復旦大學譚永基教授

A. 數學建模的建模資料

1. 數學建模演算法與應用，司守奎、孫璽菁編著，國防工業出版社(2012).
2.數學模型，姜啟源編，高等教育出版社(1987年第一版，1993年第二版，2003年第三版，2011年第四版；第一版在 1992年國家教委舉辦的第二屆全國優秀教材評選中獲全國優秀教材獎)．
3．數學建模方法與案例，張萬龍，等編著，國防工業出版社（2014）.
4. 數學建模入門與提高，李漢龍，等編著，國防工業出版社（2013）.
5數學模型與計算機模擬，江裕釗、辛培情編，電子科技大學出版社，(1989)．
6．數學模型選談(走向數學從書)，華羅庚，王元著，王克譯，湖南教育出版社；(1991)．
7．數學模型，單峰，朱麗梅，國防工業出版社(2011)．
8．數學模型，陳義華編著，重慶大學出版社，(1995)
9．數學模型建模分析，蔡常豐編著，科學出版社，(1995)．
10．數學建模競賽教程，李尚志主編，江蘇教育出版社，(1996)．
11．數學建模入門，徐全智、楊晉浩編，成都電子科大出版社，(1996).
12．數學建模，沈繼紅、施久玉、高振濱、張曉威編，哈爾濱工程大學出版社，(1996).
13．數學模型基礎，王樹禾編著，中國科學技術大學出版社，(1996).
14．數學模型方法，齊歡編著，華中理工大學出版社，(1996)．
15．數學建模與實驗，南京地區工科院校數學建模與工業數學討論班編，河海大學 出版社，(1996)．
16．數學模型與數學建模，劉來福、曾文藝編，北京師范大學出版杜(1997)．
17. 數學建模，袁震東、洪淵、林武忠、蔣魯敏編，華東師范大學出版社。
18．數學模型，譚永基，俞文吡編，復旦大學出版社，(1997)．
19．數學模型實用教程，費培之、程中瑗層主編，四川大學出版社，(1998)．
20．數學建模優秀案例選編(工科數學基地建設叢書)，汪國強主編，華南理工大學出版社，(1998)．
21．經濟數學模型(第二版)(工科數學基地建設叢書)，洪毅、賀德化、昌志華 編著，華南理工大學出版社，(1999)．
22．數學模型講義，雷功炎編，北京大學出版社(1999)．
23．數學建模精品案例，朱道元編著，東南大學出版社，(1999)，
24．問題解決的數學模型方法，劉來福，曾文藝編著、北京師范大學出版社，(1999)．
25．數學建模的理論與實踐，吳翔，吳孟達，成禮智編著，國防科技大學出版社， (1999)．
26、數學建模案例分析，白其嶺主編，海洋出版社，(2000年，北京)．
27．數學實驗(高等院校選用教材系列)，謝雲蓀、張志讓主編，科學出版社，(2000)．
28．數學實驗，傅鵬、龔肋、劉瓊蓀，何中市編，科學出版社，(2000)．
29．數學建模與數學實驗，趙靜、但琦編，高等教育出版社，(2000). l、中國大學生數學建模競賽，李大潛主編，高等教育出版社(1998)．
2．大學生數學建模競賽輔導教材，(一)(二)(三)，葉其孝主編，湖南教育 出版社(1993，1997，1998)．
3．數學建模教育與國際數學建模競賽 《工科數學》專輯，葉其孝主編， 《工科數學》雜志社，1994)．
4. 大學生數學建模競賽指南，肖華勇主編，電子工業出版社（2015）. (中譯本)
1、數學模型引論， E．A。Bender著，朱堯辰、徐偉宣譯，科學普及出版社(1982).
2．數學模型，[門]近藤次郎著，官榮章等譯，機械工業出版社，(1985)．
3．微分方程模型，(應用數學模型叢書第1卷)，[美]W．F．Lucas主編，朱煜民等 譯，國防科技大學出版社，(1988)．
4．政治及有關模型，(應用數學模型叢書第2卷)，[美W．F．Lucas主編，王國秋 等譯，國防科技大學出版社，(1996)．
5．離散與系統模型，(應用數學模型叢書第3卷)，[美w．F．Lucas主編，成禮智 等譯，國防科技大學出版社，(1996)．
6．生命科學模型，(應用數學模型叢書第4卷)，[美1W．F．Lucas主編，翟曉燕等 譯，國防科技大學出版社，(1996)．
7．模型數學--連續動力系統和離散動力系統，[英1H．B．Grif6ths和A．01dknow 著，蕭禮、張志軍編譯，科學出版社，(1996)．
8．數學建模--來自英國四個行業中的案例研究，(應用數學譯叢第4號)， 英]D．Burglles等著，葉其孝、吳慶寶譯，世界圖書出版公司，(1997) (這方面書籍很多，僅列幾本供參考) ：
1．水環境數學模型，[德]W．KinZE1bach著，楊汝均、劉兆昌等編纂，中國建築工 業出版社，(1987)．
2．科技工程中的數學模型，堪安琦編著，鐵道出版社(1988)
3．生物醫學數學模型，青義學編著，湖南科學技術出版杜(1990)．
4．農作物害蟲管理數學模型與應用，蒲蟄龍主編，廣東科技出版社(1990)．
5．系統科學中數學模型，歐陽亮編著， 山東大學出版社，(1995)．
6．種群生態學的數學建模與研究，馬知恩著，安徽教育出版社，(1996)
7．建模、變換、優化--結構綜合方法新進展，隋允康著，大連理工大學出版社， (1986)
8．遺傳模型分析方法，朱軍著，中國農業出版社(1997)． (中山大學數學系王壽松編輯，2001年4月)

