重慶大學高等數學答案

⑴ 高等數學第二版上冊(工科類專業用)習題答案

高等數學上冊
一 填空題（每題2分，共10分）
1． = ；
2. 設f (x)=e-x，則 = ；
3．比較積分的大小： ；
4. 函數 的單調減少區間為 ；
5. 級數 ，當x=0時收斂，當x=2b時發散，則該級數的收斂半徑是 ；
二、求不定積分（每小題4分，共16分）
1. ； 2． ； 3． ；
4. 已知 是f (x)的一個原函數，求 .
三、求定積分（每小題4分，共12分）
1． ； 2． ；
3．設 求
四、應用題（每小題5分，共15分）
1．計算由曲線y=x2，x=y2所圍圖形的面積；
2.由y=x3、x=2、y=0所圍成的圖形繞x軸旋轉，計算所得旋轉體的體積.
3. 有一矩形截面面積為20米2，深為5米的水池，盛滿了水，若用抽水泵把這水池中的水全部抽到10米高的水塔上去，則要作多少功?（水的比重1000g牛頓/米3 ）
五、求下列極限（每題5分，共10分）
1． ；
2. 設函數f (x)在(0，+∞)內可微，且f (x)滿足方程 ，求f (x)。
六、判斷下列級數的斂散性（每題5分，共15分）
1. ； 2. ； 3. ；
七、求解下列各題（每題5分，共10分）
1. 求冪級數 的收斂域及和函數；
2． 將函數 展開成（x+4）的冪級數。
八、證明題（第一小題5分，第二小題7分，共12分）
1．證明：設f (x)在〔0，1〕上連續且嚴格單調減少，證明：當0<? <1時，
2. 設有正項級數 ，且 。若級數 收斂，則級數 收斂；若級數 發散，則級數 發散。

高等數學上冊試卷B卷
一 填空題（每題2分，共10分）
1． 級數 ，當x=0時收斂，當x=2b時發散，則該級數的收斂半徑是 ；
2．設 ，則g(x)= ；
3．比較大小： ；
4. = ；
5. 函數 的單調減少區間為 ；
二、計算下列各題（每小題4分，共28分）
1． ； 2． ； 3． ；
4． ； 5． ；
6．設 求
7．

三、幾何應用題（每小題5分，共10分）
1．求曲線 與直線y=x及x=2所圍圖形的面積。
2．設D是由拋物線y=2x2和直線x=a，x=2及y=0所圍成的平面區域，試求D繞x軸旋轉而成的旋轉體體積V。
四、物理應用題（每小題5分，共10分）
1．設一圓錐形貯水池，深10米，口徑20米，盛滿水，今用抽水機將水抽盡，問要作多少功?
2．有一矩形閘門，它底邊長為10米，高為20米，上底邊與水面相齊，計算閘門的一側所受的水壓力。
五、求解下列各題（每題5分，共10分）
1. 已知 是f (x)的一個原函數，求 ；
2. 設函數f (x)在(0，+∞)內可微，且f (x)滿足方程 ，求f (x)。

六、判斷下列級數的斂散性（每題5分，共15分）
1. ； 2. ； 3. ；
七、求解下列各題（每題5分，共10分）
1. 求冪級數 的收斂域及和函數；
2． 將函數 展開成（x+4）的冪級數。
八、（7分） 設有正項級數 ，且 。若級數 收斂，則級數 收斂；若級數 發散，則級數 發散。

高等數學上冊試卷C卷
一 求極限或判斷極限是否存在(20分, 每題4分)
1. 2.
3. 4.
5.
二 求導數(20分, 每題4分)
1.求曲面 在點（1,－2, 2）的切平面和法線方程.
2.設 ,其中 具有二階連續偏導, 求 .
3. 設 , 求 .
4. 設 , 求
5. 設 , 求 和
三 計算下列各題(15分, 每題5分)
1.求曲線 在點(1,-2,1)處的切線與法平面方程。
2．設一帶電平板上的電壓分布為 試問在點(1,2)處：
（1） 沿哪個方向電壓升高最快？速率是多少？
（2） 沿哪個方向電壓下降最快？速率是多少？
（3） 沿哪個方向電壓沒變化？

