掌握。
代數學習法。
⑴抄標題，瀏覽定目標。
⑵閱讀並記錄重點內容。
⑶試作例題。快做練習，歸納題型。
⑸回憶小結。
幾何學習四大步。
⑴．①書寫標題，瀏覽教材，②自我講授，寫出目錄；
⑵．①按目錄，讀教材，②自我講授幾何概念及定理；
⑶．①閱讀例題，形成思路，②寫出解答例題過程；
⑷．①快做練習，②小結解題方法。
六讓學生明白怎樣才能取得高效的學習效果。超級學習法，快速記憶法，快速閱讀法，快速學習法都以「快速」為目標的學習方法，故可稱為高效的學習方法。學習數學知識的核心是記憶，能將所學知識記得快、記得牢是會學習、效果好的主要標志。因此探索掌握各種快速記憶方法，檔梁鍵應是每個學生必須注意總結和追求的目標，許多書中都在介紹快速記憶的方法，其中心思想是新奇刺激、變文字為形象（因為形象記憶是文字記憶的一千倍）、放鬆大腦、豐富聯想等。記憶又同注意、觀察、想像、理解等密切相關，記憶的培養必須同其它智力因素協同發展。心理學家將記憶分為四步：識憶、保持、再認、再現，我們記憶數學知識也應按這四步進行。
超級學習法是由保加利亞的羅扎諾夫博士創造的，它以其高效率和多方面的功用，成為世界十分優秀的學習方法，世界各地都在推行這種學習方法，並將它稱為學習的革命。超級學習法可以用來學習任何科目的知識，尤其對於學習基礎課特別有用，可以幫助學生輕松地記住所要記的一切。超級學習法大體分為兩個部分：一是把精神引導到松馳狀態，使學習者在呈α波狀態最大限度地提高學習效率的方法；二是為了在這種狀態下按著一定的節奏進行學習，想法設法將教材編寫成可操作的模式。超級學習法要求學生首先有一個學習前的准備工作：⑴消除身心緊張（其方法有呼吸法、身體松馳法、心理松馳法三種）；⑵從松馳狀態進入α波狀態（其方法有感受平靜反應，視覺映象α波強化法，靠意念進入α波狀態，追憶往日的成功四種）。以上准備工作完成後，則進入學習過程，如記憶定理和公式，可通過朗讀與深呼吸交替進行，甚至播放一種特別的音樂節奏，在愉快的氣氛中學習。
快速閱讀法是蘇聯兩位專家用了幾年時間研究出的一種高效率的思維、記憶的閱讀方法。快速閱讀法不僅用語文閱讀中，而且在數學學習的
瀏覽教材中也有重要的應用價值，快速閱讀的要點是：⑴去掉「潛語」，用眼光瀏覽快速獲取信息；⑵擴大視野，讓目光獲取更多的信息；⑶整體把握教材，獲取重要的信息。⑷快速閱讀訓練中，可提高注意力，觀察力，記憶力，使思維敏捷，大腦靈活，使學習者變得越來越聰明。
快速學習法是日本出現的一種新的學習方法，它能使人們以高於常法五倍的速度靈活、迅速地掌握知識。人們都有這樣的經驗，一件難記的事情或一道難解的數學題，若是你有意識地向別人講述幾遍，就能大大地加深印象，易於記住或理出頭緒。恐怕這個經驗教師最有體會，教師講課時，為了向學生說明白，腦筋在緊張地活動，所講的知識在這個過程中得以強化，並得到了整理，使其條理化、清晰化了。快速學習法正是根據這個原理展開學習的。在用這種方法學習時，先不要求完全理解，而是拿到教材後，直接根據目錄和提示，調動自己已有的知識，猜測性地作「自我講授」，講完後才打開書本，進行第一次通讀。第一次通讀可以檢驗第一次「自我講授」的不足之處，謬誤所在都會「躍然紙上」，使你體會頗深。然後你就可以用自己的語言編制出一張精煉適用的「目錄一覽表」，對照它進行第二次「自我講授」，這次講授會明顯地感到自己比第一次比較准確有條理。接著再通讀第二次，這次通讀會獲得更深的感受。當你進行第三次自我講授時，你會講得更完善、更豐富，許多模糊的地方變得清晰起來，最後再來一次通讀，可快速瀏覽，作一系統總結，感到知識都已清楚地反映在大腦之中。經過三到四個回合的 「自我講授—通讀、精讀、粗讀」後，你就能得心應手地掌握所要學習的數學知識。
以上四種高效學習方法，可以翻閱其它參考書籍，詳細了解具體內容，但學習者也可通過以上介紹進行探索總結，讓自己的學習效果越來越好。
⑧ 據傳82歲北京大學數學教授李忠宣布證明黎曼猜想，真相到底是什麼
我估計，每年全世界都有很多人說他證明了黎曼猜想，但是幾乎沒有證明經得住驗證。所以我不敢枉然的說李教授的證明是錯的。但是按照過去的經驗來說，基本錯誤的可能性很大。