B. 數學建模做題技巧

a. 模型的抄數學歸類(在數學上屬於什麼類型)
b. 建模的思想(思路)
c . 演算法思想(求解思路)
d. 建模特點(模型優點，建模思想或方法，演算法特點，結果檢驗，靈敏度分析，模型 檢驗…….)
e. 主要結果(數值結果，結論)(回答題目所問的全部「問題」)

C. 2010數學建模問題

已發，請查收。

D. 飛行計劃的數模論文能否也發我一份

飛行經費問題 摘要: 本文針對飛行經費問題，通過對被困甲方飛機及飛行員優化配置的分析，給出了關於飛行計劃問題及資源優化配置等問題的一個數學模型。本文採用線性規劃方法建立數學模型，通過數學分析及有關資料的參考，最後使用LINDO工具求解得到了在經費最少條件下飛機和飛行員的合理配置。此數學模型不僅為飛行計劃問題及資源優化配置等問題給出了一個合理的解決方案，還為解決此類問題提供了一個好的思想依據，具有重要的實用意義。 關鍵字: 飛行經費問題、資源優化配置、線性規劃方法、LINDO工具 飛行經費問題 一、問題的重述:在甲乙雙方的一場戰爭中，一部分甲方部隊被乙方部隊包圍長達4個月。由於乙方封鎖了所有水陸交通通道，被包圍的甲方部隊只能依靠空中交通維持供給。運送4個月的供給分別需要2次，3次，3次，4次飛行，每次飛行編隊由50架飛機組成（每架飛機需要3名飛行員），可以運送10萬噸物資。每架飛機每個月只能飛行一次，每名飛行員每個月也只能飛行一次。在執行完運輸任務後的返回途中又20%的飛機會被乙方部隊擊落，相應的飛行員也因此犧牲或失蹤。在第1個月開始時，甲方擁有110架飛機和330名熟練的飛行員。在每個月開始時，甲方可以招聘新飛行員和購買新飛機，新飛機必須經過一個月的檢查後才可以投入使用，新飛行員必須在熟練飛行員的指導下經過一個月的訓練才能投入飛行。每名熟練飛行員可以作為教練每個月指導20名飛行員（包括他自己在內）進行了訓練。每名飛行員在完成一個月的飛行任務後，必須有一個月的帶薪假期，假期結束後才能再投入飛行。已知各項費用（單位略去）如下表所示，請你為甲方安排一個飛行計劃。 第一個月第二個月第三個月第四個月新飛機價格200.0195.0190.0185.0閑置的熟練飛行員報酬7.06.96.86.7教練和新飛行員報酬（包括培訓費用）10.09.99.89.7執行飛行任務的熟練飛行員報酬9.08.99.89.7休假期間的熟練飛行員報酬5.04.94.84.7如果每名熟練飛行員可以作為教練每個月指導不超過20名飛行員（包括他自己在內）進行訓練，模型和結果有哪些改變？ 二、問題的分析:這個問題是以第二次世界大戰中的一個實際問題為背景，經過簡化而提出來的。優化建模問題分析這個問題看起來很復雜，但只要理解了這個例子中所描述的事實，其實建立優化模型並不困難。首先可以看出，執行飛行任務以及執行飛行任務後休假的熟練飛行員數量是常數，所以這部分費用 (報酬 )是固定的，在優化目標中可以不考慮。 三、基本假設:1、飛機數量限制,4個月中執行飛行任務的飛機分別為 100,150,150,200架，但只有 80,120,120,160架能夠返回供下個月使用。2、飛行員數量限制,4個月中執行飛行任務的熟練飛行員分別為 300,450,450,600人，但只有 240,360，360,480人能夠返回 (下個月一定休假 )。3、如果每名熟練飛行員可以作為教練每個月指導不超過 20名飛行員 (包括他自己在內 )進行訓練，則應將教練與新飛行員分開。 四、符號說明:x1,x2,x3,x4分別為4個月開始時甲方新購買的飛機數量；y1,y2,y3,y4分別為閑置的飛機數量；u1,u2,u3,u4分別為4個月中飛行員中教練和新飛行員數量；v1,v2,v3,v4分別為閑置的的熟練飛行員數量；w1,w2,w3,w4分別為新飛行員數量。 五、模型的建立及求解決策變數設 4個月開始時甲方新購買的飛機數量分別為 x1,x2,x3,x4架,閑置的飛機數量分別為 y1,y2,y3,y4架。 4個月中,飛行員中教練和新飛行員數量分別為 u1,u2,u3,u4人,閑置的的熟練飛行員數量分別為 v1,v2,v3,v4人。優化建模目標函數優化目標是,Min 200x1+195x2 +190x3+185x4+10u1+9.9u2+9.8u3+9.7u4+7v1+6.9v2+6.8v3+6.7v4約束條件需要考慮的約束包括：1） 飛機數量限制,4個月中執行飛行任務的飛機分別為 100,150,150,200架，但只有 80,120,120,160架能夠返回供下個月使用。第 1個月,100+y1=110第 2個月,150+y2=80+ y1+ x1第 3個月,150+y3=120+ y2+ x2第 4個月,200+y4=120+ y3+ x3優化建模2） 飛行員數量限制,4個月中執行飛行任務的熟練飛行員分別為 300,450,450,600人，但只有 240,360，360,480人能夠返回 (下個月一定休假 )。第 1個月,300 +0.05 u1+ v1=330第 2個月,450 +0.05 u2+ v2= u1+ v1第 3個月,450 +0.05 u3+ v3= u2+ v2+240第 4個月,600 +0.05 u4+ v4= u3+ v3+360最後，自然要求 x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4,u1,u2,u3,u4,v1,v2,v3,v4?0 且為整數。