3．為計算長方形的面積A，今測出其邊長分別為：1.732、3.21。若測出的邊長值均有3位有效數字，試求出A的值及其絕對誤差限，並指出A有幾位有效數字。

四 (15分)
1． （8分）設某工廠生產A和B兩種產品，產量分別為x和y（單位：千件）。
利潤函數為
已知生產這兩種產品時，每千件產品均需要消耗某種原料2000千克，現有該原料12000千克，問兩種產品各生產多少千件時總利潤最大？最大利潤是多少？

2．（7分）下表數據是某作物施肥量和產量的實驗數據
施肥量(kg/公頃) 0 28 56 84
產量(t/公頃) 10.1 13.2 15.3 17.1
試利用二次插值，計算在施肥量為40kg/公頃時，產量近似值。
五 (15分)
1. (7分) 求通過直線 且垂直平面 的平面方程.
2. (8分) 設函數 由方程 確定, 試判斷曲線 在點 附近的凹凸性.
六 證明題(15分)
1．（7分）設

證明 在(0,0)點可微。
2.(8分)設 在 上可導, 且 . 證明: 存在一點 , 使

高等數學下冊試卷A卷
一、 填空（共10分，每小題2分）
1．設數項級數 收斂 收斂，則數項級數 ；
2．若級數 ，當x=0時收斂，當x=2b時發散，則該級數的收斂半徑是 ；
3．設設 是平面 在第一卦限部分上側，用第一類曲面積分表示下列第二類曲面積分 ；
4． ，則 ；
5．寫出 的特解形式 ．
二、計算下列各題（共10分，每題5分）
1．計算曲面積分 ，其中 為平面 在第一卦限內的部分．
2． ，其中 為 的外側．
三、判斷下列級數的斂散性（共15分，每題5分 ）
1． ； 2． ； 3． ．
四、計算下列各題（共15分）
1．求冪級數 的收斂區域及和函數（收斂域5分，和函數5分）
2．將 展開成（x+4）的冪級數（5分）．
五、（10分）以 為周期的函數 的傅氏級數
1．求系數a0，並證明 ；（5分）
2．求傅里葉級數的和函數S(x)在 上的表達式及 的值．（5分）
六、解下列各題（10分，每題5分）
1．求方程 的通解．
2．求方程 ，滿足初始條件 的解．
七、（10分）設 具有二階連續導數， ，且

為一個全微分方程，求 及此全微分方程的通解．
八、解下列各題（共10分，每題5分）
1．設二階非齊次線性方程 的三個特解為： ，求此方程滿足初始條件 的特解．
2．求方程 通解。
九、（10分）設空間有界閉區域 是由光滑閉曲面 圍成，用平行 軸的直線穿過 內部時與其邊界最多交於兩點。 在閉區域 上具有一階連續偏導數，證明

高等數學下冊試卷B卷
一 求偏導數(24分)
1. 設 ，求dz.
2. 設 及 由方程組 確定，求 .
3. 設 具有二階連續偏導數且滿足 ，求 .
4. 設 ，求 .
二 求積分(24分)
1. 計算 ，其中D是以（0，0）、（1，1）、（0，1）為頂點的三角形區域.
2. 設L為y=x2上從（0,0）到（1,1）的一段，求 .
3. 設L為 上從 到 的一段弧，求 .