優化建模於是，這個優化模型很容易輸入 LINDO：MIN 200x1+195x2 +190x3+185x4+10u1+9.9u2+9.8u3+9.7u4+7v1+6.9v2+6.8v3+6.7v4s.t,y1=10y1+ x1 - y2 =70y2+ x2 - y3 =30y3+ x3 - y4=800.05 u1+ v1=30u1 + v1 - 0.05 u2 - v2 = 450u2 + v2 - 0.05 u3 - v3 = 210u3 + v3 - 0.05 u4 - v4 = 240endGIN 16優化建模用 LINDO求解得到：OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 42324.40VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 60.000000 200.000000X2 30.000000 195.000000X3 80.000000 190.000000X4 0.0000000 185.000000U1 460.00000 10.000000U2 220.00000 9.900000U3 240.00000 9.800000U4 0.0000000 9.700000V1 7.0000000 7.000000V2 6.0000000 6.900000V3 4.0000000 6.800000V4 4.0000000 6.700000優化建模VARIABLE VALUE REDUCED COSTY1 10.000000 0.000000Y2 0.000000 0.000000Y3 0.000000 0.000000Y4 0.000000 0.000000即最優解為 x1=60,x2=30,x3=80,x4=0,y1=10,y2= y3= y4=0,u1=460,u2=220,u3=240,u4=0,v1=7,v2=6,v3=4,v4=4; 目標函數值為 42324.40。優化建模問題討論如果每名熟練飛行員可以作為教練每個月指導不超過 20名飛行員 (包括他自己在內 )進行訓練，則應將教練與新飛行員分開：設 4個月飛行員中教練為 u1,u2,u3,u4人，新飛行員數量分別為 w1,w2,w3,w4人。其它符號不變。飛行員的數量限制約束為第 1個月,300+u1+v1=330第 2個月,450+u2+v2= u1+v1+w1,w1?20u1第 3個月,450+u3+v3= u2+v2+240+w2,w2?20u2第 4個月,600+u4+v4= u3+v3+360+w3,w3?20u3優化建模優化模型作相應修改，輸入 LINDO如下：MIN 200x1+195x2 +190x3+185x4+10u1+9.9u2+9.8u3+9.7u4+7v1+6.9v2+6.8v3+6.7v4+10w1+9.9w2+9.8w3+9.7w4s.t,y1=10y1+ x1 - y2 =70y2+ x2 - y3 =30y3+ x3 - y4=80u1+ v1=30u1 + v1 + w1 - u2 - v2 = 450u2 + v2 + w2 - u3 - v3 = 210u3 + v3 + w3 - u4 - v4 = 240w1 - 20u1 <=0w2 - 20u2 <=0w3 - 20u3 <=0endgin 20 (Ⅰ)優化建模用 LINDO求解得到：OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 42185.80VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 60.000000 200.000000X2 30.000000 195.000000X3 80.000000 190.000000X4 0.000000 185.000000U1 22.000000 10.000000U2 11.000000 9.900000U3 12.000000 9.800000U4 0.000000 9.700000V1 8.000000 7.000000V2 0.000000 6.900000V3 0.000000 6.800000V4 0.000000 6.700000優化建模VARIABLE VALUE REDUCED COSTW1 431.000000 10.000000W2 211.000000 9.900000W3 228.000000 9.800000W4 0.000000 9.700000Y1 10.000000 0.000000Y2 0.000000 0.000000Y3 0.000000 0.000000Y4 0.000000 0.000000即最優解為 u1=22,u2=11,u3=12,u4=0,v1=8,v2=v3=v4=0,w1=431,w2=211,w3=228,w4=0 (x1~x4,y1~y4不變 )；目標函數值為 42185.80 六、模型結果的解釋模型的結果表達的意義就是在用優化建模輸入 LINDO，得出甲方的飛行計劃，並且討論如果每名熟練飛行員可以作為教練每個月指導不超過 20名飛行員 (包括他自己在內 )進行訓練，則應將教練與新飛行員分開，模型和結果發生改變。 七、模型的檢驗及推廣（一）、1） 飛機數量受限制,我們知道4個月中執行飛行任務的飛機分別為 100,150,150,200架，每次執行時都有一部分飛機被打落，所以只有 80,120,120,160架能夠返回供下個月使用。2） 飛行員數量也受限制, 我們也知道4個月中執行飛行任務的熟練飛行員分別為 300,450,450,600人，因為每次執行任務時都有一部分飛機被打落所以飛行員也因此犧牲或失蹤，所以有 240,360，360,480人能夠返回 (下個月一定休假 )。（二）、題目中要求的是每名熟練飛行員可以作為教練每個月指導不超過 20名飛行員 (包括他自己在內 )進行訓練,若數據有所變動,例如不超過10名或15名，則只需將(Ⅰ)式的數改為10或15，,然後再運用LINDO求解就可以解出結果. 參考文獻:1、 數學模型，姜啟源編，高等教育出版社(1987年第一版，1993年第二版；第一版在 1992年國家教委舉辦的第二屆全國優秀教材評選中獲"全國優秀教材獎")．2、數學模型，譚永基，俞文吡編，復旦大學出版社，(1997)．3、數學模型建模分析，蔡常豐編著，科學出版社，(1995)．4、數學建模簡明教程，戴朝壽，孫世良，高等教育出版社，（2007）.5、數學模型與數學建模，劉來福、曾文藝編，北京師范大學出版杜(1997)．6、數學建模與數學實驗，趙靜、但琦編，高等教育出版社，(2000).7、問題解決的數學模型方法，劉來福，曾文藝編著、北京師范大學出版社，(1999)．

E. 數學建模-艾滋病傳播問題

艾滋病傳播模型的研究

摘 要：艾滋病是人體的免疫系統被艾滋病病毒破壞，使人體對威脅生命的各種病原體喪失
了抵抗能力，從而發生多種感染或腫瘤，最後導致死亡的一種嚴重傳染病。國際醫學界至今
尚無防治艾滋病的有效葯物和療法。因此，做好艾滋病的有效預防和控制應是我們抗擊艾滋
病最有效的手段。本文通過建立參數規劃數學模型以Matlab 軟體包為工具平台研究艾滋病
的傳播過程及流行趁向，期望能為政府做好新時期艾滋病預防控制工作提供理論參考。
關鍵詞：艾滋病；傳播模型；參數規劃；MATLAB
中圖分類號： O221.8 文獻標識碼： A
0. 引言
艾滋病在世界范圍內的傳播越來越迅猛，嚴重威脅著人類的健康和社會的發展，已成
為威脅人們健康的第四大殺手。聯合國艾滋病規劃署2006 年5 月30 日宣布自1981 年6 月
首次確認艾滋病以來，25 年間全球累計有6500 萬人感染艾滋病毒，其中250 萬人死亡。尤
其憂慮的是，全世界約95%的艾滋病患者來自防治能力薄弱的發展中國家，如非洲、南亞、
東南亞、中美洲等地。在我國，《中國艾滋病防治聯合評估報告（2007）》顯示，截至2007
年底，現存艾滋病毒感染者和病人約70 萬。疫情處於總體低流行、特定人群和局部地區高
流行態勢，性傳播逐漸成為HIV 主要傳播途徑，意味著艾滋病防控形勢更加嚴峻。未來我
國艾滋病的流行是趁向平穩還是快速增長，取決於能否大面積地積極開展艾滋病預防活動以
及提供有效的治療。
建立數學模型研究流行病的發展機理和傳播過程，已有一個多世紀的歷史，艾滋病出現
以後，更引起了生物數學家們的注意，且在這方面做了較多的研究。本文就是在前人的研究
基礎上，通過建立參數規劃數學模型藉助Matlab 軟體包為工具對一個艾滋病傳播模型的探
討，期望能為政府做好我國新時期艾滋病預防和控制工作提供理論參考。
1. 艾滋病簡介
艾滋病的醫學中文全名為「獲得性免疫缺損綜合症」，英文全名為「Acquired Immuno
Deficieney Syndrome」，簡稱AIDS，它是由艾滋病（中英文全名為「人體免疫缺損病毒」、
「Human Immunodeficiency Virus」，簡稱HIV）引起的。這種病毒終身傳染，破壞人的免疫系
統，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴重危害人的生命[1]。
HIV 進入人體後，它就把人體免疫系統中最重要的CD4+T 淋巴細胞作為攻擊目標，大
量吞噬、破壞CD4+T 淋巴細胞，從而破壞人的免疫系統，最終使人體免疫系統崩潰，使人
體因喪失對各種疾病的抵抗能力而發病並死亡。AIDS 從感染到發作的進程大致可分3 個階
段：感染初期、潛伏期、發作期。在感染初期，HIV 進入人體的感染巨噬細胞，將病毒帶到
局部淋巴結，引起各種急性症狀，接著，CD8+T 淋巴細胞、抗體做出反應，從而控制疾病
的發展，血液中的HIV 持續在一個較穩定的水平，疾病進入潛伏期。隨著HIV 對巨噬細胞、
CD4+T 細胞等的感染，免疫系統逐步被破壞，被感染的CD4+T 細胞由裂解而大量產生HIV。
1本課題獲廣西教育科研立項項目「離散空間的模糊多屬性決策理論與方法研究」（No.200707LX037）的資助。

- 2 -
當正常的CD4+T 細胞急劇減少、HIV 迅速增加時，病情發作，隨時出現的各種病原體都可
能引起感染，病人最後因各種機能衰竭而死亡。
一般在未治療情況下，AIDS 從感染到發作的平均時間約為10 年，但是不同的病人的
差異較大，臨床上可觀察到2 到18 年的潛伏期，這主要取決於CD4+T 細胞濃度下降和HIV
濃度上升的速度。通常健康人每1mm3 血液中平均有1000 個CD4+T 細胞，當HIV 的攜帶者
的CD4+T 細胞降至200 個/mm3 時，疾病發作。
2. 艾滋病傳播模型
艾滋病傳播途徑主要有性傳播、血液傳播、共用針具的傳播和母嬰傳播等四種，其中性
傳播已成為當今艾滋病傳播的主要途徑。故下面的模型主要研究通過性活動引起AISD 的傳
播 ，通過其他因素引起的傳播可以建立類似的模型。
2.1 模型建立
將目標人群（具有性活動者）分為3 類，x(t)為t 年易感染的人數，y(t)為被HIV 感染
的人數，z(t)為已患AIDS 的人數，在沒有特定目標的情況下，假定x,y,z 的初始值分別為
15×106,3×106,0.05×106。參照其它傳染病的傳播模型及參數規劃模型案例得到模型為[2]，[3]
( ) , 1 s c x
dt
dx = − λ + μ (1)
( ) , 2 c x y
dt
dy = λ − γ + μ (2)
( ) , 3 y z
dt
dz = γ − μ +δ (3)
其中各個參數的定義及其定值如下：s ～易感染者加入目標人群的速率（106/年）；c ～
獲得新的性伴侶的平均速率（2/年）；λ ～性伴侶被HIV 感染者的概率（0.2）； 1
μ ～易感染
者退出目標人群的比例（0.025/年）；γ ～HIV 感染者進入AIDS 的比例（0.1/年）； 2 μ ～HIV
感染者退出目標人群的比例（0.025/年）； 3 μ ～AIDS 退出目標人群的比例（0.025/年）；δ ～
AIDS 死亡的比例（0.95/年）。
雖然線性常系數微分方程（1）～（3）有解析解，可是我們只想了解數值結果和觀察直
觀的變化趁勢，於是在上面的參數和初值下運用Matlab7.5 軟體包[4]求數值解便得到了圖1。