三 判別斂散性(10分)
1.
2.
四 (10分)
將 展成x的冪級數
五 求方程的解(10分)
1. 求方程 的通解.
2. 求 的通解

六 (10分)
求函數 在區域 上的最大和最小值.
七 (12分)
設 具有一階連續偏導數，滿足 ，求 所滿足的一階微分方程並求解.
高等數學下冊試卷C卷
一、填空（每小題3分，共15分）
1．設 ，則
2． 。
3．設 是以 為周期的周期函數，在一個周期上的表達式為 ，則 的傅立葉系數 ＝ 。
4．已知二階常系數線性齊次微分方程的通解為 ，則該微分方程的最簡形式為 。
5．已知 為圓周 ，則 = .
二、計算下列各題（共16分）
1． 2．
3． 4
三、計算下列各題（每小題5分，共20分）
1．計算 其中 。
2．曲面 是錐面 介於 之間的部分，其面密度為 ，計算曲面的質量
3．計算 ，其中 為從點 沿 的上半圓到點 的曲線弧。
4．計算積分 ，其中 為曲面 被平面 截下的有限部分的下側。
四、解下列各題（共19分）
1．判斷下列級數的斂散性（9分）
； ；
2．解下列各題（10分）
（1）求冪級數 的收斂半徑。
（2）將函數 展開成 的冪級數。
五、解下列微分方程（每小題5分，共15分）
1．求 的通解。
2．求 的通解
3．已知： ，試確定函數 ，使曲線積分 與路徑無關。
六、（7分）
在阿拉斯加海灣附近生活著一種大馬哈魚，其凈增長率為0.003 。從某時刻（t=0）開始，有一群鯊魚來到這些海域棲身並開始捕捉這里的大馬哈魚。鯊魚吞食大馬哈魚的速度與當時大馬哈魚總數的平方成正比，比例系數為0.001。而且，由於一個不受歡迎的成員進入到它們的領域，每分鍾有0.002條大馬哈魚離開阿拉斯加海域。
(1)建立數學模型以分析該海域大馬哈魚總數隨時間的變化。
(2)設t=0時有一百萬條大馬哈魚。觀察群體總數在 時會發生什麼情況。

七、（8分）如果某地區AIDS病人數的凈增長率為r，已知該地區在1988年有這種病人161個。①問：到2000年該地區這種病人的總數有多少？②若該地區每年為每個AIDS病人所提供的費用是m元。問：從1988~2000這12年間，該地區為這種病人所提供的總費用有多少？。

⑵ 高等數學！求答案

《 高等數學(一) 》復習資料
一、選擇題
1. 若，則（ ）
A. B. C. D.
2. 若，則（ ）
A. B. C. D.
3. 曲線在點（0，2）處的切線方程為( )
A. B. C. D.
4. 曲線在點（0，2）處的法線方程為( )
A. B. C. D.
5. ( )
A. B. C. D.
6.設函數，則=（ ）
A 1 B C D
7. 求函數的拐點有（ ）個。
A 1 B 2 C 4 D 0
8. 當時，下列函數中有極限的是（ ）。
A. B. C. D.
9.已知， ( ) 。
A. B. C. 1 D. -1
10. 設,則為在區間上的（ ）。
A. 極小值 B. 極大值 C. 最小值 D. 最大值
11. 設函數在上可導，且則在內( )
A.至少有兩個零點 B. 有且只有一個零點
C. 沒有零點 D. 零點個數不能確定
12. ( ).
A. B. C. D.
13. 已知，則( C )
A. B. C. D.
14. =( B)
A. B. C. D.
15. ( D )
A. B. C. D.
16. ( )
A. B. C. D.
17. 設函數，則=（ ）
A 1 B C D
18. 曲線的拐點坐標是( )
A.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3)
19. 已知，則( A )
A. B. C. D.
20. ( A)
A. B. C. D.
21. ( A )
A. B. C. D.
二、求積分（每題8分，共80分）
1．求．
2. 求．
3. 求．
4. 求
5. 求．
6. 求定積分．
7. 計算．
8. 求．
9. 求．
11. 求
12. 求
13. 求
14.求
三、解答題
1. 若,求
2.討論函數的單調性並求其單調區間
3. 求函數的間斷點並確定其類型
4. 設
5. 求的導數．
6. 求由方程 確定的導數.
7. 函數在處是否連續？
8. 函數在處是否可導？
9. 求拋物線與直線所圍成圖形的面積.
10. 計算由拋物線與直線圍成的圖形的面積.
11. 設是由方程確定的函數，求
12.求證：
13. 設是由方程確定的函數，求
14. 討論函數的單調性並求其單調區間
15.求證：
16. 求函數的間斷點並確定其類型
五、解方程
1. 求方程的通解.
2.求方程的通解.
3. 求方程的一個特解.
4. 求方程的通解.
高數一復習資料參考答案
一、選擇題
1-5： DABAA
6-10：DBCDD
11-15： BCCBD
16-21：ABAAAA
二、求積分
1．求．
解：