- 3 -
可以看出，人們最關心的被HIV 感染的人數y 在約5 年時達到最大值約1200 萬，20
年後趁向穩定值約750 萬。
2.2 模型分析
由勞斯-霍爾維茨（Routh-Hurwitz）判據，容易得到方程（1）～（3）的唯一平衡點是
,
1
*
λ + μ
=
c
x s * ,
2
y* c x
γ μ
λ
+
= *
3
z* y
μ δ
γ
+
= 。 （4）
因為方程（1）～（3）的3 個特徵根均為負值，所以平衡點是全局穩定的，與初始值無關。
穩態下HIV 感染者在目標人群中的比例為
λ
γ μ
μ δ
γ
β
c
x y z
y
2
3
* * *
*
1
1
+
+
+
+
=
+ +
= (5)
當一個參數值增加時引起平衡點3 個坐標及β 值的變化見下表1（如γ 增加時，x* 不變，y*
減少， z* 增加，β 減少）。
表1 一個參數值增加時引起3 個坐標及β 值的變化情況
參數 x* y* z* β
s ↑ ↑ ↑ ￣
λ ↓ ↑ ↑ ↑
c ↓ ↑ ↑ ↑
γ ￣ ↓ ↑ ↓
圖1 方程（1）～（3）的數值解

- 4 -
1 μ
↓ ↓ ↓ ￣
2 μ ￣ ↓ ↓ ↓
3 μ ￣ ￣ ↓ ↑
δ ￣ ￣ ↓ ↑
由於平衡點的全局穩定性，所以只要採取適當措施使各個參數向正確的方向（增加或減
少）改變，長期說來就可以使HIV 感染者和AISD 的人數減少，而不管目前情況如何。
2.3 接種疫苗模型
用弱化的HIV 作疫苗幫助人體建立對病毒的免疫性，是一種人為的干預措施，為了建
立這種情況
模型，需要增加兩個函數：目標人群中接種疫苗的人數( ) 1 y t ，接種疫苗後又被病毒感染的
人數( ) 2 y t ，假定1 y ， 2 y 的初始值分別為1000 和0。模型為
(1 ) ( ) , 1 1 p s c c x
dt
dx = − − λ + λ + μ （6）
( ) , 2 c x y
dt
dy = λ − γ + μ （7）
(1 ) ( ) , 1 1 1 4 1
1 ps c x c y y
dt
dy = + λ − −ϕ λ − γ + μ （8）
(1 ) ( ) , 1 2 5 2
2 c y y
dt
dy = −ϕ λ − γ + μ （9）
( ) , 1 1 2 2 3 y y y z
dt
dz = γ +γ +γ − μ +δ （10）
其中新增加的參數及其設定值如下： p ～目標人群接種疫苗的比例（0.4）； 1
λ ～性伴
侶接種疫苗的概率（0.5）；ϕ ～接種疫苗後起到預防作用的概率（0.93）； 1 γ ～接種疫苗者
進入AIDS 的比例（0.005/年）； 4 μ ～接種疫苗人群退出目標人群的比例（0.025/年）； 2 γ ～
接種疫苗者被病毒感染進入AIDS 的比例（0.95/年）； 5 μ ～接種者被病毒感染退出目標人群
的比例（0.025/年）。
雖然接種疫苗還不能預防HIV 的初期感染，但是我們可以作簡單的計算來預測如果疫
苗取得進展後的效果[4]。 比如在p =0.4，ϕ =0.93 的情況下利用Matlab7.5 軟體包求（6）～
（10）的數值解即得到圖2，從圖2 可以看出，被HIV 感染的人數y 在約3 年時達到最大值
約600 萬，比模型（1）～（3）的結果
減少了一半，20 年後趁向穩定值約200 萬，比模型（1）～（3）的結果減少得更多。

- 5 -
2.4 結論分析
上面這個艾滋病傳播模型概念上雖然較簡單，但涉及到的參數很多，對於這些模型來說，
關鍵在於如何確定其中的參數。應用它的主要困難是確定用於特定國家或地區的一組參數，
雖然烏干達等非洲國家已經在這方面做了大量的統計研究，但是目前還不能得到確定這些參
數的較有效方法，另外，在臨床上較精確地得到被HIV 感染的和已患AIDS 的人數也是困
難的。
3. 結束語
盡管目前我國艾滋病的疫情上升速度有所減緩，還沒有出現艾滋病大規模流行之勢，
但是我們要清醒地看到，疫情存在潛在的流行趁勢，HIV 的傳播途徑已演變成以性傳播途徑
為主，已經與國際上的流行趁勢一樣，艾滋病疫情地區分布差異大，艾滋病流行因素廣泛存
在，局勢越來越嚴峻，一觸即發，並可能出現災難性後果。因此，從現在到本世紀末將是我
國預防控制艾滋病的關鍵時期，如果我們現在不積極採取預防控制措施，將錯失良機。
當務之急是要全面了解我國艾滋病傳播途徑的變化、流行趁勢、受影響人群有關的危險
行為等情況，建立一個有效的監測系統，為決策者提供有關艾滋病傳播的准確數據，預測艾
滋病流行疫情和趁勢，為全國艾滋病規劃策略的制定提供依據。隨著艾滋病在我國不同地區
不斷蔓延擴大，其流行模式將變得越來越復雜。因此，我們的監測系統不僅僅是數據的收集，
而應當注重數據的分析以幫助對策的制定。
圖2 方程（6）～（10）的數值解

- 6 -
參考文獻
[1]曹毅.警惕艾滋病[M] .北京:清華大學出版社,2005.
[2]譚永基,蔡志傑. 數學模型[M].上海:復旦大學出版社,2005. 310～320.
[3] Christelle,Christian Prins, Marc Sevaux.運籌學案例[M] .北京:北京林森科技發展有限公司,2007.
[4]趙東方. 數學模型與計算[M]. 北京:科學出版社,2007.
Model of the spread of AIDS on the basis of estimation
programming
Zhu Jiarong
Nanning Teacher』s College,Department of Mathematics & Computer Science, P. R.China
Guangxi Province, CongZuo（532200）
Abstract
AIDS is a serious infectious disease,it』s caused by HIV infection, which damage the body』s immune
system and make the body losing their resistance to various life-threatening pathogens. International
medical profession has no effective drugs and treatments of preventing or healing AIDS. Therefore, do
a good job in AIDS prevention and control should the most effective means to fight AIDS. Our paper
discussed the process of AIDS』 spreading by establishing math model about estimation programming
based on Matlab, and except the government can take it as a reference for AIDS prevention in the new
era.