2. 求．
解：
．
3. 求．
解：設，，即，則

．
4. 求
解：

．
5. 求．
解：由上述可知，所以

．
6. 求定積分．
解：令，即，則，且當時，；當時，，於是
．
7. 計算．
解：令，，則，，於是

．
再用分部積分公式，得

．
8. 求．
解：

．
9. 求．
解：令，則，，從而有

11. 求
解：
12. 求
解：
13. 求
解：
14.求
解：

三、解答題
1. 若,求
解：因為，所以
否則極限不存在。
2.討論函數的單調性並求其單調區間
解：
由得
所以在區間上單調增，在區間上單調減，在區間上單調增。
3. 求函數的間斷點並確定其類型
解：函數無定義的點為，是唯一的間斷點。
因知是可去間斷點。
4. 設
解：,
故

5. 求的導數．
解：對原式兩邊取對數得：

於是
故
6. 求由方程 確定的導數.
解:

⑶ 求解大學高等數學題

1.
收斂。
1到n的平方和是1/6*(n+1)*(2n+1)，用整個數列的後一項比上前一項，得到
1/3,因為絕對值小於1，所以收斂

2.
#偏導符號
#e/#x=(#e/#u)*(#u/#x)+(#e/#v)*(#v/#x)
#e/#y=(#e/#u)*(#u/#y)+(#e/#v)*(#v/#y)

#e/#u=2u
#e/#v=2v

#u/#x=1
#u/#y=1

#v/#x=1
#v/#y=-1
代入得到：
#e/#x=2u+2v=4x
#e/#y=2u-2v=4y

3.
將原積分的d(面積)化為dxdy
由所圍圖形知道積分y從1/x到x，x從1（xy=1與y=x的交點的橫坐標）到2。
所以先積分y，後積分x。得到答案：9/4

4.
把y=x代入原積分式消去y(消去y也可以)得到：
2(x^2)dx+(x^2)dx,且積分區間是x從0到3
答案是27

5.x3+y3+z3+xyz-6=0 在
設方程左邊為F(x,y,z),即F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xyz-6
F分別對x,y,z求偏導得到：F'(x)=yz,F'(y)=xz,F'(z)=xy
點（1，2，-1）處
法向量n={F'(x)=(y=2)(z=-1),F'(y)=(x=1)(z=-1),F'(z)=(x=1)(y=2)}
即n={-2,-1,2}
所以所求切平面方程為-2(x-1)-1(y-2)+2(z+1)=0,即-2x-y+2z+6=0

6.
兩方程聯立知道，立體在xoy面的投影區域為:x^2+y^2<=2
所以所求V=對xoy上面積分，積分函數是[(4-x^2-y^2)-(x^2+y^2)],積分之後即可得到結果
最後答案是：4*派

7.
因為P在xoy平面上，所以P(x,y,0).到三點的距離的平方是：
(x^2+y^2)+[(x-1)^2+y^2]+[x^2+(y-1)^2]
設其為f(x,y),
所以f(x,y)=3(x^2)-2x+1+3(y^2)-2y+1=3(x^2+y^2)-2(x+y)+2
多元函數極值問題
令f對x的偏導數6x-2=0,令f對y的偏導數6y-2=0
得出駐點(1/3,1/3),此即為取最小值的地方
所以答案是P(1/3,1/3,0)

PS:我不知道怎麼在這上面畫圖，以上都是我親自做的，如果哪兒不懂或者答案有誤可以再問，但我覺得差不多的。。。呵呵，我比較謙虛地。。。嘿嘿