F. 學習數學建模有什麼好的書籍嗎，望大家推薦一下，萬分感謝。

如果你想參加全國數學建模比賽的話，推薦你看葉其孝和邊馥萍編寫的書籍，他們都是每年專業出數模試題的，還有姜啟源的教材可以認真學習一下，掌握了數模方法一切就OK了。

G. 數學建模需要哪些基礎知識 有哪些輔導資料

需要數學知識、計算機知識、最好找個字跡漂亮的隊友。
過程
模型准備
了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。用數學語言來描述問題。
模型假設
根據實際對象的特徵和建模的目的，對問題進行必要的簡化，並用精確的語言提出一些恰當的假設。
模型建立
在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變數之間的數學關系，建立相應的數學結構（盡量用簡單的數學工具）。
模型求解
利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（或近似計算）。
模型分析
對所得的結果進行數學上的分析。
模型檢驗
將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的准確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，並進行解釋。如果模型與實際吻合較差,則應該修改假設，再次重復建模過程。
模型應用
應用方式因問題的性質和建模的目的而異。
數學建模應當掌握的十類演算法
‍‍ 1、蒙特卡羅演算法（該演算法又稱隨機性模擬演算法，是通過計算機模擬來解決問題的算 法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法） 2、數據擬合、參數估計、插值等數據處理演算法（比賽中通常會遇到大量的數據需要 處理，而處理數據的關鍵就在於這些演算法，通常使用Matlab作為工具） 3、線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題（建模競賽大多數問題 屬於最優化問題，很多時候這些問題可以用數學規劃演算法來描述，通常使用Lindo、 Lingo軟體實現） 4、圖論演算法（這類演算法可以分為很多種，包括最短路、網路流、二分圖等演算法，涉 及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真准備） 5、動態規劃、回溯搜索、分治演算法、分支定界等計算機演算法（這些演算法是演算法設計 中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中） 6、最優化理論的三大非經典演算法：模擬退火法、神經網路、遺傳演算法（這些問題是 用來解決一些較困難的最優化問題的演算法，對於有些問題非常有幫助，但是演算法的實 現比較困難，需慎重使用） 7、網格演算法和窮舉法（網格演算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的演算法，在很多競賽 題中有應用，當重點討論模型本身而輕視演算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好 使用一些高級語言作為編程工具） 8、一些連續離散化方法（很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只 認的是離散的數據，因此將其離散化後進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非 常重要的） 9、數值分析演算法（如果在比賽中採用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常 用的演算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等演算法就需要額外編寫庫函數進行調 用） 10、圖象處理演算法（賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該 要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab 進行處理）
數學建模資料
競賽參考書
l、中國大學生數學建模競賽，李大潛主編，高等教育出版社(1998)． 2、大學生數學建模競賽輔導教材，(一)(二)(三)，葉其孝主編，湖南教育 出版社(1993，1997，1998)． 3、數學建模教育與國際數學建模競賽 《工科數學》專輯，葉其孝主編， 《工科數學》雜志社，1994)．
國內教材、叢書
1、數學模型，姜啟源編，高等教育出版社(1987年第一版，1993年第二版，2003年第三版；第一版在 1992年國家教委舉辦的第二屆全國優秀教材評選中獲"全國優秀教材獎")． 2、數學模型與計算機模擬，江裕釗、辛培情編，電子科技大學出版社，(1989)． 3、數學模型選談(走向數學從書)，華羅庚，王元著，王克譯，湖南教育出版社；(1991)． 4、數學建模--方法與範例，壽紀麟等編，西安交通大學出版社(1993)． 5、數學模型，濮定國、 田蔚文主編，東南大學出版社(1994)． 6..數學模型，朱思銘、李尚廉編，中山大學出版社，(1995) 7、數學模型，陳義華編著，重慶大學出版社，(1995) 8、數學模型建模分析，蔡常豐編著，科學出版社，(1995)． 9、數學建模競賽教程，李尚志主編，江蘇教育出版社，(1996)． 10、數學建模入門，徐全智、楊晉浩編，成都電子科大出版社，(1996). 11、數學建模，沈繼紅、施久玉、高振濱、張曉威編，哈爾濱工程大學出版社，(1996). 12、數學模型基礎，王樹禾編著，中國科學技術大學出版社，(1996). 13、數學模型方法，齊歡編著，華中理工大學出版社，(1996)． 14、數學建模與實驗，南京地區工科院校數學建模與工業數學討論班編，河海大學 出版社，(1996)． 15、數學模型與數學建模，劉來福、曾文藝編，北京師范大學出版杜(1997)． 16. 數學建模，袁震東、洪淵、林武忠、蔣魯敏編，華東師范大學出版社. 17、數學模型，譚永基，俞文吡編，復旦大學出版社，(1997)． 18、數學模型實用教程，費培之、程中瑗層主編，四川大學出版社，(1998)． 19、數學建模優秀案例選編(工科數學基地建設叢書)，汪國強主編，華南理工大學出版社，(1998)． 20、經濟數學模型(第二版)(工科數學基地建設叢書)，洪毅、賀德化、昌志華 編著，華南理工大學出版社，(1999)． 21、數學模型講義，雷功炎編，北京大學出版社(1999)． 22、數學建模精品案例，朱道元編著，東南大學出版社，(1999)， 23、問題解決的數學模型方法，劉來福，曾文藝編著、北京師范大學出版社，(1999)． 24、數學建模的理論與實踐，吳翔，吳孟達，成禮智編著，國防科技大學出版社， (1999)． 25、數學建模案例分析，白其嶺主編，海洋出版社，(2000年，北京)． 26、數學實驗(高等院校選用教材系列)，謝雲蓀、張志讓主編，科學出版社，(2000)． 27、數學實驗，傅鵬、龔肋、劉瓊蓀，何中市編，科學出版社，(2000)． 28、數學建模與數學實驗，趙靜、但琦編，高等教育出版社，(2000).
國外參考書(中譯本)
1、數學模型引論， E．A。Bender著，朱堯辰、徐偉宣譯，科學普及出版社(1982). 2、數學模型，[門]近藤次郎著，官榮章等譯，機械工業出版社，(1985)． 3、微分方程模型，(應用數學模型叢書第1卷)，[美]W．F．Lucas主編，朱煜民等 譯，國防科技大學出版社，(1988)． 4、政治及有關模型，(應用數學模型叢書第2卷)，[美W．F．Lucas主編，王國秋 等譯，國防科技大學出版社，(1996)． 5、離散與系統模型，(應用數學模型叢書第3卷)，[美w．F．Lucas主編，成禮智 等譯，國防科技大學出版社，(1996)． 6、生命科學模型，(應用數學模型叢書第4卷)，[美1W．F．Lucas主編，翟曉燕等 譯，國防科技大學出版社，(1996)． 7、模型數學--連續動力系統和離散動力系統，[英1H．B．Grif6ths和A．01dknow 著，蕭禮、張志軍編譯，科學出版社，(1996)． 8、數學建模--來自英國四個行業中的案例研究，(應用數學譯叢第4號)， 英]D．Burglles等著，葉其孝、吳慶寶譯，世界圖書出版公司，(1997)
專業性參考書
(這方面書籍很多，僅列幾本供參考) ： 1、水環境數學模型，[德]W．KinZE1bach著，楊汝均、劉兆昌等編纂，中國建築工 業出版社，(1987)． 2、科技工程中的數學模型，堪安琦編著，鐵道出版社(1988) 3、生物醫學數學模型，青義學編著，湖南科學技術出版杜(1990)． 4、農作物害蟲管理數學模型與應用，蒲蟄龍主編，廣東科技出版社(1990)． 5、系統科學中數學模型，歐陽亮編著， E山東大學出版社，(1995)． 6、種群生態學的數學建模與研究，馬知恩著，安徽教育出版社，(1996) 7、建模、變換、優化--結構綜合方法新進展，隋允康著，大連理工大學出版社， (1986) 8、遺傳模型分析方法，朱軍著，中國農業出版社(1997)． (中山大學數學系王壽松編輯，2001年4月)

H. 數學建模問題

都市城鄉居民消費行為的數學模型。
2、建立數學模型尋找影響成都市城鄉居民消費差異的主要因素或指標。
3、利用數學模型分析在近幾年的時間內成都市城鄉居民消費差異是擴大、縮小還是維持不變？
4、消費結構是在一定的社會經濟條件下，人們在消費過程中所消費的各種不同類型的消費資料(包括勞務)的比例關系。請從消費結構的角度出發，建立有關成都市城鄉居民消費結構變動的數學模型，並根據此模型預測模擬未來三年時間內成都市城鄉居民消費結構的變動情況。
5、根據所建立的數學模型和結果，對縮小成都市城鄉居民消費差距提出你們的合

I. 數學建模使用前景預測可以根據調查使用意願嗎

數學建模應當掌握的十類演算法‍‍1、蒙特卡羅演算法（該演算法又稱隨機性模擬演算法，是通過計算機模擬來解決問題的演算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法）2、數據擬合、參數估計、插值等數據處理演算法（比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，而處理數據的關鍵就在於這些演算法，通常使用Matlab作為工具）3、線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題（建模競賽大多數問題屬於最優化問題，很多時候這些問題可以用數學規劃演算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟體實現）4、圖論演算法（這類演算法可以分為很多種，包括最短路、網路流、二分圖等演算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真准備）5、動態規劃、回溯搜索、分治演算法、分支定界等計算機演算法（這些演算法是演算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中）6、最優化理論的三大非經典演算法：模擬退火法、神經網路、遺傳演算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的演算法，對於有些問題非常有幫助，但是演算法的實現比較困難，需慎重使用）7、網格演算法和窮舉法（網格演算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的演算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視演算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具）8、一些連續離散化方法（很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化後進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的）9、數值分析演算法（如果在比賽中採用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的演算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等演算法就需要額外編寫庫函數進行調用）10、圖象處理演算法（賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理）數學建模資料競賽參考書l、中國大學生數學建模競賽，李大潛主編，高等教育出版社(1998)．2、大學生數學建模競賽輔導教材，(一)(二)(三)，葉其孝主編，湖南教育出版社(1993，1997，1998)．3、數學建模教育與國際數學建模競賽《工科數學》專輯，葉其孝主編，《工科數學》雜志社，1994)．國內教材、叢書1、數學模型，姜啟源編，高等教育出版社(1987年第一版，1993年第二版，2003年第三版；第一版在1992年國家教委舉的第二屆全國優秀教材評選中獲"全國優秀教材獎")．2、數學模型與計算機模擬，江裕釗、辛培情編，電子科技大學出版社，(1989)．3、數學模型選談(走向數學從書)，華羅庚，王元著，王克譯，湖南教育出版社；(1991)．4、數學建模--方法與範例，壽紀麟等編，西安交通大學出版社(1993)．5、數學模型，濮定國、田蔚文主編，東南大學出版社(1994)．6..數學模型，朱思銘、李尚廉編，中山大學出版社，(1995)7、數學模型，陳義華編著，重慶大學出版社，(1995)8、數學模型建模分析，蔡常豐編著，科學出版社，(1995)．9、數學建模競賽教程，李尚志主編，江蘇教育出版社，(1996)．10、數學建模入門，徐全智、楊晉浩編，成都電子科大出版社，(1996).11、數學建模，沈繼紅、施久玉、高振濱、張曉威編，哈爾濱工程大學出版社，(1996).12、數學模型基礎，王樹禾編著，中國科學技術大學出版社，(1996).13、數學模型方法，齊歡編著，華中理工大學出版社，(1996)．14、數學建模與實驗，南京地區工科院校數學建模與工業數學討論班編，河海大學出版社，(1996)．15、數學模型與數學建模，劉來福、曾文藝編，北京師范大學出版杜(1997)．16.數學建模，袁震東、洪淵、林武忠、蔣魯敏編，華東師范大學出版社.17、數學模型，譚永基，俞文吡編，復旦大學出版社，(1997)．18、數學模型實用教程，費培之、程中瑗層主編，四川大學出版社，(1998)．19、數學建模優秀案例選編(工科數學基地建設叢書)，汪國強主編，華南理工大學出版社，(1998)．20、經濟數學模型(第二版)(工科數學基地建設叢書)，洪毅、賀德化、昌志華編著，華南理工大學出版社，(1999)．21、數學模型講義，雷功炎編，北京大學出版社(1999)．22、數學建模精品案例，朱道元編著，東南大學出版社，(1999)，23、問題解決的數學模型方法，劉來福，曾文藝編著、北京師范大學出版社，(1999)．24、數學建模的理論與實踐，吳翔，吳孟達，成禮智編著，國防科技大學出版社，(1999)．25、數學建模案例分析，白其嶺主編，海洋出版社，(2000年，北京)．26、數學實驗(高等院校選用教材系列)，謝雲蓀、張志讓主編，科學出版社，(2000)．27、數學實驗，傅鵬、龔肋、劉瓊蓀，何中市編，科學出版社，(2000)．28、數學建模與數學實驗，趙靜、但琦編，高等教育出版社，(2000).國外參考書(中譯本)1、數學模型引論，E．A。Bender著，朱堯辰、徐偉宣譯，科學普及出版社(1982).2、數學模型，[門]近藤次郎著，官榮章等譯，機械工業出版社，(1985)．3、微分方程模型，(應用數學模型叢書第1卷)，[美]W．F．Lucas主編，朱煜民等譯，國防科技大學出版社，(1988)．4、政治及有關模型，(應用數學模型叢書第2卷)，[美W．F．Lucas主編，王國秋等譯，國防科技大學出版社，(1996)．5、離散與系統模型，(應用數學模型叢書第3卷)，[美w．F．Lucas主編，成禮智等譯，國防科技大學出版社，(1996)．6、生命科學模型，(應用數學模型叢書第4卷)，[美1W．F．Lucas主編，翟曉燕等譯，國防科技大學出版社，(1996)．7、模型數學--連續動力系統和離散動力系統，[英1H．B．Grif6ths和A．01dknow著，蕭禮、張志軍編譯，科學出版社，(1996)．8、數學建模--來自英國四個行業中的案例研究，(應用數學譯叢第4號)，英]D．Burglles等著，葉其孝、吳慶寶譯，世界圖書出版公司，(1997)專業性參考書(這方面書籍很多，僅列幾本供參考)：1、水環境數學模型，[德]W．KinZE1bach著，楊汝均、劉兆昌等編纂，中國建築工業出版社，(1987)．2、科技工程中的數學模型，堪安琦編著，鐵道出版社(1988)3、生物醫學數學模型，青義學編著，湖南科學技術出版杜(1990)．4、農作物害蟲管理數學模型與應用，蒲蟄龍主編，廣東科技出版社(1990)．5、系統科學中數學模型，歐陽亮編著，E山東大學出版社，(1995)．6、種群生態學的數學建模與研究，馬知恩著，安徽教育出版社，(1996)7、建模、變換、優化--結構綜合方法新進展，隋允康著，大連理工大學出版社，(1986)8、遺傳模型分析方法，朱軍著，中國農業出版社(1997)．(中山大學數學系王壽松編輯，2001年4月)過程模型准備了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。用數學語言來描述問題。模型假設根據實際對象的特徵和建模的目的，對問題進行必要的簡化，並用精確的語言提出一些恰當的假設。模型建立在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變數之間的數學關系，建立相應的數學結構（盡量用簡單的數學工具）。模型求解利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（或近似計算）。模型分析對所得的結果進行數學上的分析。模型檢驗將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的准確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，並進行解釋。如果模型與實際吻合較差,則應該修改假設，再次重復建模過程。模型應用應用方式因問題的性質和建模的目的而異。1、努力學習數學知識，完善自己的知識體系，尤其是與數學相關的知識體系，比如高等數學、工程數學和應用數學的相關知識；2、擴充自己的知識面，你可以看到很多賽題都是很現實的社會熱點問題，相關的背景知識是非常必要的；3、多看一些案例分析的教程，在學習案例分析時的注意點是：如何考慮現實問題中的各個因素，綜合運用所學知識，建立適當的模型；如何進行模型的優化；如何求解模型；如何解釋模型的解。還要逐步去理解數學建模中最難的三個問題，1、如何用學到的數學思想來表述所面對的問題，所謂的建模。2、應用學到的數學知識解剛剛建立的數學模型，並進行優化。3、將剛剛得到的數學上的解解釋為現實問題中的現象或者是方法。這三個過程體現了一個「現實——>數學——>現實」的一個過程。這其實就是最難的地方。這需要你首先了解面臨的實際問題，然後從現實中轉入數學，再從數學中跳出來回到現實。4、說到matlab，我建議你借一本matlab手冊做參考書就行了！畢竟matlab只是實現你數學模型的基礎，這不是說matlab不重要，其實matlab也很重要！祝你快樂！

J. 請推薦幾本數學建模大賽用的參考書

http://bbs.ok6ok.com/search.php?
http://bbs.ok6ok.com/read.php?tid=165059&keyword=%BD%A8%C4%A3

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